1. 向量加法的定义

向量加法是一种运算，它将两个向量合并为一个新的向量。设\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)是两个向量，它们的和\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)也是一个向量。规定：\(\overrightarrow{0}\)+\(\overrightarrow{a}\)=\(\overrightarrow{a}\)+\(\overrightarrow{0}\)=\(\overrightarrow{a}\)

2. 三角形法则

几何描述：

首先画出向量\(\overrightarrow{a}\)，然后将向量\(\overrightarrow{b}\)的起点平移到向量\(\overrightarrow{a}\)的终点。此时，从\(\overrightarrow{a}\)的起点指向\(\overrightarrow{b}\)的终点的向量就是\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。例如，在平面中有一个从点\(A\)到点\(B\)的向量\(\overrightarrow{AB}\)（即\(\overrightarrow{a}\)），还有一个从点\(B\)到点\(C\)的向量\(\overrightarrow{BC}\)（即\(\overrightarrow{b}\)），那么按照三角形法则，\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)。

举例说明：

假设在平面直角坐标系中，\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(1, - 2)\)。我们先画出向量\(\overrightarrow{a}\)，其起点可以设为原点\((0,0)\)，终点为\((2,3)\)。然后将向量\(\overrightarrow{b}\)的起点平移到\((2,3)\)，此时\(\overrightarrow{b}\)的终点坐标为\((2 + 1,3 - 2)=(3,1)\)。所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3,1)\)。

物理意义：

可以用来表示位移的合成。例如，一个物体先向东移动了\(3\)米（可以用一个向量表示这个位移），然后再向北移动了\(4\)米（用另一个向量表示），那么这两个位移向量的和就是物体从初始位置到最终位置的合位移向量，其大小和方向可以通过计算得到。

3. 平行四边形法则

几何描述：

对于两个向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，以同一点\(O\)为起点作这两个向量。以\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)为邻边作平行四边形，那么从点\(O\)出发的平行四边形的对角线所对应的向量就是\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)。

举例说明：

设\(\overrightarrow{a}=(3,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,3)\)。以原点\((0,0)\)为起点作这两个向量，然后以它们为邻边作平行四边形。可以发现从原点出发的对角线向量的终点坐标为\((3 + 0,0 + 3)=(3,3)\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(3,3)\)。

物理意义：

常用于力的合成。例如，有两个力作用在一个物体上，一个力水平向右大小为\(5N\)（用向量表示），另一个力垂直向上大小为\(3N\)（用另一个向量表示），通过平行四边形法则可以求出这两个力的合力向量，其大小和方向能帮助我们分析物体的受力情况。

4. 向量加法的运算律

交换律：

对于任意向量\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)。

从几何角度看，无论是按照三角形法则还是平行四边形法则，交换两个向量相加的顺序，最终得到的合向量是相同的。

例如，对于上述的向量\(\overrightarrow{a}=(2,3)\)和\(\overrightarrow{b}=(1, - 2)\)，\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}=(1, - 2)+(2,3)=(1 + 2,-2 + 3)=(3,1)\)，与\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)的结果相同。

结合律：

对于任意向量\(\overrightarrow{a}\)、\(\overrightarrow{b}\)和\(\overrightarrow{c}\)，\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)。

这可以通过连续使用三角形法则来理解。

例如，设\(\overrightarrow{a}=(1,1)\)，\(\overrightarrow{b}=(2, - 1)\)，\(\overrightarrow{c}=( - 1,2)\)。

先计算\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1 + 2,1 - 1)=(3,0)\)

\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=(3,0)+( - 1,2)=(3 - 1,0 + 2)=(2,2)\)；

再计算\(\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)

\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=(2 - 1,-1 + 2)=(1,1)\)

\(\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=(1,1)+(1,1)=(1 + 1,1 + 1)=(2,2)\)，结果相同。

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