初中数学 01 数轴

数轴是一种特定的数学工具，具有以下特点和用途：

一、数轴的定义与构成

数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线。原点通常标记为“0”，它是确定数轴上其他点位置的基准；正方向一般规定为向右的方向（当然根据实际需求也可另行规定），用箭头表示；单位长度则是衡量数轴上点与点之间距离的标准尺度，例如每一小格代表1个单位长度等。

二、数的表示

有理数表示：数轴上的每一个点都可以表示一个有理数。比如整数，像+3就在原点右侧距离原点3个单位长度的位置，-5就在原点左侧距离原点5个单位长度的地方；分数或小数同样能在数轴上找到对应的位置，例如1/2就在原点右侧，距离原点0.5个单位长度处。

无理数表示：无理数也可以用数轴上的点来表示，不过需要借助几何构造等方法。比如表示\(\sqrt{2}\)，可以通过构造边长为1的等腰直角三角形，其斜边长就是\(\sqrt{2}\)，然后以原点为起点，在数轴正方向上截取与该斜边等长的线段，该线段终点对应的点就是\(\sqrt{2}\)在数轴上的位置。

三、数轴的作用

比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。通过观察数对应的点在数轴上的位置，能直观地比较两个或多个数的大小关系。例如，要比较3和 -2的大小，很明显3对应的点在 -2对应的点的右侧，所以3 > -2。

体现绝对值含义：一个数的绝对值就是该数在数轴上所对应的点与原点的距离。例如\(\vert 5 \vert = 5\)，表示5这个数对应的点到原点的距离是5个单位长度；\(\vert -3 \vert = 3\)，意味着 -3对应的点到原点的距离是3个单位长度。

进行运算可视化：可以借助数轴来理解一些数学运算。比如加法运算，在数轴上表示3 + 2，就是从表示3的点开始，沿着正方向移动2个单位长度，最终到达表示5的点，直观地体现了加法的过程；减法可以看成是加上一个相反数，例如5 - 3可以理解为5 + (-3)，在数轴上从5对应的点沿着负方向移动3个单位长度到达2对应的点。

四、拓展与应用

在不等式中的应用：解不等式时，数轴可以辅助我们清晰地表示出不等式的解集。例如不等式\(x > 2\)的解集，就在数轴上用一条从2对应的点向右的射线（端点2处用空心圆圈表示不包含2这个值）来表示，能直观看到满足该不等式的所有数的范围。

在函数图象中的基础作用：数轴是构建平面直角坐标系的基础，平面直角坐标系中的\(x\)轴和\(y\)轴实际上就是两条互相垂直的数轴，后续用于描绘各种函数的图象，通过图象来分析函数的性质等。

例题1：数轴上的距离与中点问题

题目：已知数轴上点\(A\)表示的数为\(-5\)，点\(B\)表示的数为\(7\)，求\(A\)、\(B\)两点间的距离以及线段\(AB\)的中点所表示的数。

解答：根据数轴上两点间的距离公式\(d = |x_2 - x_1|\)，这里\(x_1=-5\)，\(x_2 = 7\)，所以\(A\)、\(B\)两点间的距离为\(|7 - (-5)| = |7 + 5| = 12\)。设中点表示的数为\(M\)，则\(M=\frac{-5 + 7}{2}=\frac{2}{2}=1\)。

例题2：数轴上的动点问题（一）

题目：在数轴上，点\(A\)初始位置表示的数为\(-3\)，它以每秒\(2\)个单位长度的速度向右移动，点\(B\)初始位置表示的数为\(5\)，它以每秒\(1\)个单位长度的速度向左移动，问多少秒后\(A\)、\(B\)两点相遇？相遇时所表示的数是多少？

解答：设\(t\)秒后相遇。根据路程和等于两点初始距离，可列方程\(2t + 1t=|5 - (-3)|\)，即\(3t = 8\)，解得\(t=\frac{8}{3}\)秒。此时点\(A\)向右移动的距离为\(2\times\frac{8}{3}=\frac{16}{3}\)，相遇时表示的数为\(-3+\frac{16}{3}=\frac{-9 + 16}{3}=\frac{7}{3}\)。

例题3：数轴上的数的覆盖问题

题目：在数轴上，有一个长度为\(7\)的线段，它的一个端点表示的数为\(2\)，问这条线段覆盖的整数点有多少个？

解答：分两种情况。当线段向右延伸时，另一个端点是\(2 + 7 = 9\)，覆盖的整数点有\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(6\)，\(7\)，\(8\)，\(9\)，共\(8\)个；当线段向左延伸时，另一个端点是\(2-7=-5\)，覆盖的整数点有\(-5\)，\(-4\)，\(-3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，也是\(8\)个。

例题4：数轴上的对称问题

题目：已知数轴上点\(A\)表示的数为\(3\)，求关于点\(B\)（表示的数为\(-1\)）对称的点\(A'\)表示的数。

解答：设\(A'\)表示的数为\(x\)，根据中点公式\(\frac{3 + x}{2}=-1\)，解得\(3 + x=-2\)，\(x=-2 - 3=-5\)。

例题5：数轴上的不等式组问题（一）

题目：已知不等式组\(\begin{cases}x > -3\\x < 2\end{cases}\)，在数轴上表示其解集，并求出这个解集中的整数解。

解答：在数轴上，画出\(x > -3\)（空心圆圈向右的射线）和\(x < 2\)（空心圆圈向左的射线），其交集部分就是不等式组的解集，即\(-3 < x < 2\)。整数解为\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)。

例题6：数轴上的绝对值方程问题（一）

题目：已知\(|x - 3| = 5\)，在数轴上表示出\(x\)可能的位置。

解答：根据绝对值的定义，当\(x - 3 = 5\)时，\(x = 8\)；当\(x - 3=-5\)时，\(x=-2\)。在数轴上，这两个点分别位于\(8\)和\(-2\)的位置。

例题7：数轴上的动点问题（二）

题目：数轴上点\(P\)表示的数为\(0\)，点\(Q\)表示的数为\(4\)，点\(P\)以每秒\(3\)个单位长度的速度向左移动，点\(Q\)以每秒\(1\)个单位长度的速度向左移动，设移动时间为\(t\)秒，当\(t\)为何值时，\(P\)、\(Q\)两点间的距离为\(2\)？

解答：移动\(t\)秒后，点\(P\)表示的数为\(-3t\)，点\(Q\)表示的数为\(4 - t\)。根据距离公式\(|(4 - t)-(-3t)| = 2\)，即\(|4 - t + 3t| = 2\)，\(|4 + 2t| = 2\)。当\(4 + 2t = 2\)时，\(2t=-2\)，\(t=-1\)；当\(4 + 2t=-2\)时，\(2t=-6\)，\(t=-3\)。

例题8：数轴上的分段函数问题（一）

题目：设数轴上点\(x\)，定义函数\(y=\begin{cases}x + 3, & x\geq1\\-x - 1, & x < 1\end{cases}\)，在数轴上画出函数图象，并求出当\(y = 0\)时\(x\)的值。

解答：当\(x\geq1\)时，函数\(y = x + 3\)是一条斜率为\(1\)，截距为\(3\)的射线（端点\(1\)处为实心点）；当\(x < 1\)时，函数\(y=-x - 1\)是一条斜率为\(-1\)，截距为\(-1\)的射线（端点\(1\)处为空心点）。当\(y = 0\)时，若\(x\geq1\)，则\(x + 3 = 0\)，\(x=-3\)（舍去，因为不满足\(x\geq1\)）；若\(x < 1\)，则\(-x - 1 = 0\)，\(x=-1\)。

例题9：数轴上的整数点分组问题

题目：在数轴上从\(-10\)到\(10\)（包括\(-10\)和\(10\)）的整数点中，相邻两个整数点为一组，一共有多少组？

解答：从\(-10\)到\(-9\)为一组，\(-9\)到\(-8\)为一组，以此类推，从\(9\)到\(10\)为一组，一共有\(10 - (-10)=20\)个单位长度，相邻两个整数点一组，所以一共有\(20\)组。

例题10：数轴上的平移问题

题目：将数轴上表示\(x\)的点向右平移\(3\)个单位长度后表示的数为\(y\)，且\(y = 2x - 1\)，求\(x\)的值。

解答：点\(x\)向右平移\(3\)个单位长度后表示的数为\(x + 3\)，所以\(x + 3 = 2x - 1\)，移项可得\(3 + 1 = 2x - x\)，解得\(x = 4\)。

例题11：数轴上的绝对值不等式问题（一）

题目：解不等式\(|x + 2|>3\)，并在数轴上表示其解集。

解答：当\(x + 2>3\)时，\(x > 1\)；当\(x + 2 < -3\)时，\(x < -5\)。在数轴上，\(x > 1\)表示为空心圆圈向右的射线，\(x < -5\)表示为空心圆圈向左的射线。

例题12：数轴上的比例问题

题目：在数轴上，点\(A\)、\(B\)、\(C\)依次排列，\(AB:BC = 2:3\)，点\(A\)表示的数为\(-3\)，点\(C\)表示的数为\(7\)，求点\(B\)表示的数。

解答：设\(AB = 2x\)，\(BC = 3x\)，则\(AC = AB + BC = 5x\)。因为\(AC = 7 - (-3)=10\)，所以\(5x = 10\)，\(x = 2\)。那么\(AB = 2x = 4\)，所以点\(B\)表示的数为\(-3 + 4 = 1\)。

例题13：数轴上的多个动点问题

题目：数轴上有三个点\(A\)、\(B\)、\(C\)，分别表示数\(-2\)、\(1\)、\(4\)。点\(A\)以每秒\(1\)个单位长度的速度向右移动，点\(B\)以每秒\(2\)个单位长度的速度向左移动，点\(C\)以每秒\(3\)个单位长度的速度向右移动。经过\(t\)秒后，求\(\triangle ABC\)面积最大时\(t\)的值（假设\(A\)、\(B\)、\(C\)三点不重合）。

解答：\(t\)秒后，点\(A\)表示的数为\(-2 + t\)，点\(B\)表示的数为\(1 - 2t\)，点\(C\)表示的数为\(4 + 3t\)。根据三角形面积公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\)，以\(AC\)为底，\(B\)到\(AC\)的距离为高。先求\(AC\)的长度为\(|(4 + 3t)-(-2 + t)| = |6 + 2t|\)，\(B\)到\(AC\)的距离为\(\frac{|(1 - 2t)-(-2 + t)| + |(4 + 3t)-(1 - 2t)|}{2}\)，化简后得到关于\(t\)的函数，再通过求函数最值来确定\(t\)的值（过程较复杂，涉及二次函数求最值）。

例题14：数轴上的分数点问题

题目：在数轴上，要表示分数\(\frac{3}{4}\)，已知单位长度为\(1\)，如何操作？

解答：将\(0\)到\(1\)这个单位长度线段平均分成\(4\)份，从\(0\)开始向右数\(3\)份对应的点就是\(\frac{3}{4}\)的位置。

例题15：数轴上的绝对值函数最值问题（一）

题目：对于函数\(y = |x - 1| + |x + 2|\)，在数轴上分析其最小值。

解答：根据绝对值的几何意义，\(|x - 1|\)表示数轴上\(x\)到\(1\)的距离，\(|x + 2|\)表示数轴上\(x\)到\(-2\)的距离。当\(-2\leq x\leq1\)时，\(y\)的值最小，最小值为\(|1 - (-2)| = 3\)。

例题16：数轴上的数的规律问题（一）

题目：在数轴上，观察从\(1\)开始的连续奇数：\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(7\)，\(\cdots\)，若\(n\)为正整数，第\(n\)个奇数在数轴上对应的点与原点的距离为\(a_n\)，求\(a_n\)关于\(n\)的表达式。

解答：第\(n\)个奇数为\(2n - 1\)，所以\(a_n = |2n - 1|\)，因为\(n\)为正整数，所以\(a_n = 2n - 1\)。

例题17：数轴上的区间覆盖问题（二）

题目：在数轴上有区间\([-5,5]\)，用长度为\(3\)的区间去覆盖，从左向右依次覆盖，问覆盖整个区间需要多少个这样的区间？

解答：区间\([-5,5]\)的长度为\(5 - (-5)=10\)，每个小区间长度为\(3\)，\(10\div3 = 3\cdots\cdots1\)，余下的\(1\)还需要一个区间，所以一共需要\(4\)个区间。

例题18：数轴上的动态距离和问题

题目：数轴上有\(A\)、\(B\)两点，\(A\)表示的数为\(a\)，\(B\)表示的数为\(b\)，\(a\)、\(b\)满足\(|a + 3|+(b - 5)^2 = 0\)。点\(M\)从\(A\)点出发以每秒\(2\)个单位长度的速度向右移动，点\(N\)从\(B\)点出发以每秒\(1\)个单位长度的速度向左移动，设移动时间为\(t\)秒，求\(t\)秒后\(M\)、\(N\)两点间距离的表达式，并求出当\(t = 3\)时的距离。

解答：因为\(|a + 3|+(b - 5)^2 = 0\)，所以\(a=-3\)，\(b = 5\)。\(t\)秒后，点\(M\)表示的数为\(-3 + 2t\)，点\(N\)表示的数为\(5 - t\)。两点间距离为\(d = |(-3 + 2t)-(5 - t)| = |-8 + 3t|\)。当\(t = 3\)时，\(d = |-8 + 9| = 1\)。