函数 03 函数的周期性（周期函数）

一、周期函数的定义

1. 周期函数的基本定义

设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)。如果存在一个非零常数\(T\)，使得对于任意的\(x\in D\)，都有\(x + T\in D\)，并且\(f(x+T)=f(x)\)成立，那么就称函数\(y = f(x)\)是周期函数，非零常数\(T\)称为函数\(y = f(x)\)的一个周期。

例如，对于函数\(y=\sin x\)，其定义域为\((-\infty,+\infty)\)。因为\(\sin(x + 2\pi)=\sin x\)对任意\(x\in(-\infty,+\infty)\)都成立，所以\(y = \sin x\)是周期函数，\(2\pi\)是它的一个周期。

2. 周期函数的最小正周期

在周期函数\(y = f(x)\)的所有周期中，如果存在一个最小的正数\(T_0\)，使得\(f(x + T_0)=f(x)\)对定义域内任意\(x\)都成立，那么\(T_0\)就称为函数\(y = f(x)\)的最小正周期。

例如，对于函数\(y = \sin x\)，它的周期有\(2k\pi\)（\(k\in Z,k\neq0\)），其中最小正周期是\(2\pi\)。

并不是所有周期函数都有最小正周期。

如狄利克雷函数\(D(x)=\left\{\begin{array}{l}1,x\in Q\\ 0,x\in R - Q\end{array}\right.\)，任意非零有理数都是它的周期，但没有最小正周期。

3. 周期函数定义的拓展理解

从函数图像的角度看，周期函数的图像具有重复性。

如果将周期函数\(y = f(x)\)的图像沿\(x\)轴方向平移\(T\)个单位（\(T\)是周期），得到的图像与原函数图像完全重合。

例如，\(y=\sin x\)，它的图象是正弦曲线。

在区间\([0,2\pi]\)上的图象形状，每隔\(2\pi\)就会重复出现一次。沿着\(x\)轴方向平移\(2\pi\)的整数倍，图象都能完全重合。

例如，\(y=\cos(x)\)的图像，当把它向左或向右平移\(2\pi\)，\(4\pi\)等（\(2k\pi,k\in Z,k\neq0\)）单位长度时，图像会完全重合，这也直观地体现了它是周期函数的特点。

同时，周期函数的定义域通常是无界的（至少在一个方向上），因为如果定义域是有界的，很难满足对于任意\(x\)，通过加上周期\(T\)后函数值保持不变的条件。

二、周期函数的基本性质

1. 周期的存在性：若\(T\)（\(T\neq0\)）是\(f(x)\)的周期，则\(-T\)也是\(f(x)\)的周期。

2. 周期的倍数性：若\(T\)（\(T\neq0\)）是\(f(x)\)的周期，则\(nT\)（\(n\)为任意非零整数）也是\(f(x)\)的周期。

证明：已知\(f(x+T) = f(x)\)，那么\(f(x + 2T)=f((x + T)+T)=f(x + T)=f(x)\)。

以此类推，对于任意的\(n\in Z,n\neq0\)，\(f(x + nT)=f(x)\)。

3. 周期的运算性：若\(T_1\)与\(T_2\)都是\(f(x)\)的周期，则\(T_1\pm T_2\)也是\(f(x)\)的周期。

4. 最小正周期的整数倍性：若\(f(x)\)有最小正周期\(T^*\)，那么\(f(x)\)的任何正周期\(T\)一定是\(T^*\)的正整数倍。

5. 无理数周期比与最小正周期的关系：若\(T_1\)、\(T_2\)是\(f(x)\)的两个周期，且\(\frac{T_1}{T_2}\)是无理数，则\(f(x)\)不存在最小正周期。

6. 定义域的无界性：周期函数\(f(x)\)的定义域必定是至少一方无界的集合。

三、周期函数的函数运算性质

1. 线性组合的周期性：若\(f(x)\)是在数集\(M\)上以\(T^*\)为最小正周期的周期函数，则\(kf(x)+c\)（\(k\neq0\)）也是集\(M\)上以\(T^*\)为周期的周期函数。

2. 倒数的周期性：若\(f(x)\)是周期函数且\(f(x)\neq0\)，则\(\frac{1}{f(x)}\)是集\(\{x|f(x)\neq0,x\in M\}\)上的以\(T^*\)为最小正周期的周期函数。

3. 函数和差积的周期性：设\(f_1(x)\)、\(f_2(x)\)都是集合\(M\)上的周期函数，\(T_1\)、\(T_2\)分别是它们的周期，若\(\frac{T_1}{T_2}\in Q\)，则\(f_1(x)\pm f_2(x)\)与\(f_1(x)f_2(x)\)也是\(M\)上的周期函数，\(T_1\)与\(T_2\)的公倍数为它们的周期。

例1：已知函数\(f(x)\)的周期为\(2\)，函数\(g(x)\)的周期为\(2\)，判断函数\(h(x)=f(x)+g(x)\)的周期。

思路：因为\(f(x)\)的周期为\(2\)，所以\(f(x + 2)=f(x)\)；\(g(x)\)的周期为\(2\)，所以\(g(x + 2)=g(x)\)。则\(h(x + 2)=f(x + 2)+g(x + 2)=f(x)+g(x)=h(x)\)，所以\(h(x)\)的周期为\(2\)。

例2：已知函数\(f(x)\)的周期为\(3\)，函数\(g(x)\)的周期为\(3\)，判断函数\(h(x)=f(x)\cdot g(x)\)的周期。

思路：因为\(f(x)\)的周期为\(3\)，所以\(f(x + 3)=f(x)\)；\(g(x)\)的周期为\(3\)，所以\(g(x + 3)=g(x)\)。则\(h(x + 3)=f(x + 3)\cdot g(x + 3)=f(x)\cdot g(x)=h(x)\)，所以\(h(x)\)的周期为\(3\)。

例3：已知函数\(f(x)\)的周期为\(4\)，\(g(x)=f(2x)\)，判断\(g(x)\)的周期。

思路：令\(t = 2x\)，因为\(f(x)\)的周期为\(4\)，所以\(f(t + 4)=f(t)\)，即\(f(2x + 4)=f(2x)\)，则\(g(x + 2)=f(2(x + 2))=f(2x + 4)=f(2x)=g(x)\)，所以\(g(x)\)的周期为\(2\)。

例4：已知函数\(f(x)\)的周期为\(2\)，\(g(x)=f(x + 1)\)，判断\(g(x)\)的周期。

思路：因为\(f(x)\)的周期为\(2\)，所以\(f(x + 2)=f(x)\)。则\(g(x + 2)=f(x + 3)=f((x + 2)+1)=f(x + 1)=g(x)\)，所以\(g(x)\)的周期为\(2\)。

例5：已知函数\(f(x)\)的周期为\(3\)，\(g(x)=f(x^2)\)，判断\(g(x)\)的周期。

思路：假设\(g(x)\)的周期为\(T\)，则\(g(x + T)=f((x + T)^2)=f(x^2 + 2Tx + T^2)\)，一般情况下\(f(x^2 + 2Tx + T^2)\neq f(x^2)\)，所以\(g(x)\)不是周期函数。

四、复合函数的周期性

1、复合函数的周期性基本结论

设\(y = f(u)\)的最小正周期为\(T_1\)，\(u = \varphi(x)\)的最小正周期为\(T_2\)，则\(y = f(\varphi(x))\)的最小正周期为\(T_1\)与\(T_2\)的最小公倍数，任一周期可表示为\(k\cdot T_1\cdot T_2\)（\(k\in R^+\)）。

2、内层函数为周期函数，外层函数非周期函数：

若\(g(x)\)是周期函数，周期为\(t_g\)，\(h(x)\)不是周期函数，则复合函数\(f(x)=g(h(x))\)一般不是周期函数。例如\(g(x)=\sin x\)，\(h(x)=x^2\)，则\(f(x)=\sin(x^2)\)不是周期函数。

3、内层函数非周期函数，外层函数为周期函数：

若\(g(x)\)不是周期函数，\(h(x)\)是周期函数，周期为\(t_h\)，则复合函数\(f(x)=g(h(x))\)一般不是周期函数。例如\(g(x)=x^2\)，\(h(x)=\sin x\)，则\(f(x)=(\sin x)^2\)虽然\((\sin x)^2=\frac{1 - \cos 2x}{2}\)有周期，但不能简单地根据内外层函数直接判断，需化简后再看。

4、内外层函数均为周期函数，周期存在整数倍关系：

若\(g(x)\)的周期为\(t_g\)，\(h(x)\)的周期为\(t_h\)，且存在整数\(k\)，使得\(t_h=kt_g\)，则复合函数\(f(x)=g(h(x))\)具有周期性，周期可能为\(t_h\)或\(t_g\)的整数倍。例如\(g(x)=\cos x\)，\(h(x)=2x\)，\(\cos x\)的周期为\(2\pi\)，\(2x\)的周期为\(\pi\)，\(f(x)=\cos(2x)\)的周期为\(\pi\)。

5、内外层函数均为周期函数，周期不存在整数倍关系：

若\(g(x)\)和\(h(x)\)都是周期函数，但它们的周期不存在整数倍关系，则复合函数\(f(x)=g(h(x))\)的周期性需要具体分析，可能不是周期函数，也可能存在其他复杂的周期规律。

五、特殊函数的周期性

1、常函数：

常函数\(y = C\)（\(C\)为常数）是周期函数，其周期为任意非零实数。

2、正弦函数：

\(y = \sin x\)是周期函数，其最小正周期为\(2\pi\)，即\(\sin(x + 2\pi)=\sin x\)对任意\(x\in R\)恒成立。

3、余弦函数：

\(y = \cos x\)的最小正周期也是\(2\pi\)，\(\cos(x + 2\pi)=\cos x\)对任意\(x\in R\)恒成立。

4、正切函数：

\(y = \tan x\)的周期为\(\pi\)，\(\tan(x + \pi)=\tan x\)，其定义域为\(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\)。

5、狄利克雷函数

定义为\(D(x)=\begin{cases}1, & x\in Q \\ 0, & x\in R\setminus Q\end{cases}\)，它是周期函数，任何非零有理数都是它的周期，但不存在最小正周期。

6、向下取整函数：

\(y = \lfloor x\rfloor\)不是周期函数，但\(y = \lfloor x\rfloor - x\)是周期函数，周期为\(1\)。

7、向上取整函数：

\(y = \lceil x\rceil\)不是周期函数，但\(y = \lceil x\rceil - x\)是周期函数，周期为\(1\)。

8、抽象函数：

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x + a)=f(x)\)，则\(y = f(x)\)是以\(a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=-f(x)\)，则\(f(x + 2a)=f((x + a)+a)=-f(x + a)=f(x)\)，所以\(y = f(x)\)是以\(2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=\frac{1}{f(x)}\)，则\(f(x + 2a)=f((x + a)+a)=\frac{1}{f(x + a)}=f(x)\)，\(y = f(x)\)是以\(2a\)为周期的周期函数。

9、锯齿波函数：

\(y = x - \lfloor x\rfloor\)，周期为\(1\)，在区间\([0,1)\)内，函数图象呈锯齿状，且在每个整数点处发生跳跃。

六、周期函数的最小正周期

1. 最小正周期的定义

对于一个周期函数\(y = f(x)\)，它的周期有无数个。在所有周期中，最小的正数周期称为最小正周期。

例如，函数\(y=\sin x\)，其周期为\(2k\pi\)（\(k\in Z,k\neq0\)），其中\(2\pi\)是最小正周期。

2. 求最小正周期的方法

公式法（三角函数）

对于函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)和\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)（\(A\neq0,\omega\neq0\)），其最小正周期\(T = \frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)。

例如，对于函数\(y = 3\sin(2x +\frac{\pi}{4})\)，因为\(\omega = 2\)，所以最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\vert2\vert}=\pi\)。

对于函数\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)（\(A\neq0,\omega\neq0\)），其最小正周期\(T=\frac{\pi}{\vert\omega\vert}\)。

比如，函数\(y=\tan(3x - \frac{\pi}{6})\)，由于\(\omega = 3\)，最小正周期\(T = \frac{\pi}{\vert3\vert}=\frac{\pi}{3}\)。

定义法（抽象函数）

根据周期函数的定义，假设最小正周期为\(T\)，通过\(f(x + T)=f(x)\)来求解\(T\)。

例如，已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + a)=-f(x)\)，求其最小正周期。

由\(f(x + a)=-f(x)\)可得\(f(x + 2a)=f[(x + a)+a]=-f(x + a)=f(x)\)，所以最小正周期为\(2a\)。

图像法

画出函数的图像，观察图像重复出现的最小间隔。

例如，对于函数\(y = \vert\sin x\vert\)，画出其图像，发现它的图像是将\(y=\sin x\)位于\(x\)轴下方的部分翻折到\(x\)轴上方得到的。通过观察可知，其最小正周期为\(\pi\)，而\(y=\sin x\)的最小正周期是\(2\pi\)。

3. 特殊情况说明

不是所有周期函数都有最小正周期。

例如，狄利克雷函数\(D(x)=\left\{\begin{array}{l}1,x\in Q\\ 0,x\in R - Q\end{array}\right.\)，任意非零有理数都是它的周期，由于不存在最小的正有理数，所以狄利克雷函数没有最小正周期。

常函数\(y = C\)（\(C\)为常数）是周期函数，任意非零实数都是它的周期，没有最小正周期的说法，因为不存在最小的正实数来作为其“最小正周期”。

七、周期函数的判断方法

1. 定义法

原理：根据周期函数的定义，对于函数\(y = f(x)\)，如果存在一个非零常数\(T\)，使得当\(x\)取定义域内的每一个值时，\(f(x + T)=f(x)\)都成立，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，\(T\)是它的一个周期。

步骤：

假设存在一个非零常数\(T\)。

将\(x\)替换为\(x + T\)代入函数表达式，得到\(f(x + T)\)。

化简\(f(x + T)\)，并判断是否等于\(f(x)\)。如果对于某个非零常数\(T\)，\(f(x + T)=f(x)\)恒成立，则函数是周期函数；否则不是。

示例：判断函数\(f(x)=x^2\)是否为周期函数。

假设存在非零常数\(T\)，则\(f(x + T)=(x + T)^2=x^2 + 2Tx+T^2\)。

因为\(x^2 + 2Tx+T^2\neq x^2\)（除非\(T = 0\)），所以\(f(x)=x^2\)不是周期函数。

例1：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=f(x)\)，判断函数\(f(x)\)是否为周期函数，若是，求出周期。

思路：根据周期函数的定义，已知\(f(x + 2)=f(x)\)，满足\(f(x + T)=f(x)\)的形式，所以函数\(f(x)\)是周期函数，周期\(T = 2\)。

例2：对于函数\(f(x)\)，若\(f(x + 1)-f(x)=0\)恒成立，判断其周期性。

思路：由\(f(x + 1)-f(x)=0\)可得\(f(x + 1)=f(x)\)，根据定义可知\(f(x)\)是周期函数，周期为\(1\)。

例3：已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且对任意\(x\in R\)，都有\(f(x + 3)=f(x + 1)\)，判断函数\(f(x)\)的周期性。

思路：令\(t = x + 1\)，则\(x = t - 1\)，那么\(f(t + 2)=f(t)\)，所以\(f(x)\)是周期函数，周期为\(2\)。

例4：设函数\(f(x)\)在\(R\)上满足\(f(x + 4)=f(x + 2)\)，且\(f(1)=2\)，求\(f(5)\)。

思路：由\(f(x + 4)=f(x + 2)\)可得\(f(x + 2)=f(x)\)，所以\(f(x)\)的周期为\(2\)。则\(f(5)=f(4 + 1)=f(1)=2\)。

例5：已知函数\(f(x)\)对任意实数\(x\)满足\(f(x + 6)=f(x)\)，且当\(x\in[0,3]\)时，\(f(x)=x^2\)，求\(f(9)\)。

思路：因为\(f(x + 6)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(6\)。则\(f(9)=f(6 + 3)=f(3)=3^2=9\)。

2. 公式法（针对三角函数）

原理：对于三角函数\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)和\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)（\(A\neq0\)，\(\omega\neq0\)），其周期\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)；对于\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)（\(A\neq0\)，\(\omega\neq0\)），其周期\(T=\frac{\pi}{\vert\omega\vert}\)。

步骤：

对于给定的三角函数，确定其\(\omega\)的值。

根据相应的周期公式计算周期。

示例：判断函数\(y = 3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)是否为周期函数，若是，求出周期。

这里\(\omega = 2\)，根据公式\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，可得\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，所以该函数是周期函数，周期为\(\pi\)。

例1：求函数\(y = 3\sin(2x+\frac{\pi}{3})+1\)的周期。

思路：对于\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)，周期公式为\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，这里\(\omega = 2\)，所以周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

例2：求函数\(y = 2\cos(3x-\frac{\pi}{4})\)的周期。

思路：对于\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)，周期公式为\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，这里\(\omega = 3\)，所以周期\(T=\frac{2\pi}{3}\)。

例3：求函数\(y = \tan(4x+\frac{\pi}{6})\)的周期。

思路：对于\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)，周期公式为\(T=\frac{\pi}{\vert\omega\vert}\)，这里\(\omega = 4\)，所以周期\(T=\frac{\pi}{4}\)。

例4：已知函数\(y = 5\sin(\omega x+\frac{\pi}{3})\)的周期为\(2\pi\)，求\(\omega\)的值。

思路：由\(y = A\sin(\omega x+\varphi)+k\)的周期公式\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，已知\(T = 2\pi\)，可得\(\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}=2\pi\)，解得\(\omega=\pm1\)。

例5：函数\(y = \sin^2x\)可以化为\(y=\frac{1 - \cos2x}{2}\)，求其周期。

思路：对于\(y=\frac{1 - \cos2x}{2}\)，其中\(\cos2x\)的周期为\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，所以\(y = \sin^2x\)的周期为\(\pi\)。

3. 图像法

原理：如果函数的图像能够在水平方向上通过平移一定的距离后完全重合，那么该函数是周期函数，平移的距离就是函数的周期。

步骤：

绘制函数的图像（可以通过手绘或者利用软件绘图）。

观察图像是否具有重复性，即是否能找到一个水平距离\(T\)，使得图像在平移\(T\)个单位后与原图像重合。

示例：判断函数\(y=\vert\sin x\vert\)是否为周期函数。

画出\(y = \sin x\)的图像，然后将\(y=\sin x\)图像位于\(x\)轴下方的部分翻折到\(x\)轴上方得到\(y=\vert\sin x\vert\)的图像。

可以观察到图像每隔\(\pi\)个单位就会重复，所以\(y=\vert\sin x\vert\)是周期函数，周期为\(\pi\)。

4. 常见的抽象函数周期结论

若\(f(x + a)=f(x)\)，则\(y = f(x)\)是以\(T = a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=-f(x)\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x + a)=\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)），则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=f(x-a)\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 2a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=-\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 4a\)为周期的周期函数。

若\(f(x+a)=\frac{1 + f(x)}{1 - f(x)}\)，则\(f(x)\)是以\(T = 4a\)为周期的周期函数。

步骤：

观察函数所满足的条件，看是否符合已知的周期结论形式。

根据相应结论判断函数是否为周期函数并求出周期。

示例：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=-f(x)\)，判断函数是否为周期函数。

因为\(f(x + 2)=-f(x)\)，根据结论可知\(f(x + 4)=f[(x + 2)+2]=-f(x + 2)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)是周期函数，周期为\(4\)。

例1：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 3)=-f(x)\)，求函数\(f(x)\)的周期。

思路：因为\(f(x + 3)=-f(x)\)，则\(f(x + 6)=f[(x + 3)+3]=-f(x + 3)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(6\)。

例2：若函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)（\(f(x)\neq0\)），求函数\(f(x)\)的周期。

思路：由\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)可得\(f(x + 4)=f[(x + 2)+2]=\frac{1}{f(x + 2)}=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。

例3：已知函数\(f(x)\)的图象关于直线\(x = 1\)和\(x = 3\)对称，求函数\(f(x)\)的周期。

思路：因为函数\(f(x)\)的图象关于直线\(x = 1\)和\(x = 3\)对称，根据函数对称性与周期性的关系，可得周期\(T = 2\vert1 - 3\vert=4\)。

例4：若函数\(f(x)\)满足\(f(x + 4)=f(x - 2)\)，求函数\(f(x)\)的周期。

思路：令\(t = x - 2\)，则\(x = t + 2\)，那么\(f(t + 6)=f(t)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(6\)。

例5：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，求函数\(f(x)\)的周期。

思路：由\(f(x + 2)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)可得\(f(x + 4)=f[(x + 2)+2]=\frac{1 - f(x + 2)}{1 + f(x + 2)}=\frac{1 - \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}{1 + \frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。

5. 递推法（针对抽象函数）

原理：通过对函数的递推关系进行多次迭代，看是否能找到周期规律。

步骤：

根据已知的函数关系，如\(f(x + a)\)与\(f(x)\)的关系，进行多次迭代。

观察迭代后的结果是否出现\(f(x + nT)=f(x)\)（\(n\)为正整数，\(T\)为周期）的形式。

示例：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 1)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)，判断函数是否为周期函数。

计算\(f(x + 2)=f[(x + 1)+1]=\frac{1 - f(x + 1)}{1 + f(x + 1)}\)，将\(f(x + 1)=\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}\)代入可得\(f(x + 2)=\frac{1-\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}{1+\frac{1 - f(x)}{1 + f(x)}}=\frac{2f(x)}{2}=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)是周期函数，周期为\(2\)。

例1：判断函数\(y = f(x)= \cos 2x\)的周期

解：根据三角函数周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（对于\(y = A\cos(\omega x+\varphi)+k\)），这里\(\omega = 2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

验证：\(f(x+\pi)=\cos(2(x + \pi))=\cos(2x + 2\pi)=\cos 2x=f(x)\)，所以函数\(y=\cos 2x\)的周期是\(\pi\)。

例2：判断函数\(y = f(x)=\sin^2x\)是否为周期函数，若是，求其周期

解：因为\(\sin^{2}x=\frac{1 - \cos 2x}{2}\)，而\(y=\cos 2x\)的周期是\(\pi\)，所以\(y = f(x)=\sin^{2}x\)是周期函数，周期为\(\pi\)。

验证：\(f(x+\pi)=\sin^{2}(x+\pi)=[\sin(x + \pi)]^{2}=(-\sin x)^{2}=\sin^{2}x=f(x)\)。

例3：已知函数\(y = f(x)\)是周期为\(2\)的周期函数，且当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^{2}\)，求\(f(5)\)的值

解：因为函数\(y = f(x)\)的周期是\(2\)，所以\(f(5)=f(2\times2 + 1)=f(1)\)。

当\(x = 1\)时，\(f(1)=1^{2}=1\)，所以\(f(5)=1\)。

例4：判断函数\(y = f(x)=x\cos x\)是否为周期函数

解：假设\(y = f(x)=x\cos x\)是周期函数，设周期为\(T\neq0\)，则\(f(x + T)=(x + T)\cos(x + T)=x\cos x=f(x)\)。

令\(x = 0\)，则\(T\cos T = 0\)；令\(x=\frac{\pi}{2}\)，\((\frac{\pi}{2}+T)\cos(\frac{\pi}{2}+T)=\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2}\)，即\(-(\frac{\pi}{2}+T)\sin T = 0\)。

由\(T\cos T = 0\)得\(T=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\)，代入\(-(\frac{\pi}{2}+T)\sin T = 0\)不恒成立，所以\(y = x\cos x\)不是周期函数。

例5：函数\(y = f(x)\)满足\(f(x + 3)=\frac{1}{f(x)}\)，求证：函数\(y = f(x)\)是周期函数，并求其周期

解：因为\(f(x + 3)=\frac{1}{f(x)}\)，所以\(f(x + 6)=f((x + 3)+3)=\frac{1}{f(x + 3)}=\frac{1}{\frac{1}{f(x)}}=f(x)\)。

所以函数\(y = f(x)\)是周期函数，周期为\(6\)。

例6：已知函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)和\(x = b(a\neq b)\)对称，求证：函数\(y = f(x)\)是周期函数，并求其周期

解：因为函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = a\)对称，则\(f(a + x)=f(a - x)\)，令\(x=a - x\)，得\(f(x)=f(2a - x)\)。

又因为函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = b\)对称，则\(f(b + x)=f(b - x)\)，令\(x = b - x\)，得\(f(x)=f(2b - x)\)。

所以\(f(2a - x)=f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，\(f(t)=f(t + 2(b - a))\)。

所以函数\(y = f(x)\)是周期函数，周期\(T = 2|b - a|\)。

例7：求函数\(y=\tan(2x-\frac{\pi}{4})\)的周期

解：对于函数\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)，其周期\(T=\frac{\pi}{\omega}\)，这里\(\omega = 2\)，所以\(T=\frac{\pi}{2}\)。

验证：\(y=\tan(2(x+\frac{\pi}{2})-\frac{\pi}{4})=\tan(2x + \pi-\frac{\pi}{4})=\tan(2x-\frac{\pi}{4})\)。

例8：设函数\(y = f(x)\)是定义在\(R\)上的周期为\(2\)的偶函数，当\(x\in[0,1]\)时，\(f(x)=x + 1\)，求\(f(\frac{3}{2})\)的值

解：因为函数\(y = f(x)\)的周期是\(2\)，所以\(f(\frac{3}{2})=f(\frac{3}{2}-2)=f(-\frac{1}{2})\)。

又因为函数\(y = f(x)\)是偶函数，所以\(f(-\frac{1}{2})=f(\frac{1}{2})\)。

当\(x=\frac{1}{2}\)时，\(f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\)，所以\(f(\frac{3}{2})=\frac{3}{2}\)。

例9：已知函数\(y = f(x)\)满足\(f(x + 1)= - f(x)\)，且\(f(1)=2\)，求\(f(99)\)的值

解：因为\(f(x + 1)= - f(x)\)，所以\(f(x + 2)=f((x + 1)+1)= - f(x + 1)=f(x)\)。

所以函数\(y = f(x)\)是周期为\(2\)的周期函数。

因为\(99 = 2\times49+1\)，所以\(f(99)=f(1)=2\)。

例10：判断函数\(y = f(x)=|\tan x|\)的周期

解：因为\(y = \tan x\)的周期是\(\pi\)，\(y = |\tan x|\)的图象是将\(y=\tan x\)图象中\(x\)轴下方部分翻折到\(x\)轴上方。

对于\(y = |\tan(x+\pi)|=|\tan x|\)，所以\(y = |\tan x|\)的周期是\(\pi\)。

验证：当\(x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)时，\(\tan x\)在\((-\frac{\pi}{2},0)\)上小于\(0\)，在\((0,\frac{\pi}{2})\)上大于\(0\)，\(y = |\tan x|\)的图象在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上关于\(x = 0\)对称，且每隔\(\pi\)重复一次，所以周期为\(\pi\)。

八、函数对称性与周期性的关系：

1、轴对称与周期性

若函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x = a\)与直线\(x = b\)对称\((a≠b)\)，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 2|b - a|\)。

推导过程如下：

因为函数\(f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，则\(f(x)=f(2a - x)\)；又因为函数\(f(x)\)关于直线\(x = b\)对称，则\(f(x)=f(2b - x)\)。

所以\(f(2a - x)=f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，那么\(f(t)=f(2b-(2a - t))=f(t + 2(b - a))\)，即\(f(x)=f(x + 2(b - a))\)，所以函数\(f(x)\)的周期是\(2|b - a|\)。

2、中心对称与周期性

两个中心对称：若函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((a,0)\)对称，又关于点\((b,0)\)对称\((a≠b)\)，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 2|b - a|\)。

因为函数\(f(x)\)关于点\((a,0)\)对称，则\(f(x)=-f(2a - x)\)；又因为函数\(f(x)\)关于点\((b,0)\)对称，则\(f(x)=-f(2b - x)\)。

所以\(-f(2a - x)=-f(2b - x)\)，即\(f(2a - x)=f(2b - x)\)，后续推导与上述轴对称推导类似，可得函数\(f(x)\)的周期是\(2|b - a|\)。

一个轴对称一个中心对称：若函数\(y = f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，又关于点\((b,0)\)对称\((a≠b)\)，那么函数\(y = f(x)\)是周期函数，且周期\(T = 4|b - a|\)。

因为函数\(f(x)\)关于直线\(x = a\)对称，则\(f(x)=f(2a - x)\)；又因为函数\(f(x)\)关于点\((b,0)\)对称，则\(f(x)=-f(2b - x)\)。

所以\(f(2a - x)=-f(2b - x)\)，令\(t = 2a - x\)，则\(x = 2a - t\)，\(f(t)=-f(2b-(2a - t))=-f(t + 2(b - a))\)，即\(f(x)=-f(x + 2(b - a))\)，进而可得\(f(x + 4(b - a))=f((x + 2(b - a))+ 2(b - a))=-f(x + 2(b - a))=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期是\(4|b - a|\)。

九、周期函数在实际问题中的应用

1、弹簧振子运动：

弹簧振子在平衡位置附近做往复运动，其位移\(x\)与时间\(t\)的关系可建模为\(x = A\sin(\omega t+\varphi)\)，其中\(A\)是振幅，\(\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\)（\(k\)为弹簧劲度系数，\(m\)为振子质量），\(\varphi\)是初相位。通过该模型可计算振子在任意时刻的位置、速度和加速度等物理量。

2、LC振荡电路：

在由电感\(L\)和电容\(C\)组成的振荡电路中，电流\(i\)和电容两端电压\(u\)随时间呈周期性变化，可表示为\(i = I_m\sin(\omega t+\varphi)\)，\(u = U_m\sin(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2})\)，其中\(\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}\)，\(I_m\)和\(U_m\)分别是电流和电压的最大值。该模型可用于分析电路的振荡频率、能量转换等特性。

3、地球公转：

地球绕太阳公转的轨道近似为椭圆，以太阳为中心建立坐标系，地球在\(t\)时刻的位置坐标\((x,y)\)可建模为\(x = r\cos(\omega t+\varphi)\)，\(y = r\sin(\omega t+\varphi)\)，其中\(r\)是地球公转轨道半径，\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)（\(T\approx365.25\)天），\(\varphi\)是初相位。通过该模型可预测地球在不同时间的位置，以及四季的变化。

4、月球绕地运动：

假设月球绕地球做匀速圆周运动，以地球为中心建立坐标系，月球在\(t\)时刻的位置坐标\((x,y)\)可建模为\(x = R\cos(\omega t+\varphi)\)，\(y = R\sin(\omega t+\varphi)\)，其中\(R\)是月地距离，\(\omega=\frac{2\pi}{T}\)（\(T\approx27.3\)天），\(\varphi\)是初相位。该模型可用于研究月球的位置变化和潮汐现象等。

5、人体体温变化：

人体体温在一天内会呈现周期性波动，可建模为\(T(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+C\)，其中\(T(t)\)表示体温，\(A\)是体温波动幅度，\(\omega=\frac{2\pi}{24}\)（以一天24小时为周期），\(\varphi\)是初相位，\(C\)是平均体温。通过该模型可了解人体体温的变化规律，以及生物钟对体温的调节作用。

6、动物种群数量变化：

某些动物种群数量会呈现周期性波动，如野兔种群数量在没有外界干扰的情况下，可近似用逻辑斯蒂方程与周期函数结合的模型来描述，\(N(t)=\frac{K}{1+e^{-r(t-\varphi)}}\sin(\omega t+\varphi)+C\)，其中\(N(t)\)表示种群数量，\(K\)是环境容纳量，\(r\)是种群增长率，\(\omega\)和\(\varphi\)分别是与周期和初相位有关的参数，\(C\)是初始种群数量。该模型可用于研究动物种群的动态变化和生态平衡。

7、经济周期波动：

经济活动中的繁荣、衰退、萧条和复苏等阶段会周期性地出现，可建模为\(Y(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+C\)，其中\(Y(t)\)表示国内生产总值GDP或其他经济指标，\(A\)是经济波动幅度，\(\omega\)与经济周期的长短有关，\(\varphi\)是初相位，\(C\)是平均经济水平。通过该模型可预测经济的发展趋势，为政府制定宏观经济政策提供参考。

8、商品销售季节性波动：

某些商品的销售量会随着季节或节假日等因素呈现周期性变化，如夏季的冷饮销售量可建模为\(S(t)=A\sin(\omega t+\varphi)+C\)，其中\(S(t)\)表示销售量，\(A\)是销售量波动幅度，\(\omega=\frac{2\pi}{12}\)（以一年12个月为周期），\(\varphi\)是初相位，\(C\)是平均销售量。该模型可帮助商家提前安排生产和销售计划，优化库存管理。

9、音频信号处理：

声音信号是一种典型的周期函数，可通过傅里叶变换将复杂的音频信号分解为多个不同频率的正弦波的叠加，即\(s(t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(n\omega t+\varphi_n)\)，其中\(s(t)\)是音频信号，\(A_n\)、\(\omega\)和\(\varphi_n\)分别是第\(n\)个正弦波的振幅、角频率和初相位。该模型可用于音频的压缩、滤波、合成等处理。

10、图像信号处理：

在数字图像处理中，图像的周期性特征可以用二维周期函数来建模，如\(I(x,y)=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}A_{mn}\sin(m\omega_x x+n\omega_y y+\varphi_{mn})\)，其中\(I(x,y)\)是图像的灰度值，\(A_{mn}\)、\(\omega_x\)、\(\omega_y\)和\(\varphi_{mn}\)分别是二维正弦波的振幅、水平和垂直方向的角频率以及初相位。该模型可用于图像的压缩、纹理分析和模式识别等。

十、与周期函数有关的高考真题

全国新高考II卷：已知函数的定义域为\(R\)，且\(f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)f(y)\)，则（）

A. \(f(0)=1\) B. \(f(x)\)是偶函数 C. \(f(x)\)的一个周期为\(6\) D. \(f(22)=1\)

答案：A、B、C

解析：

选项A：令\(x = y = 0\)，则\(f(0)+f(0)=2f(0)f(0)\)，即\(2f(0)=2f^{2}(0)\)，解得\(f(0)=0\)或\(f(0)=1\)。若\(f(0)=0\)，令\(y = 0\)，则\(f(x)+f(x)=2f(x)f(0)=0\)，即\(f(x)=0\)，这与函数的定义域为\(R\)矛盾，所以\(f(0)=1\)，A正确。

选项B：令\(x = 0\)，则\(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)\)，即\(f(-y)=f(y)\)，所以\(f(x)\)是偶函数，B正确。

选项C：令\(y = x\)，则\(f(2x)+f(0)=2f(x)f(x)=2f^{2}(x)\)，即\(f(2x)=2f^{2}(x)-1\)。

令\(x = x + 3\)，则\(f(2(x + 3))=2f^{2}(x + 3)-1\)，又\(f(2(x + 3))=f(2x + 6)\)，所以\(f(2x + 6)=2f^{2}(x + 3)-1\)。

令\(x = -x\)，则\(f(-2x)=2f^{2}(-x)-1\)，因为\(f(x)\)是偶函数，所以\(f(-2x)=f(2x)\)，即\(2f^{2}(x)-1=2f^{2}(-x)-1\)，所以\(f^{2}(x)=f^{2}(-x)\)，即\(f(x)=f(-x)\)或\(f(x)=-f(-x)\)。

当\(f(x)=f(-x)\)时，\(f(x + 6)=f((x + 3)+3)=2f^{2}(x + 3)-f(0)\)

\(=2f^{2}(x + 3)-1=f(2(x + 3))=f(2x + 6)=f(2x)=f(x)\)，所以\(6\)是函数的一个周期；

当\(f(x)=-f(-x)\)时，\(f(x + 6)=f((x + 3)+3)=2f^{2}(x + 3)-f(0)=2f^{2}(x + 3)-1\)

\(=-f(2(x + 3))=-f(2x + 6)=-f(2x)=f(x)\)，所以\(6\)是函数的一个周期，C正确。

选项D：因为\(22\div6=3\cdots\cdots4\)，所以\(f(22)=f(4)=f(6-2)=f(-2)=f(2)\)。

令\(x = y = 1\)，则\(f(2)+f(0)=2f(1)f(1)=2f^{2}(1)\)，即\(f(2)=2f^{2}(1)-1\)，无法确定\(f(2)\)的值，所以\(f(22)\)的值不确定，D错误。