函数 03 函数的三大性质：单调性、奇偶性、周期性
一、函数的性质：定义域与值域
定义域：函数中自变量 \(x\) 的取值范围，它规定了函数有意义的输入值集合.
值域：函数值 \(y = f(x)\) 的取值范围，是函数所有可能输出值的集合.
二、函数的性质：单调性
定义：设函数 \(y = f(x)\) 的定义域为 \(I\)，如果对于定义域 \(I\) 内的某个区间 \(D\) 内的任意两个自变量 \(x_1\)、\(x_2\)，当 \(x_1<x_2\) 时，都有 \(f(x_1)<f(x_2)\)，那么就说 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上是增函数；当 \(x_1<x_2\) 时，都有 \(f(x_1)>f(x_2)\)，那么就说 \(f(x)\) 在区间 \(D\) 上是减函数.
几何意义：增函数的图象在相应区间上是上升的，减函数的图象在相应区间上是下降的.
判断方法 ：
定义法：设点，任取 \(x_1\)，\(x_2\in D\)，且 \(x_1<x_2\)；作差 \(f(x_1)-f(x_2)\)；化简差式，常用因式分解、通分、分子有理化、配方等方法；判断 \(f(x_1)-f(x_2)\) 与 \(0\) 的大小；根据判断结果得出函数在给定区间 \(D\) 上的单调性。
导数法：在某个区间 \((a,b)\) 内，如果 \(f’(x)>0\)，那么函数 \(y = f(x)\) 在这个区间内单调递增；如果 \(f’(x)<0\)，那么函数 \(y = f(x)\) 在这个区间内单调递减 。
三、函数的性质：奇偶性
定义：设函数的定义域关于原点对称，若对任意 \(x\)，恒有 \(f(-x)=f(x)\)，则称函数为偶函数；若对任意 \(x\)，恒有 \(f(-x)=-f(x)\)，则称函数为奇函数.
几何意义：偶函数的图形关于 \(y\) 轴对称，奇函数的图形关于坐标原点对称.
判断方法 ：
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称。
确定 \(f(-x)\) 与 \(f(x)\) 的关系。
若 \(f(-x)=f(x)\)，则 \(f(x)\) 是偶函数；若 \(f(-x)=-f(x)\)，则 \(f(x)\) 是奇函数 。
四、函数的性质：周期性
定义：设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，如果存在一个正数 \(T\)，使得对于任一 \(x\in D\) 有 \((x\pm T)\in D\)，且 \(f(x + T)=f(x)\) 恒成立，则称 \(f(x)\) 为周期函数，\(T\) 称为 \(f(x)\) 的周期，通常所说的周期函数的周期是指最小正周期.
常见周期函数：正弦函数 \(y = \sin x\) 和余弦函数 \(y = \cos x\) 的周期是 \(2\pi\)；正切函数 \(y = \tan x\) 的周期是 \(\pi\) 。
五、函数的性质：有界性
定义：设函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(D\)，如果存在正数 \(M\)，使得对于任意 \(x\in D\)，都有 \(|f(x)|\leq M\)，则称函数 \(f(x)\) 在 \(D\) 上有界；否则，称函数 \(f(x)\) 在 \(D\) 上无界。
举例：正弦函数 \(y = \sin x\) 和余弦函数 \(y = \cos x\) 在 \(R\) 上是有界函数，因为 \(|\sin x|\leq1\)，\(|\cos x|\leq1\) 。
函数有界的充要条件是函数既有上界又有下界。
设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在实数\(M\)和\(m\)，使得对于定义域\(D\)中的任意\(x\)，都有\(m\leq f(x)\leq M\)成立，则称函数\(f(x)\)在\(D\)上有界.
充分性证明
假设函数\(f(x)\)既有上界\(M\)又有下界\(m\)，即对于定义域内的任意\(x\)，都有\(m\leq f(x)\leq M\)。令\(M_0=\max\{|m|,|M|\}\)，则有\(|f(x)|\leq M_0\)，满足函数有界的定义，所以函数\(f(x)\)有界。
必要性证明
若函数\(f(x)\)有界，则根据定义，存在正数\(M\)，使得对于定义域内的任意\(x\)，都有\(|f(x)|\leq M\)成立，由此可得\(-M\leq f(x)\leq M\)，这表明函数\(f(x)\)既有上界\(M\)又有下界\(-M\)。
六、函数的性质：连续性
定义：设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某一邻域内有定义，如果函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_0\) 时的极限存在，且等于它在点 \(x_0\) 处的函数值 \(f(x_0)\)，即 \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)，则称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处连续。
几何意义：函数的图象在该点处是不间断的。
七、函数的性质：凹凸性
定义：设函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，如果对 \(I\) 上任意两点 \(x_1\)、\(x_2\)，恒有 \(f(\frac{x_1 + x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是凹函数；如果恒有 \(f(\frac{x_1 + x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，则称函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是凸函数 。
几何意义：凹函数的图象上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；凸函数的图象上任意两点间的弧段总在这两点连线的上方。
