解析几何 12 两条直线的位置关系
1. 两条直线平行
判定条件：
对于两条直线\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0\)和\(l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，
当\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}\)时，两直线平行。
例如，直线\(l_1:2x + 3y + 4 = 0\)和\(l_2:4x + 6y + 7 = 0\)，这里\(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}\neq\frac{4}{7}\)，所以\(l_1\)与\(l_2\)平行。
几何解释：
两条平行直线的倾斜角相等，从斜率角度看（当直线斜率存在时），如果直线\(l_1\)的斜率\(k_1 = -\frac{A_1}{B_1}\)，直线\(l_2\)的斜率\(k_2 = -\frac{A_2}{B_2}\)，那么\(k_1 = k_2\)。就像两条铁轨一样，它们在平面内沿着相同的“方向”延伸，不会相交。
特殊情况：
当\(B_1 = 0\)且\(B_2 = 0\)（此时直线\(l_1\)垂直于\(y\)轴，直线\(l_2\)也垂直于\(y\)轴），
或者\(A_1 = 0\)且\(A_2 = 0\)（此时直线\(l_1\)垂直于\(x\)轴，直线\(l_2\)也垂直于\(x\)轴）时，两直线也平行。
2. 两条直线垂直
判定条件：
对于直线\(l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0\)和\(l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0\)，
当\(A_1A_2 + B_1B_2 = 0\)时，两直线垂直。
例如，直线\(l_1:3x - 4y + 5 = 0\)和\(l_2:4x + 3y - 6 = 0\)，因为\(3\times4+(-4)\times3 = 0\)，所以\(l_1\)与\(l_2\)垂直。
几何解释：
从斜率角度（当直线斜率存在时），如果直线\(l_1\)的斜率\(k_1 = -\frac{A_1}{B_1}\)，直线\(l_2\)的斜率\(k_2 = -\frac{A_2}{B_2}\)，那么\(k_1\times k_2=-1\)。可以想象成两条直线相交成直角，就像墙角的两条边一样。
特殊情况：
当一条直线斜率为\(0\)（平行于\(x\)轴），另一条直线斜率不存在（垂直于\(x\)轴）时，两直线也垂直。
3. 两条直线相交
判定条件：
当\(\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}\)时，两条直线相交。
例如，直线\(l_1:2x + 3y + 4 = 0\)和\(l_2:3x - 2y + 5 = 0\)，因为\(\frac{2}{3}\neq\frac{3}{-2}\)，所以两直线相交。
几何解释：
相交的两条直线有且只有一个交点，这个交点的坐标可以通过联立两条直线的方程求解。从几何图形上看，它们在平面内穿过彼此。
求交点坐标方法：
联立两条直线的方程\(\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}\)，可求解交点的坐标。
例如，对于直线\(l_1:x + 2y - 3 = 0\)和\(l_2:2x - y + 1 = 0\)，交点坐标为\((\frac{1}{5},\frac{7}{5})\)。
