一、根式的定义

若\(x^{n}=a\)（\(n\)是大于\(1\)的正整数），那么\(x\)叫做\(a\)的\(n\)次方根。

当\(n\)为偶数时，正数\(a\)有两个\(n\)次方根，它们互为相反数，记为\(\pm\sqrt[n]{a}\)；负数没有偶次方根！

当\(n\)为奇数时，正数\(a\)的\(n\)次方根是一个正数，负数\(a\)的\(n\)次方根是一个负数，都记为\(\sqrt[n]{a}\)。

式子\(\sqrt[n]{a}\)叫做根式，这里\(n\)叫做根指数（\(n\)是大于\(1\)的正整数），\(a\)叫做被开方数。

例如，\(2^{2}=4\)，\(( - 2)^{2}=4\)，所以\(4\)的平方根是\(\pm2\)，记为\(\pm\sqrt{4}\)；\(2^{3}=8\)，所以\(8\)的立方根是\(2\)，记为\(\sqrt[3]{8}\)。

二、根式的性质

当\(n\)为奇数时：\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\)

例如，\(\sqrt[3]{(-2)^{3}}=-2\)，因为\((-2)^{3}=-8\)，而\(\sqrt[3]{-8}=-2\)。

当\(n\)为偶数时：\(\sqrt[n]{a^{n}}=\vert a\vert\)

例如，\(\sqrt{4^{2}}=\vert4\vert = 4\)，\(\sqrt{(-4)^{2}}=\vert - 4\vert = 4\)。

这是因为当\(n\)为偶数时，\(a^{n}\)恒为非负数，开方后得到的结果也应该是非负的，所以是\(a\)的绝对值。

根式的乘法性质：\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)（\(a\geqslant0\)，\(b\geqslant0\)）

例如，\(\sqrt{4\times9}=\sqrt{4}\times\sqrt{9}=2\times3 = 6\)。

根式的除法性质：\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)（\(a\geqslant0\)，\(b > 0\)）

例如，\(\sqrt{\frac{16}{4}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2}=2\)。

三、根式的化简

化简根式：把被开方数分解因数，将能开得尽方的因数或因式开出来。

例如，化简\(\sqrt{72}\)，先将\(72\)分解因数为\(72 = 36\times2\)，则\(\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt{2}\)。

根式的有理化-分母有理化：当分母中含有根式时，通过一些运算将分母化为有理数的过程叫做分母有理化。

例如，对于\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)，为了将分母有理化，分子分母同时乘以\(\sqrt{2}\)，得到\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)。

对于含有形如\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)的分母，可利用平方差公式\((\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b\)进行分母有理化。

如对于\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\)，分子分母同时乘以\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)，得到\(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3 - 2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}\)。

根式的有理化-分子有理化：与分母有理化类似，分子有理化是将分子中的根式去掉的过程。

例如，对于式子\(\sqrt{x + 1}-\sqrt{x}\)，为了便于分析其性质，可进行分子有理化。

分子分母同时乘以\(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}\)，得到\(\frac{(\sqrt{x + 1}-\sqrt{x})(\sqrt{x + 1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}=\frac{(x + 1)-x}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x + 1}+\sqrt{x}}\)。

复合根式的化简：对于复合根式\(\sqrt{a+\sqrt{b}}\)（\(a,b>0\)），有时可以通过设元的方法进行化简。

例如，对于\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)，设\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)（\(x,y>0\)），两边平方得

\(5 + 2\sqrt{6}=x + y + 2\sqrt{xy}\)，则\(\begin{cases}x + y = 5\\xy = 6\end{cases}\)，解这个方程组得\(\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases}\)或\(\begin{cases}x = 2\\y = 3\end{cases}\)，所以

\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}\)。

四、根式的运算

根式的加减法：先将根式化为最简根式，然后合并同类根式。同类根式是指根指数和被开方数都相同的根式。

例如，计算\(\sqrt{12}+\sqrt{27}\)，化简得\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)，所以

\(\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}\)。

根式的乘除法：利用根式的乘除性质进行计算。

例如，计算\(\sqrt{6}\times\sqrt{3}\)，根据\(\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\)，可得\(\sqrt{6}\times\sqrt{3}=\sqrt{6\times3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)。

计算\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}\)，根据\(\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)，可得\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{10}{2}}=\sqrt{5}\)。

五、根式不等式

1. 根式不等式的定义及常见类型

定义：根式不等式是指不等式中含有根式的一类不等式。

例如，\(\sqrt{x - 1} > 2\)、\(\sqrt{2x + 3} < x\)等都是根式不等式，其特点就是不等式的表达式中至少有一项是根式的形式。

常见类型：

形如\(\sqrt{f(x)} > g(x)\)的不等式，比如\(\sqrt{x + 2} > 3x - 1\)。

形如\(\sqrt{f(x)} < g(x)\)的不等式，像\(\sqrt{3 - x} < 2x\)。

还有形如\(\sqrt{f(x)} \geq g(x)\)、\(\sqrt{f(x)} \leq g(x)\)等不等式类型，例如\(\sqrt{x^{2} - 1} \leq x\)。

2. 求解根式不等式的基本思路与方法

基本原则：

由于根式本身有取值范围的限制（根号下的式子非负），所以首先要确定使根式有意义的自变量取值范围，也就是要先求出\(f(x) \geq 0\)的解集。

然后根据不等式两边的正负情况进行分类讨论，并通过适当的变形来求解不等式。

对于\(\sqrt{f(x)} > g(x)\)型不等式的求解方法：

步骤一：确定根式有意义的范围：

先解不等式\(f(x) \geq 0\)，确定\(x\)的初步取值范围。

例如，对于不等式\(\sqrt{x - 1} > 2\)，要先解\(x - 1 \geq 0\)，得到\(x \geq 1\)。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当\(g(x) < 0\)时，只要满足\(f(x) \geq 0\)，原不等式就成立。

例如，在不等式\(\sqrt{x - 1} > 2 - x\)中，若\(2 - x < 0\)即\(x > 2\)，同时\(x \geq 1\)（由根式有意义的条件得出），那么\(x > 2\)这个范围就满足原不等式。

情况二：当\(g(x) \geq 0\)时，两边同时平方（因为此时两边都是非负的，可以平方保持不等号方向不变）来去掉根号，得到\(f(x) > g(x)^{2}\)，再解这个新的不等式。

例如，对于\(\sqrt{x - 1} > 2\)（这里\(2 \geq 0\)），两边平方得\(x - 1 > 4\)，即\(x > 5\)，结合前面\(x \geq 1\)的条件，最终不等式的解集就是\(x > 5\)。

对于\(\sqrt{f(x)} < g(x)\)型不等式的求解方法：

步骤一：同样先确定根式有意义的范围：

先求解\(f(x) \geq 0\)，确定\(x\)能取值的大致区间。例如对于\(\sqrt{3 - x} < 2x\)，先解\(3 - x \geq 0\)，得到\(x \leq 3\)。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当\(g(x) \leq 0\)时，原不等式无解，因为根号下的数是非负的，不可能小于一个非正数。

情况二：当\(g(x) > 0\)时，两边同时平方去掉根号，得到\(f(x) < g(x)^{2}\)，然后解这个不等式。比如对于\(\sqrt{3 - x} < 2x\)（这里\(2x > 0\)即\(x > 0\)），两边平方得\(3 - x < 4x^{2}\)，整理为\(4x^{2} + x - 3 > 0\)，因式分解得\((4x - 3)(x + 1) > 0\)，解得\(x > \frac{3}{4}\)或\(x < - 1\)，再结合\(x \leq 3\)和\(x > 0\)的条件，最终解集为\(x > \frac{3}{4}\)且\(x \leq 3\)，即\(\frac{3}{4} < x \leq 3\)。

3. 求解根式不等式的注意事项

平方操作的条件性：

只有当不等式两边都是非负的时候，才能通过两边平方的方式去掉根号进行求解，否则平方后不等号方向可能会出现错误，导致解集出错。

检验解集的准确性：

求出解集后，最好选取解集中的几个值代入原不等式进行检验，确保所得到的解集是完全正确的，避免出现增根或漏解的情况。例如在求解复杂的根式不等式经过多次变形后，有可能会引入一些不符合原不等式的多余解，通过检验就能发现并排除这些情况。

4. 应用举例

求解不等式\(\sqrt{2x + 5} \leq x + 1\)。

步骤一：确定根式有意义的范围：

解\(2x + 5 \geq 0\)，得\(x \geq -\frac{5}{2}\)。

步骤二：分类讨论求解：

情况一：当\(x + 1 \leq 0\)即\(x \leq - 1\)时，原不等式无解，因为根号下是非负的，不可能小于等于一个非正数。

情况二：当\(x + 1 > 0\)即\(x > - 1\)时，两边同时平方得\(2x + 5 \leq (x + 1)^{2}\)，展开并整理得\(x^{2} - 3\)，因式分解得\((x - 3)(x + 1) \geq 0\)，解得\(x \geq 3\)或\(x \leq - 1\)，结合\(x > - 1\)的条件，最终解集为\(x \geq 3\)。

综上，不等式\(\sqrt{2x + 5} \leq x + 1\)的解集为\(x \geq 3\)。 

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