椭圆的定义1：

在平面内，设两个定点\(F_1,F_2\)，点\(P\)满足\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a\)（\(a>0\)），且\(2a>\vert F_{1}F_{2}\vert = 2c\)（\(c>0\)），则点\(P\)的轨迹是椭圆。

例如，若\(F_1(-1,0)\)，\(F_2(1,0)\)，\(a = 2\)，那么满足\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 4\)的点\(P\)的轨迹就是一个椭圆。这里\(c = 1\)，长半轴\(a = 2\)。

椭圆的定义2：

设点\(P(x,y)\)到定点\(F(c,0)\)（焦点）的距离\(\vert PF\vert\)与点\(P\)到定直线\(x=\frac{a^{2}}{c}\)（准线）的距离\(d\)之比为常数\(e=\frac{c}{a}\)（\(0 < e<1\)），即\(\frac{\vert PF\vert}{d}=e\)。

例如，对于椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，\(a = 2\)，\(c = 1\)，离心率\(e=\frac{1}{2}\)，焦点\(F(1,0)\)，准线\(x = 4\)，点\(P(x,y)\)在椭圆上时，\(\frac{\sqrt{(x - 1)^{2}+y^{2}}}{\vert x - 4\vert}=\frac{1}{2}\)。

椭圆的定义3：

设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)是椭圆上关于原点对称的两点，\(P(x,y)\)是椭圆上任意一点，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=k\)（\(k<0\)且\(k\neq - 1\)）。

例如，椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，设\(A( - 3,0)\)，\(B(3,0)\)，\(P(x,y)\)在椭圆上，则\(k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{y}{x + 3}\cdot\frac{y}{x - 3}=\frac{y^{2}}{x^{2}-9}\)，将\(y^{2}=4(1-\frac{x^{2}}{9})\)代入可得\(k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{4}{9}\)。

椭圆的长轴、短轴、焦距的关系：

对于椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)，长轴长\(2a\)，短轴长\(2b\)，焦距\(2c\)，根据勾股定理\(a^{2}=b^{2}+c^{2}\)。

例如，椭圆\(\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，这里\(a=\sqrt{5}\)，\(b = 2\)，则\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{5 - 4}=1\)。

椭圆的准线方程：

1. 焦点在\(x\)轴上的椭圆准线方程

对于椭圆方程\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>b>0\)），其焦点坐标为\(F_1(-c,0)\)，\(F_2(c,0)\)，其中\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)。

根据椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数\(e\)（\(0 < e<1\)）的动点的轨迹为椭圆，这个定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线，离心率\(e = \frac{c}{a}\)。

设点\(P(x,y)\)是椭圆上的任意一点，点\(P\)到焦点\(F_2(c,0)\)的距离\(\vert PF_{2}\vert=\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}\)，点\(P\)到准线\(x=\frac{a^{2}}{c}\)的距离\(d=\vert x-\frac{a^{2}}{c}\vert\)。

由椭圆的第二定义\(\frac{\vert PF_{2}\vert}{d}=e=\frac{c}{a}\)，可得\(\frac{\sqrt{(x - c)^{2}+y^{2}}}{\vert x-\frac{a^{2}}{c}\vert}=\frac{c}{a}\)。

对于焦点\(F_1(-c,0)\)，相应的准线方程为\(x = -\frac{a^{2}}{c}\)。所以焦点在\(x\)轴上的椭圆准线方程是\(x=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。

2. 焦点在\(y\)轴上的椭圆准线方程

椭圆方程为\(\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{x^{2}}{b^{2}} = 1\)（\(a>b>0\)），焦点坐标是\(F_1(0,-c)\)，\(F_2(0,c)\)，这里\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)。

设点\(P(x,y)\)是椭圆上的任意一点，点\(P\)到焦点\(F_2(0,c)\)的距离\(\vert PF_{2}\vert=\sqrt{(y - c)^{2}+x^{2}}\)，点\(P\)到准线\(y=\frac{a^{2}}{c}\)的距离\(d=\vert y-\frac{a^{2}}{c}\vert\)。

同样由椭圆的第二定义\(\frac{\vert PF_{2}\vert}{d}=e=\frac{c}{a}\)，可得\(\frac{\sqrt{(y - c)^{2}+x^{2}}}{\vert y-\frac{a^{2}}{c}\vert}=\frac{c}{a}\)。

对于焦点\(F_1(0,-c)\)，相应的准线方程为\(y = -\frac{a^{2}}{c}\)。所以焦点在\(y\)轴上的椭圆准线方程是\(y=\pm\frac{a^{2}}{c}\)。

例如，对于椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1\)，这里\(a^{2}=9\)，\(b^{2}=5\)，则\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9 - 5}=2\)，准线方程为\(x=\pm\frac{9}{2}\)；对于椭圆\(\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{12}=1\)，\(a^{2}=16\)，\(b^{2}=12\)，\(c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{16 - 12}=2\)，准线方程为\(y=\pm\frac{16}{2} = \pm8\)。

通径：

对于椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，过焦点\((c,0)\)垂直于长轴的直线\(x = c\)与椭圆的交点纵坐标为\(y=\pm\frac{b^{2}}{a}\)，两交点之间的距离即通径长为\(\frac{2b^{2}}{a}\)。

例如，椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，通径长为\(\frac{2\times4}{3}=\frac{8}{3}\)。

焦三角形面积：

设\(F_1,F_2\)为椭圆的两个焦点，\(P\)为椭圆上一点，\(\angle F_{1}PF_{2}=\theta\)，根据余弦定理\(\vert F_{1}F_{2}\vert^{2}=\vert PF_{1}\vert^{2}+\vert PF_{2}\vert^{2}-2\vert PF_{1}\vert\vert PF_{2}\vert\cos\theta\)，再结合\(\vert PF_{1}\vert+\vert PF_{2}\vert = 2a\)，通过化简可以得到焦点三角形\(F_1PF_2\)的面积\(S = b^{2}\tan\frac{\theta}{2}\)。

例如，椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，\(a = 2\)，\(b=\sqrt{3}\)，当\(\theta = 60^{\circ}\)时，焦点三角形面积\(S = 3\times\tan30^{\circ}=\sqrt{3}\)。

椭圆上一点的切线方程：

若点\(P(x_{0},y_{0})\)在椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)上，对椭圆方程两边求导，\(\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y\cdot y^{\prime}}{b^{2}} = 0\)，解得\(y^{\prime}=-\frac{b^{2}x}{a^{2}y}\)，在点\(P(x_{0},y_{0})\)处的切线斜率为\(k = -\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}\)，切线方程为\(y - y_{0}=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}(x - x_{0})\)，整理可得\(\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1\)。

例如，椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，点\(P(1,\frac{4\sqrt{2}}{3})\)在椭圆上，切线方程为\(\frac{1\times x}{9}+\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}y}{4}=1\)，即\(\frac{x}{9}+\frac{\sqrt{2}y}{3}=1\)。

切线平分焦周角：

设椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，\(F_1,F_2\)为焦点，\(P\)为椭圆上一点，过\(P\)点的切线\(l\)，设\(\angle F_{1}PM=\alpha\)，\(\angle F_{2}PM=\beta\)，可以通过角平分线定理的逆定理（若\(\frac{\vert PF_{1}\vert}{\vert PF_{2}\vert}=\frac{\vert F_{1}M\vert}{\vert F_{2}M\vert}\)，则\(PM\)是\(\angle F_{1}PF_{2}\)的外角平分线）来证明切线平分椭圆焦周角的外角。

切点连线与极线定理

若点\(P(x_{0},y_{0})\)在椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)外，则过\(P\)作椭圆的两条切线，切点为\(P_1,P_2\)。设\(P_1(x_{1},y_{1})\)，\(P_2(x_{2},y_{2})\)，对椭圆方程求导得到切线方程，再代入点\(P\)的坐标，经过一系列推导可以得到切点弦\(P_1P_2\)的直线方程即极线方程是\(\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}} = 1\)。

例如，椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)，点\(P(2,2)\)在椭圆外，根据极线方程可得\(\frac{2x}{4}+\frac{2y}{3}=1\)，即\(\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=1\)。

弦与中线斜率积

若\(AB\)是椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)内的一弦，设\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)，\(M(x_{0},y_{0})\)为\(AB\)的中点，则\(x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\)，\(y_{0}=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}\)。将\(A\)、\(B\)两点代入椭圆方程相减，经过化简可以得到\(k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{b^{2}}{a^{2}}\)。

例如，椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)，设\(A(1,\frac{4\sqrt{5}}{3})\)，\(B( - 1,-\frac{4\sqrt{5}}{3})\)，中点\(M(0,0)\)，\(k_{AB}=\frac{\frac{4\sqrt{5}}{3}-(-\frac{4\sqrt{5}}{3})}{1 - (-1)}=\frac{4\sqrt{5}}{3}\)，\(k_{OM}=0\)，\(k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{4}{9}\)（这里计算过程中忽略了代入椭圆方程相减的步骤）。

中点弦方程

若点\(P(x_{0},y_{0})\)在椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)内，则被\(P\)所平分的中点弦的方程是\(\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\)。推导过程类似弦与中线斜率积的推导，利用点差法，设弦的端点坐标代入椭圆方程相减，再结合中点坐标公式得到。

若点\(P(x_{0},y_{0})\)在椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)内，则过\(P\)的弦中点的轨迹方程是\(\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=\frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}\)。这是因为设弦中点为\(M(x,y)\)，利用上述中点弦方程的推导过程可以得到该轨迹方程。

焦点弦相关结论

以焦点弦\(PQ\)为直径的圆必与对应准线相离。设椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，焦点弦\(PQ\)，圆心到准线的距离\(d\)大于圆的半径\(\frac{\vert PQ\vert}{2}\)，通过椭圆的第二定义等知识可以证明。

以焦点半径\(PF_{1}\)为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切。设椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，\(F_1,F_2\)为焦点，\(P\)为椭圆上一点，根据两圆内切的判定条件（圆心距等于两圆半径之差），通过椭圆的定义和几何关系可以证明。

椭圆的其他结论

设\(A_{1},A_{2}\)为椭圆的左、右顶点，则\(\triangle PF_{1}F_{2}\)在边\(PF_{2}\)（或\(PF_{1}\)）上的旁切圆，必与\(A_{1}A_{2}\)所在的直线切于\(A_{2}\)（或\(A_{1}\)）。通过椭圆的几何性质、切线的性质以及旁切圆的定义等知识来证明。

椭圆\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)\)的两个顶点为\(A_{1}(-a,0)\)，\(A_{2}(a,0)\)，与\(y\)轴平行的直线交椭圆于\(P_{1}\)、\(P_{2}\)时，\(A_{1}P_{1}\)与\(A_{2}P_{2}\)交点的轨迹方程是\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)。通过设直线方程，求出交点坐标，再消去参数得到轨迹方程。

数学基础 - 中初数学、高中数学