一、利用判别式判断根的存在情况及范围基础

对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a≠0\)），判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac\)起着关键作用。

当\(\Delta＞0\)时：方程有两个不相等的实数根。

当\(\Delta = 0\)时：方程有两个相等的实数根，也就是一个重根。

当\(\Delta＜0\)时：方程没有实数根。

这是后续探讨根的范围问题的重要前提，比如已知方程有根，那就意味着\(\Delta \geq 0\)这个条件要首先满足。

二、常见根的范围情况及对应条件分析

（一）两根同号（同为正或同为负）

两根同为正：

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)，保证方程有实数根。

条件二：两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a}＞0\)，说明两根同号。

条件三：两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}＞0\)，确保两根为正。

举例：对于方程\(x^{2} - 5x + 6 = 0\)，\(\Delta = (-5)^{2} - 4×1×6 = 25 - 24 = 1＞0\)，两根之积\(\frac{6}{1} = 6＞0\)，两根之和\(-\frac{-5}{1} = 5＞0\)，它的两个根\(x_1 = 2\)，\(x_2 = 3\)都是正数。

两根同为负：

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)。

条件二：两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a}＞0\)。

条件三：两根之和\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}＜0\)，以此确定两根为负。

举例：方程\(x^{2} + 3x + 2 = 0\)，\(\Delta = 3^{2} - 4×1×2 = 9 - 8 = 1＞0\)，两根之积\(\frac{2}{1} = 2＞0\)，两根之和\(-\frac{3}{1} = -3＜0\)，其根\(x_1 = -1\)，\(x_2 = -2\)均为负数。

（二）两根异号（一正一负）

条件：两根之积\(x_1x_2 = \frac{c}{a}＜0\)，只要满足此条件，方程的两根必然一个为正，一个为负。

举例：方程\(x^{2} - x - 6 = 0\)，两根之积\(\frac{-6}{1} = -6＜0\)，其根为\(x_1 = 3\)，\(x_2 = -2\)，一正一负。

（三）两根都大于某一常数\(m\)

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)，确保方程有实数根。

条件二：对称轴\(x = -\frac{b}{2a}＞m\)，因为对称轴在\(m\)的右侧，两根才有可能都大于\(m\)。

条件三：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＞0\)，意味着函数图象在\(x = m\)这个位置处于\(x\)轴上方。

举例：对于方程\(x^{2} - 4x + 3 = 0\)，若要两根都大于\(1\)，\(\Delta = (-4)^{2} - 4×1×3 = 4 \geq 0\)，对称轴\(x = -\frac{-4}{2×1} = 2＞1\)，当\(x = 1\)时，\(f(1) = 1^{2} - 4×1 + 3 = 0\)（这里不符合\(f(m)＞0\)，实际上方程的根为\(x = 1\)和\(x = 3\)，只有一根大于\(1\)）。

（四）两根都小于某一常数\(m\)

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)。

条件二：对称轴\(x = -\frac{b}{2a}＜m\)。

条件三：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＞0\)。

举例：对于方程\(2x^{2} + 3x - 2 = 0\)，若要两根都小于\(0\)，\(\Delta = 3^{2} - 4×2×(-2) = 9 + 16 = 25 \geq 0\)，对称轴\(x = -\frac{3}{2×2} = -\frac{3}{4}＜0\)，当\(x = 0\)时，\(f(0) = 2×0^{2} + 3×0 - 2 = -2＜0\)（这里不符合\(f(m)＞0\)，实际上方程的根为\(x = -2\)和\(x = \frac{1}{2}\)，不满足两根都小于\(0\)）。

（五）一根大于某一常数\(m\)，一根小于某一常数\(m\)

条件：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＜0\)。此时不需要考虑判别式和对称轴的情况，因为只要函数在\(m\)处的值小于\(0\)，就必然有一个根大于\(m\)，一个根小于\(m\)。

举例：对于方程\(x^{2} - x - 2 = 0\)，若要一根大于\(1\)，一根小于\(1\)，当\(x = 1\)时，\(f(1) = 1^{2} - 1 - 2 = -2＜0\)，方程的根为\(x = -1\)和\(x = 2\)，满足条件。

（六）两根在区间\((m, n)\)内（\(m＜n\)）

条件一：判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)。

条件二：对称轴\(x = -\frac{b}{2a} \in (m, n)\)。

条件三：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＞0\)。

条件四：当\(x = n\)时，函数值\(f(n) = an^{2} + bn + c＞0\)。

举例：对于方程\(x^{2} - 3x + 2 = 0\)，若要两根在区间\((0, 3)\)内，\(\Delta = (-3)^{2} - 4×1×2 = 1 \geq 0\)，对称轴\(x = -\frac{-3}{2×1} = \frac{3}{2} \in (0, 3)\)，当\(x = 0\)时，\(f(0) = 0^{2} - 3×0 + 2 = 2＞0\)，当\(x = 3\)时，\(f(3) = 3^{2} - 3×3 + 2 = 2＞0\)，方程的根为\(x = 1\)和\(x = 2\)，满足条件。

（七）两根分别在区间\((m, n)\)和\((n, p)\)内（\(m＜n＜p\)）

条件一：当\(x = m\)时，函数值\(f(m) = am^{2} + bm + c＞0\)。

条件二：当\(x = n\)时，函数值\(f(n) = an^{2} + bn + c＜0\)。

条件三：当\(x = p\)时，函数值\(f(p) = ap^{2} + bp + c＞0\)。

举例：对于方程\(x^{2} - 2x - 3 = 0\)，若要一根在区间\((-2, 0)\)内，另一根在区间\((0, 4)\)内，当\(x = -2\)时，\(f(-2) = (-2)^{2} - 2×(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5＞0\)，当\(x = 0\)时，\(f(0) = 0^{2} - 2×0 - 3 = -3＜0\)，当\(x = 4\)时，\(f(4) = 4^{2} - 2×4 - 3 = 16 - 8 - 3 = 5＞0\)，方程的根为\(x = -1\)和\(x = 3\)，满足条件。

三、解题思路与方法总结

解决一元二次方程根的范围问题时：

第一步，要把一元二次方程与对应的二次函数紧密联系起来，因为根的范围情况实际上对应着二次函数图象与\(x\)轴交点的位置特点。

第二步，根据具体要求的根的范围情况，准确列出相应的条件不等式组（如判别式、对称轴位置、函数在某些特定点的取值等方面的不等式）。

第三步，通过解不等式组来确定满足根的范围要求的参数取值范围等，从而完整地解决此类问题。

例如，已知方程\(x^{2}+(m - 1)x + m = 0\)有两个根，且两根都大于\(0\)，那就需要先根据上述条件列出不等式组\(\left\{\begin{array}{l}\Delta=(m - 1)^{2}-4m\geq0\\-\frac{m - 1}{2}>0\\m>0\end{array}\right.\)，然后求解这个不等式组来获取\(m\)的取值范围。 

一元二次方程根的范围问题的例题讲解

例题 1：判断根的正负情况

已知一元二次方程\(2x^{2} - 7x + 3 = 0\)，判断它的根的正负情况。

解题思路及步骤：

对于一元二次方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a≠0\)），我们先通过韦达定理来分析根与系数的关系。两根之积\(x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}\)，两根之和\(x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\)。

在方程\(2x^{2} - 7x + 3 = 0\)中，\(a = 2\)，\(b = -7\)，\(c = 3\)。

两根之积\(x_{1}x_{2}=\frac{3}{2}>0\)，说明两根同号。

两根之和\(x_{1}+x_{2}=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}>0\)，结合两根同号可知，两根同为正。

所以，方程\(2x^{2} - 7x + 3 = 0\)的两个根都是正数。

例题 2：两根都大于某一常数的情况

若一元二次方程\(x^{2} - 4x + m = 0\)的两个根都大于\(1\)，求\(m\)的取值范围。

解题思路及步骤：

步骤一：利用判别式确定方程有实根的条件

要使方程有两个实数根，判别式\(\Delta = b^{2} - 4ac \geq 0\)。在方程\(x^{2} - 4x + m = 0\)中，\(a = 1\)，\(b = -4\)，\(c = m\)，则\(\Delta = (-4)^{2} - 4×1×m \geq 0\)，即\(16 - 4m \geq 0\)，化简得\(m \leq 4\)。

步骤二：根据对称轴位置分析

对称轴方程为\(x = -\frac{b}{2a}\)，此方程中对称轴\(x = -\frac{-4}{2×1} = 2\)，因为两根都大于\(1\)，对称轴\(2 > 1\)，满足条件。

步骤三：分析函数在\(x = 1\)处的函数值

当\(x = 1\)时，函数值\(y = 1^{2} - 4×1 + m > 0\)，即\(1 - 4 + m > 0\)，解得\(m > 3\)。

综合以上三个条件，\(m\)的取值范围是\(3 < m \leq 4\)。

例题 3：一根大于某常数，一根小于某常数的情况

已知方程\(x^{2} - 2x - k = 0\)，若方程有一根大于\(3\)，一根小于\(3\)，求\(k\)的取值范围。

解题思路及步骤：

根据此类根的范围问题的特点，当\(x = 3\)时，函数值\(y = 3^{2} - 2×3 - k < 0\)即可保证一根大于\(3\)，一根小于\(3\)。

计算可得：\(9 - 6 - k < 0\)，即\(3 - k < 0\)，解得\(k > 3\)。

所以，\(k\)的取值范围是\(k > 3\)。

例题 4：两根在某区间内的情况

对于方程\(x^{2} + 2x + k - 1 = 0\)，若两根在区间\((-2, 0)\)内，求\(k\)的取值范围。

解题思路及步骤：

步骤一：判别式条件

\(\Delta = 2^{2} - 4×1×(k - 1) \geq 0\)，展开可得\(4 - 4k + 4 \geq 0\)，化简为\(8 - 4k \geq 0\)，进一步得到\(k \leq 2\)。

步骤二：对称轴位置条件

对称轴\(x = -\frac{2}{2×1} = -1\)，\(-2 < -1 < 0\)，满足在区间\((-2, 0)\)内的要求。

步骤三：函数在区间端点处的值的条件

当\(x = -2\)时，\(y = (-2)^{2} + 2×(-2) + k - 1 > 0\)，即\(4 - 4 + k - 1 > 0\)，解得\(k > 1\)。

当\(x = 0\)时，\(y = 0^{2} + 2×0 + k - 1 > 0\)，即\(k - 1 > 0\)，解得\(k > 1\)。

综合上述条件，\(k\)的取值范围是\(1 < k \leq 2\)。

通过这些例题，希望你能更清晰地理解不同根的范围情况所对应的解题思路和方法，熟练运用相关条件来求解问题。 

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