1. 极值点

定义：设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)内有定义。若对于去心邻域\(\dot{U}(x_0)\)内的任意\(x\)，有\(f(x)<f(x_0)\)（\(f(x)\)在\(x_0\)处取得极大值）或者\(f(x)>f(x_0)\)（\(f(x)\)在\(x_0\)处取得极小值），则\(x_0\)称为函数\(y = f(x)\)的极值点。

示例：对于函数\(y = - (x - 1)^2+2\)，当\(x = 1\)时，\(y = 2\)。在\(x = 1\)的邻域内，对于其他\(x\)值，\(y = - (x - 1)^2+2<2\)，所以\(x = 1\)是极大值点。

求法：可通过一阶导数判断，若函数在某点导数为\(0\)，且在该点两侧导数符号变化（左正右负为极大值点，左负右正为极小值点）；也可通过二阶导数判断，若一阶导数为\(0\)，二阶导数不为\(0\)，二阶导数小于\(0\)时该点为极大值点，大于\(0\)时为极小值点。

2. 驻点：函数的导数为零的点，它可能是极值点，也可能不是。

定义：使函数\(y = f(x)\)的导数\(f^{\prime}(x)=0\)的点称为驻点。

示例：对于函数\(y=x^2 - 2x\)，求导得\(y^{\prime}=2x - 2\)，令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 1\)，\(x = 1\)就是驻点。

与极值点的关系：极值点可能是驻点，但驻点不一定是极值点。如\(y = x^3\)，\(y^{\prime}=3x^2\)，\(x = 0\)是驻点，但不是极值点，因为函数在\(x = 0\)两侧单调性不变。

3. 拐点：函数图像凹凸性发生改变的点

定义：设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上连续，\(x_0\)是\(I\)内的一点，若曲线\(y = f(x)\)在经过点\((x_0,f(x_0))\)时，曲线的凹凸性发生变化，则\((x_0,f(x_0))\)为曲线的一个拐点。

示例：对于函数\(y = x^3 - 3x\)，二阶导数\(y^{\prime\prime}=6x\)，当\(x < 0\)时，\(y^{\prime\prime}<0\)，曲线是凸的；当\(x>0\)时，\(y^{\prime\prime}>0\)，曲线是凹的，所以\((0,0)\)是拐点。

求法：先求二阶导数，令二阶导数为\(0\)，再判断这些点两侧二阶导数的符号是否改变，若改变则为拐点。

4. 鞍点

定义：在多元函数中，鞍点是函数的一个驻点，在该点处，函数在某些方向上是局部极大值，而在其他方向上是局部极小值。对于一元函数，可以简单理解为在某点的左右两侧，函数的单调性不一致，但该点不是极值点。

示例：假设一个比较复杂的函数（从多元函数类比理解）\(f(x,y)=x^2 - y^2\)，在\((0,0)\)点处，\(f_x = 2x = 0\)，\(f_y=- 2y = 0\)，它是一个驻点。从\(x\)轴方向看是极小值，从\(y\)轴方向看是极大值，像一个“马鞍”的形状，所以称为鞍点。

5. 零点：使函数值等于零的自变量的值对应的点

定义：函数\(y = f(x)\)的零点是指使\(f(x)=0\)的\(x\)的值。

示例：对于函数\(y = x^2 - 1\)，令\(y = 0\)，即\(x^2 - 1 = 0\)，解得\(x=\pm1\)，\(\pm1\)就是函数的零点。

6. 最值点

定义：设函数\(y = f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在\(x_0\in D\)，使得对于任意的\(x\in D\)，都有\(f(x)\leq f(x_0)\)（最大值点）或者\(f(x)\geq f(x_0)\)（最小值点），则\(x_0\)是函数的最值点。

示例：对于函数\(y=-x^2 + 2\)在区间\([-1,1]\)上，当\(x = 0\)时，\(y = 2\)，对于\([-1,1]\)内的其他\(x\)值，\(y=-x^2 + 2\leq2\)，所以\(x = 0\)是最大值点。

7. 连续点

定义：设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域内有定义，如果\(\lim_{x\rightarrow x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_0^{+}}f(x)=f(x_0)\)，则称\(x_0\)为函数\(y = f(x)\)的连续点。

示例：函数\(y = x\)在定义域\((-\infty,+\infty)\)内的任意点都是连续点，因为\(\lim_{x\rightarrow a^{-}}x=\lim_{x\rightarrow a^{+}}x=a\)，对于任意\(a\in(-\infty,+\infty)\)。

8. 可导点

定义：设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域内有定义，如果极限\(\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\)存在，则称函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)可导，\(x_0\)称为可导点。

示例：函数\(y = x^2\)在定义域\((-\infty,+\infty)\)内是可导的，其导数为\(y^{\prime}=2x\)，所以\((-\infty,+\infty)\)内的点都是可导点。

9. 断点（间断点）

定义：函数在某点处不满足连续的条件，则该点为间断点。间断点分为第一类间断点（左右极限都存在，包括可去间断点和跳跃间断点）和第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）。

示例：

对于函数\(y=\frac{x^2 - 1}{x - 1}\)，当\(x = 1\)时，函数无定义，但\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2 - 1}{x - 1}=\lim_{x\rightarrow1}(x + 1)=2\)，这是可去间断点。

对于函数\(y=\left\{\begin{array}{l}1,x\geq0\\ - 1,x<0\end{array}\right.\)，在\(x = 0\)处，左极限为\(-1\)，右极限为\(1\)，这是跳跃间断点。

对于函数\(y=\frac{1}{x}\)，当\(x\rightarrow0\)时，极限不存在，\(x = 0\)是第二类间断点。

10. 渐近线相关点

定义与类型

水平渐近线对应的点：当\(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\)或\(\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=A\)（\(A\)为常数）时，\(y = A\)是函数\(y = f(x)\)的水平渐近线。例如，对于函数\(y=\frac{1}{x}\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0\)和\(\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x}=0\)，所以\(y = 0\)是水平渐近线。在函数趋近渐近线的过程中，那些使得函数值越来越接近渐近线值的点可以看作是特殊点。

垂直渐近线对应的点：当\(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\pm\infty\)或\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\pm\infty\)时，\(x = a\)是函数\(y = f(x)\)的垂直渐近线。比如函数\(y=\frac{1}{x - 1}\)，当\(x\rightarrow1\)时，函数值趋近于无穷大，\(x = 1\)是垂直渐近线，在\(x = 1\)附近两侧的点（函数在这些点附近的变化趋势是趋近无穷）是特殊点。

斜渐近线对应的点（对于一些函数）：若\(\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-(kx + b)]=0\)或\(\lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)-(kx + b)]=0\)（\(k\neq0\)），\(y = kx + b\)是函数\(y = f(x)\)的斜渐近线。在研究函数与斜渐近线的接近过程中涉及的点是特殊点。例如，对于函数\(y=\frac{x^{2}+1}{x}\)，当\(x\rightarrow\pm\infty\)时，\(y=x+\frac{1}{x}\)，斜渐近线是\(y = x\)，在函数值逐渐逼近斜渐近线的过程中的点比较特殊。

11. 对称中心相关点（对于奇函数和中心对称函数）

奇函数：对于奇函数\(y = f(x)\)，满足\(f(-x)=-f(x)\)，其图像关于原点\((0,0)\)对称。原点就是一个特殊的对称中心相关点。例如，\(y = x^{3}\)是奇函数，\((0,0)\)是其对称中心，函数在关于原点对称的位置上的函数值也呈现对称关系。

一般中心对称函数：若函数\(y = f(x)\)关于点\((a,b)\)中心对称，则满足\(f(a + x)+f(a - x)=2b\)。点\((a,b)\)就是函数的对称中心，在研究函数的对称性以及与之相关的性质时，这些对称中心的点以及对称位置上的点都是特殊点。比如函数\(y=(x - 1)^{3}+2\)关于点\((1,2)\)中心对称，在考虑函数的对称性质时\((1,2)\)和关于\((1,2)\)对称位置的点就很重要。

12. 周期点（对于周期函数）

定义与示例：对于周期函数\(y = f(x)\)，如果存在非零常数\(T\)，使得\(f(x + T)=f(x)\)对定义域内的任意\(x\)都成立，那么\(T\)是函数的一个周期。在一个周期内的点以及跨越周期边界的点都是特殊点。例如，对于函数\(y=\sin x\)，其周期是\(2\pi\)，\(x = 0\)，\(x=\frac{\pi}{2}\)，\(x=\pi\)，\(x=\frac{3\pi}{2}\)，\(x = 2\pi\)等点（在一个周期内的关键位置）以及\(x = 2k\pi\)（\(k\in Z\)）这些跨越周期边界的点在研究函数的周期性、单调性等性质时是特殊点。

函数的各种特殊点的关系

1. 极值点与驻点的关系

包含关系：极值点有可能是驻点。当函数在某点可导且为极值点时，根据费马定理，该点导数为\(0\)，此点即为驻点。例如，对于函数\(y = x^{2}-2x\)，求导得\(y^{\prime}=2x - 2\)，令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 1\)。通过二阶导数\(y^{\prime\prime}=2>0\)可知\(x = 1\)是极小值点，同时它也是驻点。

区别：驻点不一定是极值点。如函数\(y = x^{3}\)，其导数\(y^{\prime}=3x^{2}\)，令\(y^{\prime}=0\)得\(x = 0\)是驻点，但在\(x = 0\)两侧函数的单调性相同（都是递增），所以\(x = 0\)不是极值点。

2. 极值点与拐点的关系

函数性质关联：极值点主要关注函数的单调性变化导致的局部最值情况，而拐点关注的是函数凹凸性的变化。在某些情况下，它们可能相邻或者相互影响函数的整体形状。例如，一个函数可能在经过极值点后，凹凸性发生变化，出现拐点。

位置关系（可能情况）：在函数图像上，极值点和拐点的位置可以交替出现。假设一个函数先单调递增到极大值点，然后在极大值点之后，函数的凹凸性发生变化，出现拐点，之后函数继续变化（如单调性改变或者凹凸性继续改变等）。

3. 驻点与拐点的关系

二阶导数联系：在判断驻点是否为极值点时，二阶导数起到关键作用。而二阶导数为\(0\)是寻找拐点的一个重要线索。若函数\(y = f(x)\)在某驻点\(x_0\)处，二阶导数\(f^{\prime\prime}(x_0)=0\)且二阶导数在\(x_0\)两侧符号改变，那么这个驻点附近可能存在拐点。例如，对于函数\(y = x^{3}\)，\(y^{\prime}=3x^{2}\)，驻点\(x = 0\)，\(y^{\prime\prime}=6x\)，\(x = 0\)时\(y^{\prime\prime}=0\)，并且在\(x = 0\)两侧\(y^{\prime\prime}\)符号改变，所以\((0,0)\)是函数的拐点。

4. 零点与其他特殊点的关系

与极值点：函数的零点和极值点可能重合。例如，函数\(y=(x - 1)^{2}\)，\(x = 1\)既是函数的零点（\(y(1)=0\)）也是极小值点。但一般情况下，零点和极值点没有必然联系，零点只是函数值为\(0\)的点，而极值点是函数单调性发生变化产生局部最值的点。

与驻点和拐点：零点与驻点、拐点也没有直接的关联。不过在分析函数整体性质时，它们的位置和相互关系可以帮助我们更好地理解函数的图像和变化。例如，在研究函数图像与\(x\)轴的交点（零点）以及函数的弯曲变化（拐点）和单调性变化（驻点）时，综合考虑这些特殊点可以完整地描绘函数的行为。

5. 最值点与其他特殊点的关系

与极值点：最值点可能是极值点。如果函数在一个区间内只有一个极值点，那么这个极值点可能就是最值点。例如，函数\(y = -x^{2}+2x\)在区间\([0,2]\)上，通过求导可知\(x = 1\)是极大值点，同时也是最大值点。但如果函数在区间内有多个极值点或者区间端点参与比较，最值点需要综合考虑所有这些情况。

与驻点、零点等：最值点和驻点、零点之间也存在复杂的关系。驻点可能是最值点的候选点，而零点主要用于确定函数与\(x\)轴的交点，它们在综合分析函数在区间上的最大、最小值时都可能起到作用。例如，在一个闭区间上，需要比较函数在驻点、区间端点以及零点（如果这些点的函数值有特殊情况）处的函数值来确定最值点。

6. 渐近线相关点与其他特殊点的关系

与零点和极值点等：渐近线相关点和函数的零点、极值点等反映了函数不同方面的性质。例如，一个函数可能有水平渐近线，同时在靠近\(x\)轴（零点附近）的区域内有复杂的极值点情况。渐近线主要描述函数在无穷远处的行为，而零点和极值点等更多地关注函数在有限区间内的局部性质。它们共同帮助我们构建函数完整的图像和理解其性质。

与连续点和可导点：渐近线相关点附近函数的连续性和可导性情况也很重要。在垂直渐近线处，函数通常是不连续或者不可导的。例如，对于函数\(y=\frac{1}{x}\)，\(x = 0\)是垂直渐近线，函数在\(x = 0\)处不连续且不可导。而在水平渐近线处，函数可能是连续的，但函数在趋近渐近线过程中的变化（包括连续和可导性质）也是研究函数整体性质的关键部分。

函数的各种特殊点的求法

1. 极值点的求法

一阶导数法

首先对函数\(y = f(x)\)求导，得到\(f^{\prime}(x)\)。

令\(f^{\prime}(x)=0\)，求出这些驻点。例如，对于函数\(y = x^{3}-3x\)，求导得\(y^{\prime}=3x^{2}-3\)，令\(y^{\prime}=0\)，即\(3x^{2}-3 = 0\)，解得\(x=\pm1\)。

然后判断驻点两侧导数的符号。当\(x < - 1\)时，\(y^{\prime}=3x^{2}-3>0\)；当\(-1 < x < 1\)时，\(y^{\prime}=3x^{2}-3<0\)；当\(x > 1\)时，\(y^{\prime}=3x^{2}-3>0\)。所以\(x = - 1\)是极大值点，\(x = 1\)是极小值点。

二阶导数法（前提是函数二阶可导）

求导得到\(f^{\prime}(x)\)，令\(f^{\prime}(x)=0\)求出驻点。

对函数求二阶导数\(f^{\prime\prime}(x)\)，将驻点代入二阶导数。如果\(f^{\prime\prime}(x_{0})<0\)，则\(x_{0}\)是极大值点；如果\(f^{\prime\prime}(x_{0})>0\)，则\(x_{0}\)是极小值点。例如，对于函数\(y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+1\)，求导得\(y^{\prime}=x^{2}-2x\)，令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 2\)。再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=2x - 2\)，当\(x = 0\)时，\(y^{\prime\prime}=- 2<0\)，所以\(x = 0\)是极大值点；当\(x = 2\)时，\(y^{\prime\prime}=2>0\)，所以\(x = 2\)是极小值点。

2. 驻点的求法

对函数\(y = f(x)\)求导，令\(f^{\prime}(x)=0\)，解这个方程得到的\(x\)的值就是驻点。例如，对于函数\(y = 2x^{2}-4x\)，求导得\(y^{\prime}=4x - 4\)，令\(y^{\prime}=0\)，即\(4x - 4 = 0\)，解得\(x = 1\)，\(x = 1\)就是驻点。

3. 拐点的求法

先对函数\(y = f(x)\)求二阶导数\(f^{\prime\prime}(x)\)。

令\(f^{\prime\prime}(x)=0\)，求出这些可能的拐点横坐标。例如，对于函数\(y = x^{3}-3x^{2}+2x\)，求二阶导数得\(y^{\prime\prime}=6x - 6\)，令\(y^{\prime\prime}=0\)，解得\(x = 1\)。

再判断这些点两侧二阶导数的符号是否改变。当\(x < 1\)时，\(y^{\prime\prime}=6x - 6<0\)；当\(x>1\)时，\(y^{\prime\prime}=6x - 6>0\)，所以\((1,f(1))\)是函数的一个拐点。

4. 鞍点的求法（在一元函数中简单类比理解）

对于一元函数\(y = f(x)\)，鞍点可以通过观察函数在某点两侧单调性不一致，但该点不是极值点来寻找。通常先求导\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\)，找到导数为\(0\)的点（驻点），然后分析驻点两侧函数的单调性。例如，对于函数\(y = x^{3}\)，求导得\(y^{\prime}=3x^{2}\)，令\(y^{\prime}=0\)得\(x = 0\)。当\(x < 0\)时，函数单调递增；当\(x>0\)时，函数也单调递增，所以\(x = 0\)类似于鞍点的情况（在多元函数中有更严格定义）。

5. 零点的求法

令函数\(y = f(x)=0\)，然后解方程。例如，对于函数\(y = x^{2}-4\)，令\(y = 0\)，即\(x^{2}-4 = 0\)，因式分解得\((x + 2)(x - 2)=0\)，解得\(x=\pm2\)，\(\pm2\)就是函数的零点。

6. 最值点的求法

闭区间情况

先求出函数在区间内的驻点和不可导点。例如，对于函数\(y = x^{3}-3x\)在区间\([-2,2]\)上，求导得\(y^{\prime}=3x^{2}-3\)，令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x=\pm1\)，这是驻点。

再计算函数在驻点、不可导点和区间端点处的值。当\(x=-2\)时，\(y=-2^{3}-3\times(-2)=-8 + 6=-2\)；当\(x=-1\)时，\(y=(-1)^{3}-3\times(-1)=-1 + 3=2\)；当\(x = 1\)时，\(y=1^{3}-3\times1=1 - 3=-2\)；当\(x = 2\)时，\(y=2^{3}-3\times2=8 - 6=2\)。比较这些值大小，得到最大值点和最小值点。

开区间情况

同样先求驻点和不可导点。如果函数在开区间内只有一个驻点，且该驻点是极值点，那么这个极值点可能就是最值点。例如，对于函数\(y=-x^{2}+2x\)在区间\((0,+\infty)\)上，求导得\(y^{\prime}=-2x + 2\)，令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 1\)，通过二阶导数\(y^{\prime\prime}=-2<0\)可知\(x = 1\)是极大值点，也是在这个开区间内的最大值点。

7. 连续点的求法

对于函数\(y = f(x)\)，在某点\(x_{0}\)处，若\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0})\)，则\(x_{0}\)是连续点。通常需要根据函数的表达式，分别求左右极限并与函数值比较。例如，对于函数\(y=\left\{\begin{array}{l}x + 1,x\geq0\\ x - 1,x<0\end{array}\right.\)，在\(x = 0\)处，\(\lim_{x\rightarrow0^{-}}(x - 1)=-1\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}(x + 1)=1\)，左右极限不相等，所以\(x = 0\)不是连续点；而对于函数\(y = x^{2}\)，在任意点\(x_{0}\)处，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}^{-}}x^{2}=\lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}x^{2}=x_{0}^{2}\)，所以任意\(x\)都是连续点。

8. 可导点的求法

利用导数的定义\(\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\)来判断某点\(x_{0}\)是否可导。对于一些复杂的函数，可能需要先化简这个极限表达式。例如，对于函数\(y = |x|\)，在\(x = 0\)处，\(\lim_{\Delta x\rightarrow0^{+}}\frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0^{+}}\frac{\Delta x}{\Delta x}=1\)，\(\lim_{\Delta x\rightarrow0^{-}}\frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0^{-}}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\)，左右极限不相等，所以\(x = 0\)不可导；而对于函数\(y = x^{2}\)，\(\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{(x + \Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}(2x+\Delta x)=2x\)，所以在任意\(x\)处可导。

9. 断点（间断点）的求法

首先找出函数没有定义的点。例如，对于函数\(y=\frac{1}{x}\)，\(x = 0\)没有定义，是一个可能的间断点。

然后判断这些点的左右极限情况。对于\(y=\frac{1}{x}\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty\)，所以\(x = 0\)是第二类间断点。对于函数\(y=\left\{\begin{array}{l}1,x\geq0\\ - 1,x<0\end{array}\right.\)，在\(x = 0\)处，左极限为\(-1\)，右极限为\(1\)，这是跳跃间断点，属于第一类间断点。如果左右极限存在且相等，但函数在该点无定义或者函数值与极限值不相等，则是可去间断点。例如，对于函数\(y=\frac{x^{2}-1}{x - 1}\)，\(x = 1\)无定义，但\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^{2}-1}{x - 1}=\lim_{x\rightarrow1}(x + 1)=2\)，这是可去间断点。

函数的间断点有哪些类型？

1. 第一类间断点

可去间断点

定义：函数在某点处极限存在，但函数在该点处要么无定义，要么函数值不等于极限值。例如，函数\(y = \frac{x^{2}-1}{x - 1}\)，当\(x = 1\)时，函数的分母为\(0\)，函数无定义。但是对函数化简\(y=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}=x + 1\)（\(x\neq1\)），\(\lim_{x\rightarrow1}(x + 1)=2\)，所以\(x = 1\)是可去间断点。

图像特征：函数的图像在该点处有一个“洞”。如果补充或修改函数在该点的定义，就可以使函数在该点连续。

跳跃间断点

定义：函数在该点处左右极限都存在，但左极限和右极限不相等。例如，函数\(y=\left\{\begin{array}{l}x + 1,x\geq0\\x - 1,x < 0\end{array}\right.\)，在\(x = 0\)处，\(\lim_{x\rightarrow0^{-}}(x - 1)=- 1\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}(x + 1)=1\)，左右极限不相等，所以\(x = 0\)是跳跃间断点。

图像特征：函数的图像在该点处发生跳跃，从一个值突然跳到另一个值。

2. 第二类间断点

无穷间断点

定义：函数在某点处的极限为无穷大（正无穷或负无穷）。例如，函数\(y=\frac{1}{x}\)，当\(x\rightarrow0\)时，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty\)，所以\(x = 0\)是无穷间断点。

图像特征：函数的图像在该点附近趋近于无穷，通常表现为垂直渐近线。比如\(y=\frac{1}{x}\)的图像在\(x = 0\)附近，函数值会无限增大或减小。

振荡间断点

定义：函数在某点的邻域内，函数值无限次地在两个不同的值之间振荡，极限不存在。例如，函数\(y=\sin\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)），当\(x\rightarrow0\)时，\(\frac{1}{x}\)趋近于无穷，\(\sin\frac{1}{x}\)的值在\(-1\)和\(1\)之间无限次振荡，极限不存在，所以\(x = 0\)是振荡间断点。

图像特征：函数的图像在该点附近呈现出无限次的振荡，不会趋近于一个确定的值。

数学基础 - 中初数学、高中数学