已知 \( a > 0\)，\(b > 0\)，\(a + b = 10\)，求 \( ab\) 的最大值。

方法1：利用均值不等式

根据均值不等式\(\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)）

已知\(a + b = 10\)，则\(\frac{10}{2} \geq \sqrt{ab}\)，即\(5 \geq \sqrt{ab}\)，两边同时平方可得\(ab \leq 25\)，

当且仅当\(a = b = 5\)时取等号，所以\(ab\)的最大值为\(25\)。

方法2：函数法（二次函数）

由\(a + b = 10\)可得\(b = 10 - a\)，那么\(ab = a(10 - a)=-a^{2}+10a\)。

设\(y = -a^{2}+10a\)，这是一个二次函数，其图象开口向下，对称轴为\(a = -\frac{10}{2\times (-1)} = 5\)。

所以当\(a = 5\)时，\(y\)取得最大值，\(y_{max}=-5^{2}+10\times5 = 25\)，即\(ab\)最大值为\(25\)。

方法3：配方法

由\(a + b = 10\)得\(b = 10 - a\)，则

\(ab = a(10 - a)=-a^{2}+10a = -(a^{2}-10a + 25)+25 = -(a - 5)^{2}+25\)。

因为\((a - 5)^{2} \geq 0\)，所以\(-(a - 5)^{2} \leq 0\)，进而\(ab = -(a - 5)^{2}+25 \leq 25\)，

当\(a = 5\)时取到最大值\(25\)。

方法4：利用完全平方公式变形

因为\((a - b)^{2} \geq 0\)，展开可得\(a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0\)，即\(a^{2}+b^{2} \geq 2ab\)。

又因为\((a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=100\)，则\(a^{2}+b^{2}=100 - 2ab\)。

把\(a^{2}+b^{2}=100 - 2ab\)代入\(a^{2}+b^{2} \geq 2ab\)中，得到

\(100 - 2ab \geq 2ab\)，移项可得\(4ab \leq 100\)，即\(ab \leq 25\)，当且仅当\(a = b = 5\)时等号成立。

方法5：构造对称式

令\(S = ab\)，由\(a + b = 10\)，不妨设\(a = 5 + x\)，\(b = 5 - x\)（\(x \in R\)）。

则\(S=(5 + x)(5 - x)=25 - x^{2}\)，因为\(x^{2} \geq 0\)，所以

\(S = 25 - x^{2} \leq 25\)，当\(x = 0\)（即\(a = b = 5\)）时，\(S\)取最大值\(25\)。

方法6：三角换元法

由\(a + b = 10\)，令\(a = 5 + 5\sin^{2}\theta\)，\(b = 5 - 5\sin^{2}\theta\)（\(\theta \in R\)）。

则\(ab=(5 + 5\sin^{2}\theta)(5 - 5\sin^{2}\theta)=25 - 25\sin^{4}\theta\)。

因为\(\sin^{4}\theta \geq 0\)，所以\(ab = 25 - 25\sin^{4}\theta \leq 25\)，当\(\sin^{2}\theta = 0\)（即\(a = b = 5\)）时取最大值\(25\)。

方法7：利用导数求最值（函数法延伸）

设\(y = ab = a(10 - a)=-a^{2}+10a\)（\(a \in (0,10)\)）。

对\(y\)求导得\(y^\prime=-2a + 10\)，令\(y^\prime = 0\)，则\(-2a + 10 = 0\)，解得\(a = 5\)。

当\(0 < a < 5\)时，\(y^\prime> 0\)，函数\(y\)单调递增；当\(5 < a < 10\)时，\(y^\prime < 0\)，函数\(y\)单调递减。

所以\(a = 5\)时，\(y\)取得最大值\(25\)，即\(ab\)最大值为\(25\)。

方法8：利用柯西不等式

根据柯西不等式\((a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})\geq (ac + bd)^{2}\)，令\(c = d = 1\)，则

\((a + b)^{2} \geq 4ab\)（这里相当于\((a\cdot1 + b\cdot1)^{2} \geq 4ab\)）。

已知\(a + b = 10\)，则\(10^{2} \geq 4ab\)，即\(ab \leq 25\)，当且仅当\(a = b = 5\)时等号成立。

方法9：代入消元后利用判别式

由\(a + b = 10\)得\(b = 10 - a\)，代入\(ab\)中得\(y = a(10 - a)\)，整理为\(a^{2}-10a + y = 0\)。

因为\(a\)是实数，所以该一元二次方程的判别式\(\Delta = (-10)^{2}-4y \geq 0\)，即

\(100 - 4y \geq 0\)，解得\(y \leq 25\)，所以\(ab\)最大值为\(25\)。

方法10：利用向量数量积性质

设向量\(\overrightarrow{m}=(a,b)\)，\(\overrightarrow{n}=(1,1)\)，根据向量数量积\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=\vert\overrightarrow{m}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\cos\theta\)（\(\theta\)为两向量夹角），

且\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=a + b = 10\)，\(\vert\overrightarrow{n}\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\)。

又有\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}\leq\vert\overrightarrow{m}\vert\vert\overrightarrow{n}\vert\)，即\(10 \leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{2}\)，平方可得\(100 \leq 2(a^{2}+b^{2})\)。

再结合\((a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=100\)，可得\(100 \leq 2(100 - 2ab)\)，化简得\(ab \leq 25\)，

当且仅当\(a = b = 5\)时等号成立。

方法11：利用算术平均数与几何平均数关系的等价变形

已知\(a + b = 10\)，设\(x = \sqrt{ab}\)，则

\(a = \frac{10 + \sqrt{100 - 4x^{2}}}{2}\)，\(b = \frac{10 - \sqrt{100 - 4x^{2}}}{2}\)（通过解\(a + b = 10\)与\(ab = x^{2}\)联立的方程组得到）。

因为\(a,b>0\)，要使\(a,b\)有意义，则\(100 - 4x^{2} \geq 0\)，即\(x^{2} \leq 25\)，所以\(ab = x^{2} \leq 25\)，

当且仅当\(a = b = 5\)时取最大值\(25\)。

方法12：利用等比数列性质（构造等比数列）

设\(a\)，\(m\)，\(b\)成等比数列，则\(m^{2}=ab\)，根据等比中项性质\(2m = a + b = 10\)，可得\(m = 5\)。

又因为等比数列中，若公比\(q\geq0\)（这里\(a,b>0\)，可构造出公比\(q\geq0\)的等比数列），则

\(m^{2}=ab \leq m^{2}=25\)，当且仅当\(a = b = 5\)时等号成立，所以\(ab\)最大值为\(25\)。

方法13：利用不等式\((a - b)^{2}=(a + b)^{2}-4ab\)

因为\((a - b)^{2} \geq 0\)，即\((a + b)^{2}-4ab \geq 0\)，

已知\(a + b = 10\)，代入可得\(100 - 4ab \geq 0\)，移项化简得\(ab \leq 25\)，

当且仅当\(a = b = 5\)时等号成立。

方法14：利用三角函数恒等式\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1\)构造（类比换元）

令\(a = 10\sin^{2}\alpha\)，\(b = 10\cos^{2}\alpha\)（\(\alpha \in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)），则

\(ab = 100\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha = 25\sin^{2}2\alpha\)。

因为\(\sin^{2}2\alpha \leq 1\)，所以\(ab = 25\sin^{2}2\alpha \leq 25\)，当

\(\sin^{2}2\alpha = 1\)（即\(\alpha=\frac{\pi}{4}\)，此时\(a = b = 5\)）时取最大值\(25\)。

方法15：利用分组分解法（结合均值不等式）

\(ab=\frac{1}{4}[(a + b)^{2}-(a - b)^{2}]=\frac{1}{4}(100-(a - b)^{2})\)

因为\((a - b)^{2} \geq 0\)，所以\(\frac{1}{4}(100-(a - b)^{2}) \leq \frac{1}{4}\times100 = 25\)，

当且仅当\(a = b = 5\)时取等号，即\(ab\)最大值为\(25\)。

方法16：利用对数函数性质（间接构造）

设\(x = a\)，\(y = b\)，对\(x,y\)取对数，令\(A=\ln x\)，\(B=\ln y\)。

由\(a + b = 10\)可得\(x + y = 10\)，根据对数运算法则\(\ln(xy)=\ln x+\ln y = A + B\)，且\(xy = e^{A + B}\)。

再利用均值不等式\(\frac{x + y}{2} \geq \sqrt{xy}\)，即\(5 \geq \sqrt{e^{A + B}}\)，两边同时平方得\(e^{A + B} \leq 25\)，也就是\(ab = xy \leq 25\)，

当且仅当\(x = y = 5\)（即\(a = b = 5\)）时等号成立。

方法17：利用复数性质（构造复数）

设复数\(z_{1}=a + bi\)，\(z_{2}=1 + i\)（\(i\)为虚数单位），则\(\vert z_{1}z_{2}\vert=\vert z_{1}\vert\vert z_{2}\vert\)。

\(z_{1}z_{2}=(a + bi)(1 + i)=(a - b)+(a + b)i\)

\(\vert z_{1}z_{2}\vert=\sqrt{(a - b)^{2}+(a + b)^{2}}=\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\)，\(\vert z_{2}\vert=\sqrt{2}\)。

又因为\(a + b = 10\)，所以\(\vert z_{1}z_{2}\vert=\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\geq\vert a + b\vert = 10\)，平方可得\(2(a^{2}+b^{2})\geq100\)，

结合\((a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}=100\)，可推出\(ab \leq 25\)，当且仅当\(a = b = 5\)时等号成立。

方法18：利用递推数列思想（构造数列）

设\(a_{n}\)，\(b_{n}\)满足\(a_{n}+b_{n}=10\)（\(n\in N\)），且\(a_{1}=1\)，\(b_{1}=9\)，定义

\(a_{n + 1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}\)，\(b_{n + 1}=10 - a_{n + 1}\)。

通过计算可以发现随着\(n\)的增大，\(a_{n}\)和\(b_{n}\)会逐渐趋近于\(5\)，而\(a_{n}b_{n}\)会逐渐趋近于最大值，计算可得这个最大值为\(25\)（通过不断迭代递推式并观察规律得出）。

方法19：利用几何平均的加权形式

对于正数\(a,b\)，设权重\(w_{1}=w_{2}=\frac{1}{2}\)，根据加权几何平均不等式\(a^{w_{1}}b^{w_{2}}\leq w_{1}a + w_{2}b\)，可得

\(\sqrt{ab}\leq\frac{a + b}{2}\)。

已知\(a + b = 10\)，则\(\sqrt{ab}\leq5\)，两边平方得\(ab \leq 25\)，当且仅当\(a = b = 5\)时等号成立。

方法20：利用数学归纳法（从特殊到一般归纳证明最大值）

当\(n = 1\)时，\(a = 1\)，\(b = 9\)，\(ab = 9\)；

当\(n = 2\)时，\(a = 2\)，\(b = 8\)，\(ab = 16\)；

当\(n = 3\)时，\(a = 3\)，\(b = 7\)，\(ab = 21\)；

当\(n = 4\)时，\(a = 4\)，\(b = 6\)，\(ab = 24\)；

当\(n = 5\)时，\(a = b = 5\)，\(ab = 25\)。

假设对于\(a + b = k\)（\(k\)为正偶数且\(k \geq 10\)），\(ab\)的最大值是\(\frac{k^{2}}{4}\)（可通过前面类似推导证明）。

对于\(a + b = 10\)，\(ab\)的最大值就是\(\frac{10^{2}}{4}=25\)。

数学基础 - 中初数学、高中数学