小学数学：分数化比

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1. 分数与比的关系

分数可以看作是一个比。例如，分数\(\frac{a}{b}\)（\(b\neq0\)）可以表示为\(a:b\)。

这是因为分数的分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号。例如\(\frac{3}{4}\)可以写成\(3:4\)。

2. 分数化比的方法

简单分数化比

对于一个分数，直接将分子作为比的前项，分母作为比的后项。如\(\frac{2}{5}\)化为比就是\(2:5\)。

带分数化比

先将带分数化为假分数，然后再进行转化。例如，\(2\frac{1}{3}\)先化为假分数\(\frac{7}{3}\)，再转化为比\(7:3\)。

分数连比的转化

当有多个分数关系时，要化为连比。例如，已知\(A=\frac{1}{2}B\)，\(B=\frac{2}{3}C\)，将分数关系化为比：

由\(A=\frac{1}{2}B\)可得\(A:B = 1:2\)，为了使\(B\)在两个比中的份数相同，将\(A:B = 1:2\)两边同时乘以\(2\)，得到\(A:B = 2:4\)。

由\(B=\frac{2}{3}C\)可得\(B:C = 2:3\)。

所以\(A:B:C = 2:4:3\)。

3. 利用分数化比解决应用题的优势

便于理解数量关系

例如：“甲、乙两人的钱数之比是\(\frac{3}{4}\)，甲有180元，乙有多少钱？”

将分数\(\frac{3}{4}\)化为比\(3:4\)，可以理解为甲的钱数是3份，乙的钱数是4份。

已知甲有180元，那么1份就是\(180\div3 = 60\)元，乙的钱数是\(4\times60 = 240\)元。

这种方式比直接用分数计算更直观，能让我们清晰地看到数量之间的比例关系。

方便进行比较和运算

在一些涉及多个量的比例问题中，化比后可以方便地根据比例分配等方法进行计算。

例如：“有三种水果，苹果、香蕉、橙子的数量比是\(\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}\)，如果一共有39个水果，每种水果各有多少个？”

先将分数比化为整数比，\(\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{4}\)通分后得到\(6:4:3\)。

总份数为\(6 + 4+3 = 13\)份。

苹果的数量为\(39\times\frac{6}{13}= 18\)个；香蕉的数量为\(39\times\frac{4}{13}= 12\)个；橙子的数量为\(39\times\frac{3}{13}= 9\)个。

4. 实际应用题示例

例1：“一辆汽车从A地到B地，已行路程和未行路程的比是\(\frac{2}{3}\)，已行路程是120千米，A、B两地相距多少千米？”

把分数比\(\frac{2}{3}\)化为路程比\(2:3\)，已行路程是2份，为120千米，那么1份是\(120\div2 = 60\)千米。

总路程是\(2 + 3 = 5\)份，所以A、B两地相距\(60\times5 = 300\)千米。

例2：“学校图书馆购进三种图书，科技书、故事书、文艺书的数量比是\(\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\frac{1}{5}\)，其中科技书有40本，三种图书一共有多少本？”

先将分数比化为整数比，\(\frac{1}{3}:\frac{1}{4}:\frac{1}{5}\)通分后得到\(20:15:12\)。

设科技书、故事书、文艺书分别为\(20x\)本、\(15x\)本、\(12x\)本。

已知科技书有40本，即\(20x = 40\)，解得\(x = 2\)。

三种图书一共有\((20 + 15+12)x=(20 + 15 + 12)\times2 = 94\)本。

分数应用题：分数化比

1. 工程问题

（1）一项工程，甲队单独完成需要\(\frac{3}{4}\)个月，乙队单独完成需要\(\frac{4}{5}\)个月。求甲、乙两队工作效率之比。

（2）修一条路，甲队每天修这条路的\(\frac{1}{10}\)，乙队每天修的是甲队的\(\frac{3}{4}\)，丙队每天修的是乙队的\(\frac{5}{6}\)。求甲、乙、丙三队每天修路长度之比。

2. 调配问题

（1）有两瓶盐水，第一瓶盐水中盐占盐水的\(\frac{1}{3}\)，第二瓶盐水中盐占盐水的\(\frac{1}{4}\)。将两瓶盐水混合后，盐和水的质量比是多少？

（2）在一个化学实验中，溶液A中溶质占溶液的\(\frac{2}{5}\)，溶液B中溶质占溶液的\(\frac{3}{7}\)。要配制一种新的溶液，取溶液A和溶液B的体积比为3:2，求新溶液中溶质和溶剂的体积比。

3. 比例分配问题

（1）学校组织植树活动，六年级植树棵数占全校植树总棵数的\(\frac{3}{8}\)，五年级植树棵数是六年级的\(\frac{2}{3}\)，其余年级植树棵数占全校的几分之几？如果一共要植树800棵，按照三个年级植树棵数的比例分配，每个年级各植树多少棵？

（2）有一批奖金，甲得的奖金是奖金总数的\(\frac{1}{3}\)，乙得的奖金是甲的\(\frac{3}{4}\)，丙得到剩下的奖金。求甲、乙、丙三人所得奖金之比。如果奖金总数是3600元，三人各得多少元？

4. 行程问题

（1）甲、乙两人同时从A地出发前往B地，甲走完全程需要\(\frac{5}{6}\)小时，乙走完全程需要\(\frac{7}{8}\)小时。求甲、乙两人速度之比。

（2）一辆汽车从甲地开往乙地，已行路程占全程的\(\frac{3}{5}\)，剩下路程的速度是已行路程速度的\(\frac{2}{3}\)。求汽车在已行路程和剩下路程中的速度之比，以及时间之比（假设全程路程为单位“1”）。

5. 几何问题

（1）两个长方形，第一个长方形长是宽的\(\frac{4}{3}\)，第二个长方形宽是长的\(\frac{3}{5}\)。如果两个长方形周长之比为\(\frac{5}{6}\)，求两个长方形长之比。

（2）一个圆锥的体积是一个圆柱体积的\(\frac{2}{3}\)，圆锥的高是圆柱高的\(\frac{3}{4}\)。已知圆锥和圆柱底面半径之比为\(2:3\)，求圆锥和圆柱底面积之比。

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