一、自对称-轴对称：\(f(a + x)=f(b - x)\)，对称轴：\(x=\frac{a + b}{2}\)

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + x)=f(b - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x=\frac{a + b}{2}\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + mx)=f(b - mx)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x=\frac{a + b}{2}\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + x)=f(a - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x = a\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)=f(2a - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x = a\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)=f(a - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x=\frac{a}{2}\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a+x)=f(- x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x=\frac{a}{2}\)对称。

特别地：若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)=f( - x)\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于\(y\)轴对称，\( f(x)\)为偶函数。

证明：

在\(y = f(x)\)的图像上，设点\(P(x_{0},f(x_{0}))\)，点\(P\)关于直线\(x=\frac{a + b}{2}\)的对称点为\(Q(x,y)\)。

根据中点坐标公式\(\frac{x_{0}+x}{2}=\frac{a + b}{2}\)，解得\(x = a + b - x_{0}\)

又因为\(f(a + x)=f(b - x)\)，令\(x = x_{0}-a\)，则

\(f(x_{0})=f(a + (x_{0}-a))=f(b-(x_{0}-a))=f(a + b - x_{0})\)，即\(y = f(x)\)，

所以点\(Q\)也在函数\(y = f(x)\)的图像上，函数图像关于直线\(x=\frac{a + b}{2}\)对称。

特殊情况：关于y轴对称（偶函数）：\(f(x)=f( - x)\)

对于函数\(y = f(x)\)，如果对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(x)=f( - x)\)，那么函数\(y = f(x)\)的图像关于\(y\)轴对称。

示例：函数\(y = x^{2}\)，对于任意\(x\)，\(f(x)=x^{2}\)，\(f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}\)，所以\(f(x)=f( - x)\)，其图像是开口向上的抛物线，对称轴为\(y\)轴。

几何意义：在函数图像上，若点\((x,y)\)在图像上，则点\(( - x,y)\)也在图像上，这两点关于\(y\)轴对称，整个函数图像左右两侧相对\(y\)轴呈对称分布。

重点说明：关于直线\(x = a\)对称：\(f(a + x)=f(a - x)\)

对于函数\(y = f(x)\)，如果对于定义域内的任意\(x\)，都有\(f(a + x)=f(a - x)\)，那么函数\(y = f(x)\)的图像关于直线\(x = a\)对称。

函数\(y=(x - 1)^{2}\)

令\(a = 1\)

\(f(1 + x)=[(1 + x)-1]^{2}=x^{2}\)

\(f(1 - x)=[(1 - x)-1]^{2}=x^{2}\)

所以\(f(1 + x)=f(1 - x)\)，其图像是开口向上的抛物线，对称轴为\(x = 1\)。

几何意义：在函数图像上，若点\((a + x,y)\)在图像上，则点\((a - x,y)\)也在图像上，这两点关于直线\(x = a\)对称，函数图像沿着直线\(x = a\)折叠后，左右两侧完全重合。

二、自对称-中心对称：\(f(a + x)+f(b - x)=2c\)，对称中心\((\frac{a + b}{2},c)\)

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + x)+f(b - x)=2c\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((\frac{a + b}{2},c)\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + x)+f(b - x)=k\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((\frac{a + b}{2},\frac{k}{2})\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(a + x)+f(a - x)=k\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((a,\frac{k}{2})\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)+f(2a - x)=k\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((a,\frac{k}{2})\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)+f(h - x)=k\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((\frac{h}{2},\frac{k}{2})\)对称。

若函数\(y = f(x)\)满足\(f(h+x)+f(- x)=k\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于点\((\frac{h}{2},\frac{k}{2})\)对称。

特别地：若函数\(y = f(x)\)满足\(f(x)+f(-x)=0\)，则函数\(y = f(x)\)的图像关于原点\((0,0)\)对称，\(y = f(x)\)为奇函数。

证明：

设点\(P(x_{0},y_{0})\)在\(y = f(x)\)的图像上，则\(y_{0}=f(x_{0})\)。

设点\(P\)关于点\((\frac{a + b}{2},c)\)的对称点为\(Q(x,y)\)，

根据中点坐标公式可得\(\frac{x_{0}+x}{2}=\frac{a + b}{2}\)，解得\(x = a + b - x_{0}\)；\(\frac{y_{0}+y}{2}=c\)，解得\(y = 2c - y_{0}\)。

因为\(f(a + x)+f(b - x)=2c\)，令\(x = x_{0}-a\)，则\(f(x_{0})+f(a + b - x_{0})=2c\)，即\(y_{0}+f(a + b - x_{0})=2c\)，

所以\(f(a + b - x_{0})=2c - y_{0}=y\)，所以点\(Q\)也在函数\(y = f(x)\)的图像上，函数图像关于点\((\frac{a + b}{2},c)\)对称。

特殊情况：关于原点对称（奇函数）：\(f(-x)= - f(x)\)

当\(a = - b\)且\(c = 0\)时，\(f(a + x)+f(b - x)=f(-b + x)+f(b - x)=0\)，即\(f(-x)= - f(x)\)，函数\(y = f(x)\)的图像关于原点\((0,0)\)对称。例如函数\(y = x^{3}\)，\(f(x)=x^{3}\)，\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\)，其图像关于原点对称。

应用举例：

对于函数\(y = x^{3}-3x\)

\(f(x)=x^{3}-3x\)

\(f(-x)=(-x)^{3}-3(-x)=-x^{3}+3x=-(x^{3}-3x)= - f(x)\)

所以函数\(y = x^{3}-3x\)的图像关于原点\((0,0)\)对称。

可以通过求函数的导数\(y^\prime=3x^{2}-3\)，令\(y^\prime = 0\)，解得\(x=\pm1\)，再求出函数在\(x = \pm1\)处的值，进一步描绘出函数关于原点对称的图像特征。

三、互对称：两个函数图像之间的对称性

1、关于\(y\)轴对称：\(y = f(x)\)与\(y = f( - x)\)的图像对称性

关系：函数\(y = f(x)\)与\(y = f( - x)\)的图像关于\(y\)轴对称。

示例：设\(f(x)=2x + 1\)，则\(f(-x)= - 2x + 1\)，在同一坐标系中画出这两个函数的图像，可以明显看出它们关于\(y\)轴对称。

几何意义：对于函数\(y = f(x)\)图像上的任意一点\((x,y)\)，在函数\(y = f( - x)\)的图像上对应的点为\(( - x,y)\)，这两点关于\(y\)轴对称。

2、关于\(x\)轴对称：\(y = f(x)\)与\(y=-f(x)\)的图像对称性

关系：函数\(y = f(x)\)与\(y=-f(x)\)的图像关于\(x\)轴对称。

示例：若\(f(x)=x^{2}-1\)，则\(-f(x)=-(x^{2}-1)= - x^{2}+1\)，画出这两个函数的图像，它们关于\(x\)轴对称。

几何意义：对于函数\(y = f(x)\)图像上的任意一点\((x,y)\)，在函数\(y=-f(x)\)的图像上对应的点为\((x, - y)\)，这两点关于\(x\)轴对称。

3、关于原点对称：\(y = f(x)\)与\(y = - f( - x)\)的图像对称性

关系：函数\(y = f(x)\)与\(y = - f( - x)\)的图像关于原点对称。

示例：设\(f(x)=3x\)，则\(-f(-x)=-(-3x)=3x\)，这两个函数的图像重合，实际上它们是关于原点对称的特殊情况。一般情况下，对于任意函数\(y = f(x)\)，按照上述规则画出两个函数图像，会发现它们关于原点对称。

几何意义：对于函数\(y = f(x)\)图像上的任意一点\((x,y)\)，在函数\(y = - f( - x)\)的图像上对应的点为\(( - x, - y)\)，这两点关于原点对称。

4. 关于直线\(y = x\)对称（反函数关系）

关系：若函数\(y = f(x)\)存在反函数\(y = f^{-1}(x)\)，那么函数\(y = f(x)\)与\(y = f^{-1}(x)\)的图像关于直线\(y = x\)对称。

示例：对于函数\(y = 2x + 1\)，其反函数为\(y=\frac{x - 1}{2}\)。在平面直角坐标系中，函数\(y = 2x + 1\)的图像和它的反函数\(y=\frac{x - 1}{2}\)的图像关于直线\(y = x\)对称。可以通过在两个函数图像上取一些点来验证，如在\(y = 2x + 1\)上有点\((0,1)\)，在其反函数\(y=\frac{x - 1}{2}\)上有点\((1,0)\)，这两点关于直线\(y = x\)对称。

几何意义：从几何角度讲，对于函数\(y = f(x)\)图像上的任意一点\((a,b)\)，其反函数\(y = f^{-1}(x)\)图像上对应的点为\((b,a)\)，这两点的坐标互换，而点\((a,b)\)与点\((b,a)\)关于直线\(y = x\)对称，所以两个函数的图像关于直线\(y = x\)对称。

5. 关于点\((a,b)\)对称：\(f(x)+g(2a - x)=2b\)

若函数\(y = f(x)\)的图像与函数\(y = g(x)\)的图像关于点\((a,b)\)对称，则有\(f(x)+g(2a - x)=2b\)。

例如，函数\(y = x^{3}\)与函数\(y=- (x - 2)^{3}+2\)关于点\((1,1)\)对称。对于函数\(y = x^{3}\)上的任意一点\((x,y)\)，在函数\(y=- (x - 2)^{3}+2\)上有对应的点\((2 - x,2 - y)\)，满足\(y+(2 - y)=2\)，\(x+(2 - x) = 2\)，即两函数图像关于点\((1,1)\)对称。

6. 关于直线\(y = x + b\)对称

设函数\(y = f(x)\)和\(y = g(x)\)的图像关于直线\(y=x + b\)对称。对于函数\(y = f(x)\)图像上的任意一点\((x_{0},y_{0})\)，设其关于直线\(y=x + b\)的对称点为\((x,y)\)。

根据点关于直线对称的公式，两点\((x_{0},y_{0})\)与\((x,y)\)的中点\((\frac{x_{0}+x}{2},\frac{y_{0}+y}{2})\)在直线\(y=x + b\)上，且两点连线的斜率与直线\(y=x + b\)（斜率为\(1\)）的乘积为\(- 1\)。

由两点连线斜率\(\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}}=-1\)，可得\(y - y_{0}=-(x - x_{0})\)，即\(x_{0}=y - b\)，\(y_{0}=x + b\)。

所以\(g(x)=f^{-1}(x - b)\)，这里\(f^{-1}\)是\(f\)的反函数。例如，若\(y = 2x\)，设其关于\(y=x + 1\)对称的函数为\(y = g(x)\)，先求\(y = 2x\)的反函数\(y=\frac{1}{2}x\)，则\(g(x)=\frac{1}{2}(x - 1)\)。

7. 关于直线\(y=-x + b\)对称

同样对于函数\(y = f(x)\)图像上的点\((x_{0},y_{0})\)，设其关于直线\(y=-x + b\)的对称点为\((x,y)\)。

两点\((x_{0},y_{0})\)与\((x,y)\)的中点\((\frac{x_{0}+x}{2},\frac{y_{0}+y}{2})\)在直线\(y=-x + b\)上，且两点连线斜率\(\frac{y - y_{0}}{x - x_{0}}=1\)（因为与直线\(y=-x + b\)斜率\(-1\)乘积为\(-1\)）。

可得\(x_{0}=b - y\)，\(y_{0}=b - x\)，所以\(g(x)=b - f^{-1}(b - x)\)。例如，若\(y = x^{2}(x\geqslant0)\)，设其关于\(y=-x + 2\)对称的函数为\(y = g(x)\)，先求\(y = x^{2}(x\geqslant0)\)的反函数\(y=\sqrt{x}\)，则\(g(x)=2-\sqrt{2 - x}\)。

8. 关于直线\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)）对称

设函数\(y = f(x)\)图像上一点\(P(x_{1},y_{1})\)，其关于直线\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)）的对称点为\(Q(x,y)\)。

首先，两点\(P\)和\(Q\)连线的中点\(M(\frac{x_{1}+x}{2},\frac{y_{1}+y}{2})\)在直线\(y = kx + b\)上，所以有\(\frac{y_{1}+y}{2}=k\cdot\frac{x_{1}+x}{2}+b\)。

其次，直线\(PQ\)与直线\(y = kx + b\)垂直，因为两直线垂直斜率之积为\(-1\)，直线\(y = kx + b\)的斜率为\(k\)，所以直线\(PQ\)的斜率为\(-\frac{1}{k}\)，即\(\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}=-\frac{1}{k}\)。

联立这两个方程可以求解出\(x_{1}\)和\(y_{1}\)关于\(x\)和\(y\)的表达式，然后将\(x_{1}\)和\(y_{1}\)代入\(y_{1}=f(x_{1})\)，就可以得到与\(y = f(x)\)关于直线\(y = kx + b\)对称的函数表达式。

由\(\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}=-\frac{1}{k}\)可得\(y_{1}=y+\frac{x - x_{1}}{k}\)，将其代入\(\frac{y_{1}+y}{2}=k\cdot\frac{x_{1}+x}{2}+b\)中进行求解。

示例

假设\(k = 1\)，\(b = 0\)，即直线\(y=x\)。设\(y = f(x)\)图像上一点\(P(x_{1},y_{1})\)，其关于\(y=x\)的对称点\(Q(x,y)\)。

因为直线\(y=x\)的斜率为\(1\)，根据垂直关系，\(\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}=- 1\)，即\(y_{1}=x\)，\(x_{1}=y\)。所以函数\(y = f(x)\)与它关于\(y=x\)对称的函数\(y = f^{-1}(x)\)（反函数）满足这种关系。

再假设\(k = -1\)，\(b = 0\)，即直线\(y=-x\)。设\(y = f(x)\)图像上一点\(P(x_{1},y_{1})\)，其关于\(y=-x\)的对称点\(Q(x,y)\)。

直线\(y=-x\)的斜率为\(-1\)，由\(\frac{y - y_{1}}{x - x_{1}}=1\)，可得\(y_{1}=-x\)，\(x_{1}=-y\)。如果\(y = f(x)\)，那么其关于\(y=-x\)对称的函数为\(y=-f^{-1}(-x)\)。

9. 关于直线\(Ax + By+ C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）的对称

点关于直线对称的原理

设点\(P(x_0,y_0)\)关于直线\(Ax + By+ C = 0\)（\(A\)、\(B\)不同时为\(0\)）的对称点为\(Q(x,y)\)。

首先，线段\(PQ\)的中点\(M(\frac{x_0 + x}{2},\frac{y_0 + y}{2})\)在直线\(Ax+By + C = 0\)上，所以\(A\cdot\frac{x_0 + x}{2}+B\cdot\frac{y_0 + y}{2}+C = 0\)。

其次，直线\(PQ\)与直线\(Ax + By+ C = 0\)垂直。直线\(Ax + By+ C = 0\)的斜率为\(-\frac{A}{B}\)（当\(B\neq0\)时），则直线\(PQ\)的斜率为\(\frac{B}{A}\)（当\(A\neq0\)时），所以\(\frac{y - y_0}{x - x_0}=\frac{B}{A}\)（当\(A\neq0\)）。

联立这两个方程\(\begin{cases}A\cdot\frac{x_0 + x}{2}+B\cdot\frac{y_0 + y}{2}+C = 0\\\frac{y - y_0}{x - x_0}=\frac{B}{A}\end{cases}\)（当\(A\neq0\)）可以求解出\(x_0\)和\(y_0\)关于\(x\)和\(y\)的表达式。

由\(\frac{y - y_0}{x - x_0}=\frac{B}{A}\)可得\(y_0=y-\frac{B(x - x_0)}{A}\)，将其代入\(A\cdot\frac{x_0 + x}{2}+B\cdot\frac{y_0 + y}{2}+C = 0\)，经过化简可得：

\(x_0=\frac{B^2x - ABy - 2AC}{A^2 + B^2}\)，\(y_0=\frac{A^2y - ABx - 2BC}{A^2 + B^2}\)（当\(A\neq0\)且\(B\neq0\)）。

函数关于直线对称的方法

设函数\(y = f(x)\)图像上一点\((x_1,y_1)\)，其关于直线\(Ax + By+ C = 0\)的对称点为\((x,y)\)。

利用上述求出的点关于直线对称的公式，将\(x_1\)和\(y_1\)用\(x\)和\(y\)表示出来，即\(x_1=\frac{B^2x - ABy - 2AC}{A^2 + B^2}\)，\(y_1=\frac{A^2y - ABx - 2BC}{A^2 + B^2}\)（当\(A\neq0\)且\(B\neq0\)）。

因为\((x_1,y_1)\)在\(y = f(x)\)上，所以\(y_1 = f(x_1)\)，将\(x_1\)和\(y_1\)的表达式代入可得\(\frac{A^2y - ABx - 2BC}{A^2 + B^2}=f(\frac{B^2x - ABy - 2AC}{A^2 + B^2})\)，这就是与\(y = f(x)\)关于直线\(Ax + By+ C = 0\)对称的函数表达式（形式较复杂，具体应用时根据\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(f(x)\)的具体情况化简）。

例如，当\(A = 1\)，\(B=-1\)，\(C = 0\)时，直线为\(x-y = 0\)。设函数\(y = f(x)\)图像上一点\((x_1,y_1)\)关于直线\(x - y = 0\)的对称点为\((x,y)\)，根据上述公式可得\(x_1=y\)，\(y_1=x\)，那么与\(y = f(x)\)关于直线\(x - y = 0\)对称的函数是\(y = f^{-1}(x)\)（反函数关系）。

数学基础 - 中初数学、高中数学