复数 07 复数的几何意义
复数的几何意义主要体现在以下两个方面：
复数与复平面内的点一一对应
对于复数\(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)），可以用平面直角坐标系中的点\(Z(a,b)\)来表示。其中，\(a\)称为复数\(z\)的实部，\(b\)称为复数\(z\)的虚部。这个平面称为复平面，\(x\)轴称为实轴，\(y\)轴称为虚轴（除去原点）。例如，复数\(z = 3 + 2i\)对应复平面内的点\(Z(3,2)\)；复数\(z=-1 - 4i\)对应复平面内的点\(Z(-1,-4)\)。
复数集\(C\)和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即任一个复数都有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数和它对应。
复数与平面向量一一对应
复数\(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)）还可以用复平面内的向量\(\overrightarrow{OZ}\)来表示，其中\(O\)是坐标原点，点\(Z\)的坐标为\((a,b)\)。向量\(\overrightarrow{OZ}\)的模\(\vert\overrightarrow{OZ}\vert\)称为复数\(z\)的模，记作\(\vert z\vert\)，且\(\vert z\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)。例如，对于复数\(z = 4 + 3i\)，对应的向量\(\overrightarrow{OZ}=(4,3)\)，其模\(\vert z\vert=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5\)。
相等的向量表示同一个复数。当向量\(\overrightarrow{OZ}\)的终点\(Z\)在实轴上时，复数\(z\)是实数；当终点\(Z\)在虚轴上（除原点）时，复数\(z\)是纯虚数。
复数的加法和减法运算可以按照向量的加法和减法来进行。设\(z_1=a_1 + b_1i\)，\(z_2=a_2 + b_2i\)，它们对应的向量分别为\(\overrightarrow{OZ_1}=(a_1,b_1)\)，\(\overrightarrow{OZ_2}=(a_2,b_2)\)，则\(z_1 + z_2=(a_1 + a_2)+(b_1 + b_2)i\)对应的向量为\(\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}=(a_1 + a_2,b_1 + b_2)\)；\(z_1 - z_2=(a_1 - a_2)+(b_1 - b_2)i\)对应的向量为\(\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}=(a_1 - a_2,b_1 - b_2)\)。
复数的几何意义为复数的研究提供了直观的几何方法，使得我们可以借助几何图形来理解和解决复数相关的问题，在数学和物理等多个领域都有广泛的应用。
