复数 07 复数的指数形式
复数的指数形式是复数的一种重要表示方法，它与复数的代数形式、三角形式之间可以相互转化，在复数的运算和相关理论研究中具有重要作用。
定义
根据欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)（其中\(\theta\)为实数，\(i\)为虚数单位，满足\(i^{2}=-1\)），任意一个复数\(z\)都可以表示为指数形式\(z = re^{i\theta}\)。其中\(r\)是复数\(z\)的模，即\(r = |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)（若\(z=a + bi\)，\(a,b\in R\)）；\(\theta\)是复数\(z\)的辐角，它的取值使得\(z\)在复平面上的位置得以确定，辐角\(\theta\)满足\(\tan\theta=\frac{b}{a}(a\neq0)\)，且辐角主值的范围通常规定为\([0, 2\pi)\)或\((-\pi,\pi]\)。
与其他形式的转换
从代数形式\(z = a + bi\)到指数形式\(z = re^{i\theta}\)
计算模\(r\)：\(r=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)。
确定辐角\(\theta\)：
当\(a>0\)时，\(\theta=\arctan\frac{b}{a}\)；
当\(a < 0,b\geq0\)时，\(\theta=\pi+\arctan\frac{b}{a}\)；
当\(a < 0,b < 0\)时，\(\theta=-\pi+\arctan\frac{b}{a}\)；
当\(a = 0,b>0\)时，\(\theta=\frac{\pi}{2}\)；当\(a = 0,b < 0\)时，\(\theta=-\frac{\pi}{2}\)。
得到指数形式\(z = re^{i\theta}\)。
从指数形式\(z = re^{i\theta}\)到代数形式\(z = a + bi\)
根据欧拉公式\(e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\)，可得\(z = re^{i\theta}=r(\cos\theta + i\sin\theta)=r\cos\theta+ir\sin\theta\)，即\(a = r\cos\theta\)，\(b = r\sin\theta\)。
运算规则
乘法：设\(z_1 = r_1e^{i\theta_1}\)，\(z_2 = r_2e^{i\theta_2}\)，则\(z_1z_2=r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}\)。这意味着两个复数相乘时，它们的模相乘，辐角相加。
除法：若\(z_1 = r_1e^{i\theta_1}\)，\(z_2 = r_2e^{i\theta_2}(r_2\neq0)\)，则\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}\)。即两个复数相除时，模相除，辐角相减。
乘方：对于复数\(z = re^{i\theta}\)，其\(n\)次幂\(z^n=(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}\)（\(n\in Z\)）。当\(n\)为正整数时，就是对复数进行\(n\)次自乘运算；当\(n\)为负整数时，可先求正整数次幂再取倒数；当\(n = 0\)时，\(z^0 = 1\)（\(z\neq0\)）。
开方：求复数\(z = re^{i\theta}\)的\(n\)次方根，设\(w^n = z\)，\(w=\rho e^{i\varphi}\)，则\((\rho e^{i\varphi})^n=\rho^n e^{in\varphi}=re^{i\theta}\)。可得\(\rho=\sqrt[n]{r}\)，\(\varphi=\frac{\theta + 2k\pi}{n}(k = 0,1,\cdots,n - 1)\)，所以\(z\)的\(n\)次方根为\(w_k=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta + 2k\pi}{n}}(k = 0,1,\cdots,n - 1)\)。
示例
将复数\(z = - 1+\sqrt{3}i\)化为指数形式
计算模\(r\)：\(r=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1 + 3}=2\)。
确定辐角\(\theta\)：\(\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{-1}=-\sqrt{3}\)，因为\(a=-1<0\)，\(b = \sqrt{3}>0\)，所以\(\theta=\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)。
则\(z\)的指数形式为\(z = 2e^{i\frac{2\pi}{3}}\)。
已知复数\(z = 3e^{i\frac{\pi}{6}}\)，化为代数形式
根据\(z = r\cos\theta+ir\sin\theta\)，这里\(r = 3\)，\(\theta=\frac{\pi}{6}\)，则\(z=3\cos\frac{\pi}{6}+3i\sin\frac{\pi}{6}=3\times\frac{\sqrt{3}}{2}+3i\times\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i\)。
