基本立体图形

多面体：

棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。棱柱按底面多边形的边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。棱锥按底面多边形的边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，其中三棱锥也叫四面体。

棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱。

旋转体：

圆柱：以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。

圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。圆锥也有轴、底面、侧面和母线等概念，与圆柱类似。

圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。圆台的上下底面是两个半径不同的圆面，侧面是一个曲面，母线是圆锥母线被截后剩余的部分。

球：以半圆的直径所在直线为轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球。半圆的圆心叫做球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

立体图形的直观图

常用斜二测画法来画立体图形的直观图。其基本步骤如下：

在已知图形中取互相垂直的\(x\)轴和\(y\)轴，两轴相交于点\(O\)。画直观图时，把它们画成对应的\(x'\)轴和\(y'\)轴，两轴相交于点\(O'\)，且使\(\angle x'O'y' = 45^{\circ}\)（或\(135^{\circ}\)），它们确定的平面表示水平面。

已知图形中平行于\(x\)轴或\(y\)轴的线段，在直观图中分别画成平行于\(x'\)轴或\(y'\)轴的线段。

已知图形中平行于\(x\)轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于\(y\)轴的线段，长度为原来的一半。

简单几何体的表面积与体积

棱柱、棱锥、棱台的表面积：

棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和。对于棱柱，其侧面积等于底面周长与侧棱长的乘积；对于棱锥，其侧面积等于各个侧面三角形面积之和；对于棱台，其侧面积等于各个梯形侧面面积之和。

圆柱、圆锥、圆台的表面积：

圆柱的表面积\(S = 2\pi r^{2}+2\pi rh\)，其中\(r\)为底面半径，\(h\)为高。

圆锥的表面积\(S=\pi r^{2}+\pi rl\)，其中\(r\)为底面半径，\(l\)为母线长。

圆台的表面积\(S=\pi (r^{2}+R^{2}+rl +Rl)\)，其中\(r\)、\(R\)分别为上、下底面半径，\(l\)为母线长。

柱体、锥体、台体的体积：

柱体的体积公式为\(V = Sh\)，其中\(S\)为底面积，\(h\)为高。

锥体的体积公式为\(V=\frac{1}{3}Sh\)，其中\(S\)为底面积，\(h\)为高。

台体的体积公式为\(V=\frac{1}{3}h(S+\sqrt{SS'}+S')\)，其中\(h\)为高，\(S\)、\(S'\)分别为上、下底面积。

球的表面积和体积：

球的表面积公式为\(S = 4\pi R^{2}\)，其中\(R\)为球的半径。

球的体积公式为\(V=\frac{4}{3}\pi R^{3}\)。

空间点、直线、平面之间的位置关系

平面：平面是一个无限延展的、没有厚度的几何图形，通常用平行四边形来表示平面，如平面\(\alpha\)、平面\(ABCD\)等。

点与直线、平面的位置关系：

点\(A\)在直线\(l\)上，记作\(A\in l\)；点\(A\)不在直线\(l\)上，记作\(A\notin l\)。

点\(A\)在平面\(\alpha\)内，记作\(A\in\alpha\)；点\(A\)不在平面\(\alpha\)内，记作\(A\notin\alpha\)。

空间中直线与直线的位置关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点的两条直线。

平行直线：同一平面内，没有公共点的两条直线。

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点的两条直线。异面直线所成的角是指过空间任意一点\(O\)，分别作与两条异面直线平行的直线所成的锐角或直角，其取值范围是\((0^{\circ},90^{\circ}]\)。

空间中直线与平面的位置关系：

直线在平面内：有无数个公共点，记作\(l\subset\alpha\)。

直线与平面相交：有且只有一个公共点，记作\(l\cap\alpha = A\)。

直线与平面平行：没有公共点，记作\(l\parallel\alpha\)。

空间中平面与平面的位置关系：

两个平面平行：没有公共点，记作\(\alpha\parallel\beta\)。

两个平面相交：有一条公共直线，记作\(\alpha\cap\beta = l\)。

空间直线、平面的平行

直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。即若\(a\not\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，且\(a\parallel b\)，则\(a\parallel\alpha\)。

直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。即若\(a\parallel\alpha\)，\(a\subset\beta\)，\(\alpha\cap\beta = b\)，则\(a\parallel b\)。

平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。即若\(a\subset\alpha\)，\(b\subset\alpha\)，\(a\cap b = P\)，\(a'\subset\beta\)，\(b'\subset\beta\)，\(a'\cap b' = P'\)，且\(a\parallel a'\)，\(b\parallel b'\)，则\(\alpha\parallel\beta\)。

平面与平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。即若\(\alpha\parallel\beta\)，\(\alpha\cap\gamma = a\)，\(\beta\cap\gamma = b\)，则\(a\parallel b\)。

空间直线、平面的垂直

直线与平面垂直的定义：如果直线\(l\)与平面\(\alpha\)内的任意一条直线都垂直，我们就说直线\(l\)与平面\(\alpha\)互相垂直，记作\(l\perp\alpha\)，直线\(l\)叫做平面\(\alpha\)的垂线，平面\(\alpha\)叫做直线\(l\)的垂面，它们唯一的公共点\(P\)叫做垂足。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。即若\(m\subset\alpha\)，\(n\subset\alpha\)，\(m\cap n = B\)，\(l\perp m\)，\(l\perp n\)，则\(l\perp\alpha\)。

直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即若\(a\perp\alpha\)，\(b\perp\alpha\)，则\(a\parallel b\)。

平面与平面垂直的定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。即若\(l\perp\alpha\)，\(l\subset\beta\)，则\(\alpha\perp\beta\)。

平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。即若\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\cap\beta = l\)，\(m\subset\alpha\)，\(m\perp l\)，则\(m\perp\beta\)。

立体几何初步是高中数学的重要内容之一，它帮助我们从平面几何过渡到空间几何，培养空间想象能力和逻辑推理能力，为后续学习更深入的几何知识以及解决实际中的空间问题奠定基础。

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