复数 07 共轭复数
共轭复数是复数中的一个重要概念，以下将从定义、表示方法、性质以及几何意义等方面进行详细介绍：
共轭复数的定义
对于复数 \(z = a + bi\)（\(a,b\in R\)，\(i\)为虚数单位），其共轭复数是实部不变，虚部互为相反数的复数，记为 \(\overline{z}\)，即\(\overline{z}=a - bi\)。
例如：
若 \(z = 3 + 2i\)，则其共轭复数 \(\overline{z}=3 - 2i\)。
若 \(z=-1 - 4i\)，那么 \(\overline{z}=-1 + 4i\)。
当 \(b = 0\) 时，\(z = a\)（\(a\in R\)）为实数，此时它的共轭复数就是其本身，即\(\overline{z}=a\)，这表明实数的共轭复数是它自己。
共轭复数的性质
1. 共轭复数的和与积
和：\(z+\overline{z}=(a + bi)+(a - bi)=2a\)，结果为实数，且等于\(z\)实部的\(2\)倍。
积：\(z\cdot\overline{z}=(a + bi)(a - bi)=a^{2}-(bi)^{2}=a^{2}+b^{2}\)，同样为实数，并且\(z\cdot\overline{z}=\vert z\vert^{2}=\vert\overline{z}\vert^{2}\)。例如，若 \(z = 2 + 3i\)，则\(\overline{z}=2 - 3i\)，\(z+\overline{z}=(2 + 3i)+(2 - 3i)=4\)，\(z\cdot\overline{z}=(2 + 3i)(2 - 3i)=2^{2}-(3i)^{2}=4 + 9 = 13\)。
2. 共轭复数的运算性质
\(\overline{z_1 + z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\)：设\(z_1=a_1 + b_1i\)，\(z_2=a_2 + b_2i\)，则\(z_1 + z_2=(a_1 + a_2)+(b_1 + b_2)i\)，\(\overline{z_1 + z_2}=(a_1 + a_2)-(b_1 + b_2)i\)；\(\overline{z_1}=a_1 - b_1i\)，\(\overline{z_2}=a_2 - b_2i\)，\(\overline{z_1}+\overline{z_2}=(a_1 + a_2)-(b_1 + b_2)i\)，所以\(\overline{z_1 + z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}\)。
\(\overline{z_1 - z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}\)：类似可通过设\(z_1\)、\(z_2\)的表达式进行证明。
\(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)：设\(z_1=a_1 + b_1i\)，\(z_2=a_2 + b_2i\)，\(z_1\cdot z_2=(a_1a_2 - b_1b_2)+(a_1b_2 + a_2b_1)i\)，\(\overline{z_1\cdot z_2}=(a_1a_2 - b_1b_2)-(a_1b_2 + a_2b_1)i\)；\(\overline{z_1}=a_1 - b_1i\)，\(\overline{z_2}=a_2 - b_2i\)，\(\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}=(a_1 - b_1i)(a_2 - b_2i)=(a_1a_2 - b_1b_2)-(a_1b_2 + a_2b_1)i\)，所以\(\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)。
\(\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}(z_2\neq0)\)：证明过程可利用复数的除法运算规则进行推导。
3. 共轭复数的共轭：\(\overline{\overline{z}} = z\)。
因为若\(z = a + bi\)，则\(\overline{z}=a - bi\)，那么\(\overline{\overline{z}}=\overline{a - bi}=a + bi = z\)。
共轭复数的几何意义
在复平面内，复数 \(z = a + bi\) 对应点 \(Z(a,b)\)，其共轭复数 \(\overline{z}=a - bi\) 对应点 \(\overline{Z}(a,-b)\)。这两个点关于实轴对称。例如，复数 \(z = 1 + 2i\) 对应复平面内的点 \((1,2)\)，其共轭复数 \(\overline{z}=1 - 2i\) 对应点 \((1,-2)\)，点 \((1,2)\) 与点 \((1,-2)\) 关于实轴对称。
共轭复数的应用
1. 复数除法运算：在进行复数除法 \(\frac{z_1}{z_2}(z_2\neq0)\) 时，通常将分子分母同时乘以分母的共轭复数，将分母实数化。例如计算\(\frac{2 + 3i}{1 - i}\)，分子分母同乘分母的共轭复数 \(1 + i\)，得到\(\frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)}=\frac{2 + 2i+3i + 3i^{2}}{1 - i^{2}}=\frac{-1 + 5i}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{5}{2}i\)。
2. 判断复数是否为实数：若 \(z=\overline{z}\)，则 \(z\) 为实数。因为若 \(z = a + bi\)，\(\overline{z}=a - bi\)，由 \(z=\overline{z}\) 可得 \(a + bi=a - bi\)，即 \(2bi = 0\)，由于 \(b\in R\)，所以 \(b = 0\)，那么 \(z = a\) 为实数。
