圆锥曲线 13 椭圆与直线的位置关系
1. 联立方程判断
设椭圆方程为\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a>b>0)\)，直线方程为\(y = kx + m\)。
将直线方程代入椭圆方程，得到\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(kx + m)^{2}}{b^{2}}=1\)。
展开并整理可得\((a^{2}k^{2}+b^{2})x^{2}+2a^{2}kmx+a^{2}(m^{2}-b^{2}) = 0\)。
这是一个一元二次方程，我们可以通过判别式\(\Delta=(2a^{2}km)^{2}-4(a^{2}k^{2}+b^{2})\times a^{2}(m^{2}-b^{2})\)来判断直线与椭圆的位置关系。
2. 位置关系的具体情况
相交：
当\(\Delta>0\)时，直线与椭圆相交，此时直线与椭圆有两个不同的交点。例如，椭圆方程\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\)和直线方程\(y = x + 1\)，联立方程得到\((3 + 4)x^{2}+8x - 8 = 0\)，\(\Delta=8^{2}-4\times7\times(- 8)>0\)，所以直线与椭圆相交。
相切：
当\(\Delta = 0\)时，直线与椭圆相切，直线与椭圆只有一个公共点。比如椭圆\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)和直线\(y=\frac{2}{3}x + 2\)，联立后通过计算\(\Delta\)会发现\(\Delta = 0\)，说明直线与椭圆相切。
相离：
当\(\Delta<0\)时，直线与椭圆相离，直线与椭圆没有公共点。例如椭圆\(\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}=1\)和直线\(y = 2x+5\)，联立后\(\Delta<0\)，直线与椭圆相离。
3. 从几何角度理解
相交：从几何图形上看，相交就是直线穿过椭圆的内部，与椭圆的边界有两个交点。
相切：可以想象为直线刚好与椭圆接触，只有一个接触点，在这个点处直线的斜率与椭圆在该点处切线的斜率相同。
相离：直线与椭圆的图形完全没有交集，直线在椭圆的外部区域。
