一、分数指数幂的定义

对于正分数指数幂，规定\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)（\(a > 0\)，\(m,n\in N^+\)，且\(n > 1\)）。

例如，\(8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^{2}}=\sqrt[3]{64}=4\)。

这是将根式运算与指数幂运算联系起来的一种定义方式，它使得指数的范围从整数扩展到了分数。

对于负分数指数幂，规定\(a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}\)（\(a > 0\)，\(m,n\in N^+\)，且\(n > 1\)）。

例如，\(27^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{27^{\frac{2}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{27^{2}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{729}}=\frac{1}{9}\)。

二、分数指数幂的运算性质

同底数幂相乘：\(a^{\frac{m}{n}}\times a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m + p}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p\in N^+\)，且\(n > 1\)）

例如，\(3^{\frac{1}{2}}\times3^{\frac{3}{2}}=3^{\frac{1 + 3}{2}}=3^{2}=9\)

这一性质与整数指数幂的同底数幂相乘性质\(a^{m}\times a^{n}=a^{m + n}\)类似，只不过指数为分数形式。

同底数幂相除：\(a^{\frac{m}{n}}\div a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m - p}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p\in N^+\)，且\(n > 1\)）

例如，\(4^{\frac{3}{2}}\div4^{\frac{1}{2}}=4^{\frac{3 - 1}{2}}=4^{1}=4\)

同样类似于整数指数幂的同底数幂相除性质\(a^{m}\div a^{n}=a^{m - n}\)。

幂的乘方：\((a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p,q\in N^+\)，且\(n > 1\)，\(q > 1\)）

例如，\((2^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{2\times3}{3\times4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)

该性质也是整数指数幂幂的乘方性质\((a^{m})^{n}=a^{mn}\)在分数指数幂中的推广。

三、负数与0的分数指数幂

1. 负数的分数指数幂

分母为偶数的情况：

当指数的分母为偶数时，负数的分数指数幂在实数范围内没有意义。这是因为在实数范围内，负数开偶次方根没有定义。例如，考虑\((-1)^{\frac{1}{2}}\)，它相当于求\(-1\)的平方根。根据平方根的定义，对于任何实数\(x\)，\(x^{2}\geq0\)，所以不存在一个实数使得它的平方是\(-1\)，即\((-1)^{\frac{1}{2}}\)在实数范围内无意义。

分母为奇数的情况：

当指数的分母为奇数时，负数的分数指数幂有意义。此时定义\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)（\(a < 0\)，\(m,n\in N^+\)，\(n\)为奇数）。例如，\((-8)^{\frac{1}{3}}\)，因为\(n = 3\)是奇数，所以\((-8)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-8}=-2\)，这里\((-2)^{3}=-8\)，符合分数指数幂的定义。

2. 0的分数指数幂

正分数指数幂：

\(0\)的正分数指数幂等于\(0\)。即\(0^{\frac{m}{n}} = 0\)（\(m,n\in N^+\)，\(n > 1\)）。这是因为\(0\)的任何正整数次幂都是\(0\)，所以当指数为正分数时，根据分数指数幂与根式的关系\(0^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{0^{m}}\)，其结果也为\(0\)。例如，\(0^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{0^{3}} = 0\)。

负分数指数幂：

\(0\)的负分数指数幂没有意义。因为\(0\)的负分数指数幂等于\(\frac{1}{0^{\frac{m}{n}}}\)（\(m,n\in N^+\)，\(n > 1\)），而分母不能为\(0\)，所以\(0\)的负分数指数幂不存在。例如，\(0^{-\frac{2}{3}}\)是没有意义的。

四、分数指数幂与根式的关系

1. 分数指数幂与根式的相互定义关系

分数指数幂到根式的转换：

对于正分数指数幂\(a^{\frac{m}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n\in N^+\)，且\(n > 1\)），它被定义为\(n\)次根式的形式，即\(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)。

例如，\(4^{\frac{3}{2}}\)可以写成\(\sqrt[2]{4^{3}}\)，进一步计算可得\(\sqrt{64}=8\)。

这表明正分数指数幂是根式的一种指数形式的表示方法，通过这种定义，将指数幂运算与根式运算联系起来。

根式到分数指数幂的转换：

反过来，根式\(\sqrt[n]{a^{m}}\)（\(a > 0\)，\(m,n\in N^+\)，且\(n > 1\)）可以用分数指数幂表示为\(a^{\frac{m}{n}}\)。

例如，\(\sqrt[3]{x^{2}}\)可以写成\(x^{\frac{2}{3}}\)。

这种转换使得在进行一些复杂的根式运算时，可以利用指数幂的运算性质来简化计算。

2. 运算性质的联系与对比

指数幂运算性质在分数指数幂和根式中的体现：

同底数幂相乘性质：

在分数指数幂中，同底数幂相乘\(a^{\frac{m}{n}}\times a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m + p}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p\in N^+\)，且\(n > 1\)）。

例如，\(2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{1 + 2}{3}}=2^{1}=2\)。

对于根式，若将其转换为分数指数幂后也遵循相同的规律。

例如，\(\sqrt[3]{2}\times\sqrt[3]{4}\)，将其写成\(2^{\frac{1}{3}}\times2^{\frac{2}{3}}\)（因为\(\sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}}\)），结果为\(2\)，这和直接用根式运算\(\sqrt[3]{2\times4}=\sqrt[3]{8}=2\)是一致的。

同底数幂相除性质：

分数指数幂的同底数幂相除\(a^{\frac{m}{n}}\div a^{\frac{p}{n}}=a^{\frac{m - p}{n}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p\in N^+\)，且\(n > 1\)）。

例如，\(3^{\frac{3}{4}}\div3^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{3 - 1}{4}}=3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)。

对于根式，如\(\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{3}}\)，写成分数指数幂形式为\(3^{\frac{3}{4}}\div3^{\frac{1}{4}}\)，结果为\(\sqrt{3}\)，也和直接用根式运算\(\sqrt[4]{\frac{27}{3}}=\sqrt[4]{9}=\sqrt{3}\)相同。

幂的乘方性质：

分数指数幂的幂的乘方\((a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}\)（\(a > 0\)，\(m,n,p,q\in N^+\)，且\(n > 1\)，\(q > 1\)）。

例如，\((2^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}=2^{\frac{2\times3}{3\times4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)。

对于根式，如\((\sqrt[3]{x^{2}})^{\frac{3}{2}}\)，转换为分数指数幂为\((x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}}=x^{\frac{2\times3}{3\times2}}=x^{1}=x\)，这和直接用根式运算\(\sqrt[3]{(x^{2})^{\frac{3}{2}}}=\sqrt[3]{x^{3}}=x\)等价。

3. 在化简与求值中的相互应用

化简中的应用：

利用分数指数幂和根式的转换来化简式子。

例如，化简\(\sqrt[3]{x^{2}y^{4}}\)，可将其写成\((x^{2}y^{4})^{\frac{1}{3}}\)，再根据指数幂运算性质展开得到\(x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{4}{3}}\)。反之，对于\(a^{\frac{3}{5}}b^{\frac{2}{5}}\)，可以写成\(\sqrt[5]{a^{3}b^{2}}\)的根式形式来化简一些复杂的指数幂式子。

求值中的应用：

在求值过程中，根据具体情况灵活转换。

例如，计算\((\sqrt[4]{81})^{3}\)，可以先将\(\sqrt[4]{81}\)写成\(81^{\frac{1}{4}}\)，那么\((\sqrt[4]{81})^{3}=(81^{\frac{1}{4}})^{3}=81^{\frac{3}{4}}\)，再进一步计算\(81^{\frac{3}{4}}=(3^{4})^{\frac{3}{4}}=3^{3}=27\)。或者先求出\(\sqrt[4]{81}=3\)，再计算\(3^{3}=27\)。

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