复数 07 复数的加法、减法运算
1. 复数加法运算
（1）运算法则
设两个复数\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)，\(i\)为虚数单位），则它们的和\(z_1 + z_2=(a + c)+(b + d)i\)。
也就是说，两个复数相加，实部与实部相加作为和的实部，虚部与虚部相加作为和的虚部。
（2）运算性质
交换律：对于任意两个复数\(z_1\)，\(z_2\)，都有\(z_1+z_2 = z_2 + z_1\)。
证明：设\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)，则\(z_1+z_2=(a + c)+(b + d)i\)，\(z_2+z_1=(c + a)+(d + b)i\)。由于实数加法满足交换律\(a + c=c + a\)，\(b + d=d + b\)，所以\(z_1+z_2 = z_2 + z_1\)。
结合律：对于任意三个复数\(z_1\)，\(z_2\)，\(z_3\)，都有\((z_1 + z_2)+z_3=z_1+(z_2 + z_3)\)。
证明：设\(z_1=a_1 + b_1i\)，\(z_2=a_2 + b_2i\)，\(z_3=a_3 + b_3i\)。
\((z_1 + z_2)+z_3=[(a_1 + a_2)+(b_1 + b_2)i]+(a_3 + b_3)i=[(a_1 + a_2)+a_3]+[(b_1 + b_2)+b_3]i\)；
\(z_1+(z_2 + z_3)=(a_1 + b_1i)+[(a_2 + a_3)+(b_2 + b_3)i]=[a_1+(a_2 + a_3)]+[b_1+(b_2 + b_3)]i\)。
因为实数加法满足结合律\((a_1 + a_2)+a_3=a_1+(a_2 + a_3)\)，\((b_1 + b_2)+b_3=b_1+(b_2 + b_3)\)，所以\((z_1 + z_2)+z_3=z_1+(z_2 + z_3)\)。
（3）几何意义
复数的加法可以按照向量的加法来进行。在复平面内，复数\(z_1=a + bi\)对应向量\(\overrightarrow{OZ_1}=(a,b)\)，复数\(z_2=c + di\)对应向量\(\overrightarrow{OZ_2}=(c,d)\)，则\(z_1 + z_2=(a + c)+(b + d)i\)对应向量\(\overrightarrow{OZ}=\overrightarrow{OZ_1}+\overrightarrow{OZ_2}=(a + c,b + d)\)，符合向量加法的平行四边形法则或三角形法则。
2. 复数减法运算
（1）运算法则
设两个复数\(z_1=a + bi\)，\(z_2=c + di\)（\(a,b,c,d\in R\)），则它们的差\(z_1 - z_2=(a - c)+(b - d)i\)。
即两个复数相减，实部与实部相减作为差的实部，虚部与虚部相减作为差的虚部。
（2）几何意义
在复平面内，复数\(z_1=a + bi\)对应向量\(\overrightarrow{OZ_1}=(a,b)\)，复数\(z_2=c + di\)对应向量\(\overrightarrow{OZ_2}=(c,d)\)，则\(z_1 - z_2\)对应向量\(\overrightarrow{Z_2Z_1}=\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}=(a - c,b - d)\)。它是以\(Z_2\)为起点，\(Z_1\)为终点的向量。
3. 示例
加法示例
计算\((3 + 2i)+(1 - 4i)\)：
根据加法法则，\((3 + 2i)+(1 - 4i)=(3 + 1)+(2-4)i = 4 - 2i\)。
计算\((-2 + 5i)+(3 + 3i)\)：
\((-2 + 5i)+(3 + 3i)=(-2 + 3)+(5 + 3)i = 1+8i\)。
减法示例
计算\((5 + 3i)-(2 - i)\)：
根据减法法则，\((5 + 3i)-(2 - i)=(5 - 2)+(3 + 1)i = 3+4i\)。
计算\((-4 + 2i)-(-3 - i)\)：
\((-4 + 2i)-(-3 - i)=(-4+3)+(2 + 1)i=-1 + 3i\)。
