不等式 02 多次用基本不等式求最值

1. 例1：已知\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(x + y = 1\)，求\(x^{2}+y^{2}\)的最小值。

解法：

首先，由\(x + y = 1\)可得\(y = 1 - x\)。

则\(x^{2}+y^{2}=x^{2}+(1 - x)^{2}=x^{2}+1 - 2x+x^{2}=2x^{2}-2x + 1\)。

因为\(x+y = 1\)，根据均值不等式\(xy\leq(\frac{x + y}{2})^{2}=\frac{1}{4}\)（当且仅当\(x = y=\frac{1}{2}\)时取等号）。

又\(x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy = 1 - 2xy\)，由\(xy\leq\frac{1}{4}\)可得\(x^{2}+y^{2}\geq1 - 2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)。

2. 例2：已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，且\(a + b = 2\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\)的最小值。

解法：

因为\(a + b = 2\)，所以\(\frac{1}{2}(a + b)=1\)。

\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{2}(a + b)(\frac{1}{a}+\frac{4}{b})=\frac{1}{2}(1+\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}+4)=\frac{1}{2}(5+\frac{4a}{b}+\frac{b}{a})\)。

根据均值不等式\(\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}\geq2\sqrt{\frac{4a}{b}\times\frac{b}{a}} = 4\)（当且仅当\(\frac{4a}{b}=\frac{b}{a}\)，即\(b = 2a\)，结合\(a + b = 2\)，解得\(a=\frac{2}{3}\)，\(b=\frac{4}{3}\)时取等号）。

所以\(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\geq\frac{1}{2}(5 + 4)=\frac{9}{2}\)。

3. 例3：已知\(x > 0\)，\(y > 0\)，且\(2x + 3y = 6\)，求\(xy\)的最大值。

解法：

由\(2x + 3y = 6\)可得\(y=\frac{6 - 2x}{3}\)。

则\(xy=x\times\frac{6 - 2x}{3}=\frac{6x - 2x^{2}}{3}=-\frac{2}{3}x^{2}+2x\)。

根据均值不等式\(2x+3y\geq2\sqrt{6xy}\)，即\(6\geq2\sqrt{6xy}\)，化简得\(xy\leq\frac{3}{2}\)（当且仅当\(2x = 3y = 3\)，即\(x=\frac{3}{2}\)，\(y = 1\)时取等号）。

4. 例4：已知\(m > 0\)，\(n > 0\)，且\(m^{2}+n^{2}=4\)，求\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\)的最小值。

解法：

因为\((m + n)^{2}=m^{2}+n^{2}+2mn = 4 + 2mn\)。

根据均值不等式\(mn\leq\frac{m^{2}+n^{2}}{2}=2\)（当且仅当\(m = n=\sqrt{2}\)时取等号）。

\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m + n}{mn}\)，由\((m + n)^{2}=4 + 2mn\leq4 + 2\times2 = 8\)，可得\(m + n\leq2\sqrt{2}\)。

又\(mn\leq2\)，所以\(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m + n}{mn}\geq\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)（当且仅当\(m = n=\sqrt{2}\)时取等号）。

5. 例5：已知\(a,b\in R^{+}\)，且\(a + 3b = 5\)，求\(a^{2}+9b^{2}\)的最小值。

解法：

根据\((a + 3b)^{2}=a^{2}+9b^{2}+6ab\)，可得\(a^{2}+9b^{2}=(a + 3b)^{2}-6ab\)。

由均值不等式\(a + 3b\geq2\sqrt{3ab}\)，即\(5\geq2\sqrt{3ab}\)，解得\(ab\leq\frac{25}{12}\)。

所以\(a^{2}+9b^{2}=25 - 6ab\geq25 - 6\times\frac{25}{12}=\frac{25}{2}\)（当且仅当\(a = 3b=\frac{5}{2}\)时取等号）。

6. 例6：已知\(x,y\in R^{+}\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)，求\(x + y\)的最小值。

解法：

因为\(x + y=(x + y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=1+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}+1 = 2+\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\)。

根据均值不等式\(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\geq2\sqrt{\frac{y}{x}\times\frac{x}{y}} = 2\)（当且仅当\(x = y = 2\)时取等号）。

所以\(x + y\geq2 + 2 = 4\)。

又因为\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1\)，可得\(y=\frac{x}{x - 1}\)，代入\(x + y\)可得\(x+\frac{x}{x - 1}=x+\frac{x - 1+1}{x - 1}=x + 1+\frac{1}{x - 1}\)。

根据均值不等式\(x - 1+\frac{1}{x - 1}\geq2\)（当且仅当\(x - 1=\frac{1}{x - 1}\)，即\(x = 2\)时取等号），所以\(x + y\geq4\)。

7. 例7：已知\(p,q\in R^{+}\)，且\(p^{2}+q^{2}=2\)，求\(\sqrt{p}+\sqrt{q}\)的最大值。

解法：

因为\((\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2}=p + q + 2\sqrt{pq}\)。

根据均值不等式\(pq\leq\frac{p^{2}+q^{2}}{2}=1\)（当且仅当\(p = q = 1\)时取等号）。

又\(p + q\leq\sqrt{2(p^{2}+q^{2})}=2\)（当且仅当\(p = q = 1\)时取等号）。

所以\((\sqrt{p}+\sqrt{q})^{2}=p + q + 2\sqrt{pq}\leq2 + 2\times1 = 4\)，则\(\sqrt{p}+\sqrt{q}\leq2\)（当且仅当\(p = q = 1\)时取等号）。

8. 例8：已知\(x,y\in R^{+}\)，且\(3x + 2y = 10\)，求\(\sqrt{3x}+\sqrt{2y}\)的最大值。

解法：

因为\((\sqrt{3x}+\sqrt{2y})^{2}=3x + 2y + 2\sqrt{6xy}\)。

根据均值不等式\(3x + 2y\geq2\sqrt{6xy}\)，已知\(3x + 2y = 10\)，所以\(10\geq2\sqrt{6xy}\)，解得\(xy\leq\frac{25}{6}\)。

所以\((\sqrt{3x}+\sqrt{2y})^{2}=10 + 2\sqrt{6xy}\leq10 + 2\sqrt{6\times\frac{25}{6}} = 20\)，则\(\sqrt{3x}+\sqrt{2y}\leq2\sqrt{5}\)（当且仅当\(3x = 2y = 5\)时取等号）。