一、多项式的定义

多项式是几个单项式的和。例如，\(3x^2 + 2x - 1\)是多项式，它由单项式\(3x^2\)、\(2x\)和\(-1\)组成。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，如在\(3x^2 + 2x - 1\)中，\(-1\)是常数项。多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。像\(x^3 - 2x^2 + 5\)的次数是\(3\)。

二、多项式的项与次数

项的分类：多项式的项包括含字母的项和常数项。例如在多项式\(4x^3 - 3x^2 + 2x + 7\)中，\(4x^3\)、\(-3x^2\)、\(2x\)是含字母的项，\(7\)是常数项。

次数的确定：通过比较各项的次数来确定多项式的次数。例如多项式\(2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 7x + 1\)，第一项\(2x^4\)的次数是\(4\)，第二项\(-3x^3\)的次数是\(3\)，第三项\(5x^2\)的次数是\(2\)，第四项\(-7x\)的次数是\(1\)，第五项\(1\)的次数是\(0\)，因为\(4\)是这些次数中的最大值，所以这个多项式的次数是\(4\)。

三、多项式的运算

加法和减法：多项式加减法的实质是合并同类项。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。例如，计算\((3x^2 + 2x - 1)+(2x^2 - 3x + 4)\)，先将同类项分别相加，得到\((3x^2+2x^2)+(2x - 3x)+(-1 + 4)=5x^2 - x + 3\)。

乘法：

单项式与多项式相乘：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，\(a(2b + c)=2ab + ac\)。

多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。例如，\((a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd\)。

除法：

多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。例如，\((9x^2 - 6x)\div3x = 9x^2\div3x-6x\div3x = 3x - 2\)。

多项式除以多项式：可以使用长除法或综合除法来计算。例如，用\(x^2 + 3x + 2\)除以\(x + 1\)，使用长除法：先将\(x^2\)除以\(x\)得\(x\)，然后\((x^2 + 3x + 2)-(x(x + 1))=(x^2 + 3x + 2)-(x^2 + x)=2x + 2\)，再将\(2x\)除以\(x\)得\(2\)，\((2x + 2)-2(x + 1)=(2x + 2)-(2x + 2)=0\)，所以商是\(x + 2\)。

四、多项式的排列

升幂排列：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做按这个字母的升幂排列。例如，多项式\(3x + x^2 - 1\)按\(x\)的升幂排列为\(-1 + 3x + x^2\)。

降幂排列：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做按这个字母的降幂排列。例如，多项式\(3x + x^2 - 1\)按\(x\)的降幂排列为\(x^2 + 3x - 1\)。

五、多项式的因式分解

定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。例如，\(x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)\)，这就是对多项式\(x^2 - 4\)进行因式分解。

方法：

提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。例如，\(ax + ay=a(x + y)\)。

公式法：利用平方差公式\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)、完全平方公式\(a^2\pm2ab + b^2=(a\pm b)^2\)等进行因式分解。例如，\(9x^2 - 16y^2=(3x + 4y)(3x - 4y)\)，\(x^2 + 6x + 9=(x + 3)^2\)。

分组分解法：通过分组后提取公因式或利用公式进行分解。例如，对于多项式\(ax + ay + bx + by\)，可以分组为\((ax + ay)+(bx + by)=a(x + y)+b(x + y)=(a + b)(x + y)\)。

六、多项式在数学和其他领域的应用

在代数方程中的应用：多项式方程如一元二次方程\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a\neq0\)）是多项式的重要应用之一。通过求解这些方程，可以得到很多实际问题的答案，如在物理中求物体的运动时间、在几何中求图形的边长等。

在函数中的应用：多项式函数\(y = ax^n+bx^{n - 1}+\cdots+z\)（\(n\)为正整数）是函数的一种重要类型。通过研究多项式函数的性质，如单调性、极值、凹凸性等，可以了解函数的变化规律，在数学建模等领域有广泛应用。

在几何中的应用：在几何图形的面积、体积等公式中，多项式经常出现。例如，长方形的面积\(S = ab\)（\(a\)、\(b\)为边长）是一个二次多项式；长方体的体积\(V = abc\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为棱长）是一个三次多项式。这些多项式可以帮助我们计算几何量，并解决几何问题，如根据面积或体积求边长等。

七、多项式定理

1. 多项式乘法定理（二项式定理是其特殊情况）

内容：对于两个多项式\((a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n})\)和\((b_{0}+b_{1}x + b_{2}x^{2}+\cdots + b_{m}x^{m})\)相乘，其结果为\(\sum_{i = 0}^{n}\sum_{j = 0}^{m}a_{i}b_{j}x^{i + j}\)。

示例：计算\((1 + 2x + 3x^{2})(4 + 5x)\)。

按照上述定理，结果为\((1\times4)+(1\times5x)+(2x\times4)+(2x\times5x)+(3x^{2}\times4)+(3x^{2}\times5x)\)

即\(4 + 5x+8x + 10x^{2}+12x^{2}+15x^{3}\)

合并同类项后得到\(4+13x + 22x^{2}+15x^{3}\)

2. 二项式定理

内容：\((a + b)^{n}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}\)，其中\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)，\(n\in N\)。

示例：求\((x + y)^{3}\)。

根据二项式定理，\(n = 3\)，则\((x + y)^{3}=C_{3}^{0}x^{3}y^{0}+C_{3}^{1}x^{2}y^{1}+C_{3}^{2}x^{1}y^{2}+C_{3}^{3}x^{0}y^{3}\)

计算组合数\(C_{3}^{0}=1\)，\(C_{3}^{1}=\frac{3!}{1!(3 - 1)!}=\frac{3\times2\times1}{1\times2\times1}=3\)，\(C_{3}^{2}=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=3\)，\(C_{3}^{3}=1\)

所以\((x + y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y + 3xy^{2}+y^{3}\)

3. 余数定理

内容：多项式\(f(x)\)除以\((x - a)\)的余数是\(f(a)\)。

示例：求多项式\(f(x)=x^{3}-2x^{2}+3x - 4\)除以\((x - 1)\)的余数。

根据余数定理，将\(x = 1\)代入\(f(x)\)，得到\(f(1)=1^{3}-2\times1^{2}+3\times1 - 4\)

即\(1 - 2 + 3-4=-2\)，所以余数为\(-2\)

4. 因式定理

内容：多项式\(f(x)\)有一个因式\((x - a)\)的充分必要条件是\(f(a)=0\)。

示例：判断\((x - 1)\)是否是多项式\(f(x)=x^{3}-2x^{2}+x - 1\)的因式。

将\(x = 1\)代入\(f(x)\)，\(f(1)=1^{3}-2\times1^{2}+1 - 1\)

计算得\(1 - 2 + 1-1=-1\neq0\)，所以\((x - 1)\)不是\(f(x)\)的因式。

5. 代数基本定理

内容：任何一个一元\(n\)次多项式\(f(x)=a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}\)（\(a_{n}\neq0\)，\(n\geqslant1\)）在复数范围内有\(n\)个根（重根按重数计算）。

示例：对于二次多项式\(f(x)=x^{2}+1\)，在实数范围内没有根，但在复数范围内，它的根为\(x = i\)和\(x=-i\)，满足有\(n = 2\)个根。

6. 韦达定理（根与系数的关系）

一元二次方程情况：对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a\neq0\)），设其两根为\(x_{1}\)、\(x_{2}\)，则\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)。

示例：已知方程\(x^{2}-3x - 4 = 0\)，其两根为\(x_{1}\)、\(x_{2}\)。

根据韦达定理，\(x_{1}+x_{2}=-\frac{-3}{1}=3\)，\(x_{1}x_{2}=\frac{-4}{1}=-4\)。

一元\(n\)次方程情况：对于一元\(n\)次方程\(a_{0}+a_{1}x + a_{2}x^{2}+\cdots+a_{n}x^{n}=0\)（\(a_{n}\neq0\)），设其根为\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)，则\(\sum_{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}\frac{a_{n - k}}{a_{n}}\)（\(k = 1,2,\cdots,n\)）。例如对于三次方程\(ax^{3}+bx^{2}+cx + d = 0\)（\(a\neq0\)），设其根为\(x_{1},x_{2},x_{3}\)，则\(x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{b}{a}\)，\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}=\frac{c}{a}\)，\(x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{d}{a}\)。

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