函数的有界性：$ |f(x)| \leq M $

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函数的有界性是函数的基本性质之一，描述了“函数值在定义域内是否被某个固定范围限制”。掌握有界性不仅能深化对函数图像和变化趋势的理解，也是后续学习极限、积分等内容的基础。

一、函数有界性的定义

1. 有界函数的定义

设函数 $ y = f(x) $ 的定义域为 $ D $，若存在正数 $ M $（称为“界”），使得对所有 $ x \in D $，都有 $ |f(x)| \leq M $，则称 $ f(x) $ 在 $ D $ 上有界；若不存在这样的 $ M $，则称 $ f(x) $ 在 $ D $ 上无界。

关键点1：“有界”需满足“全域性”—— 对定义域内每一个 $ x $ 都成立，而非部分 $ x $；

关键点2：“界 $ M $”不唯一 —— 若 $ |f(x)| \leq 2 $，则 $ M=2,3,4 $ 等均是界；

关键点3：有界性与定义域紧密相关 —— 同一函数在不同定义域上可能有界，也可能无界（如 $ f(x)=\frac{1}{x} $ 在 $ [1,2] $ 上有界，在 $ (0,1) $ 上无界）。

2. 上界与下界（有界的等价定义）

上界：若存在常数 $ A $，使得对所有 $ x \in D $，都有 $ f(x) \leq A $，则称 $ A $ 是 $ f(x) $ 在 $ D $ 上的上界；

下界：若存在常数 $ B $，使得对所有 $ x \in D $，都有 $ f(x) \geq B $，则称 $ B $ 是 $ f(x) $ 在 $ D $ 上的下界；

等价关系：$ f(x) $ 在 $ D $ 上有界当且仅当 $ f(x) $ 在 $ D $ 上既有上界又有下界（此时取 $ M = \max\{|A|, |B|\} $，即可满足 $ |f(x)| \leq M $）。

3. 常见有界函数（需牢记）

在定义域内天然有界的函数是判定其他函数的基础，主要包括：

三角函数：$ \sin x, \cos x $（定义域 $ \mathbb{R} $，界 $ M=1 $，因 $ |\sin x| \leq 1, |\cos x| \leq 1 $）；

反三角函数：$ \arcsin x, \arccos x $（定义域 $ [-1,1] $，界 $ M=\frac{\pi}{2} $，因 $ |\arcsin x| \leq \frac{\pi}{2}, |\arccos x| \leq \pi $）；

常函数：$ f(x) = C $（$ C $ 为常数，定义域 $ \mathbb{R} $，界 $ M=|C| $，因 $ |f(x)| = |C| \leq |C| $）。

4. 函数有界性的判定方法

实际判定函数有界性时，无需每次都找“界 $ M $”，可结合以下方法快速判断：

1. 图像法：若函数图像在定义域内“上下都不超出某条水平线”，则有界；

2. 单调性法：若函数在闭区间 $ [a,b] $ 上单调（增或减），则函数在 $ [a,b] $ 上有界（因单调函数在闭区间端点处取得最值，最值即为上下界）；

3. 最值法：若函数在定义域内存在最大值 $ \max f(x) $ 和最小值 $ \min f(x) $，则函数有界（取 $ M = \max\{|\max f(x)|, |\min f(x)|\} $）；

4. 复合函数法：若内层函数有界，外层函数在“内层函数的值域”上有界，则复合函数有界；

5. 反证法：判定无界时，可假设函数有界，推出矛盾（如存在 $ x_n \in D $，使得 $ |f(x_n)| \to +\infty $，则无界）。

例题1：一次函数 $ f(x) = 2x + 3 $，定义域 $ D = [1,4] $

分析：一次函数 $ f(x)=2x+3 $ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增，在闭区间 $ [1,4] $ 上仍单调递增；

最小值：$ f(1)=2×1+3=5 $（下界 $ B=5 $）；

最大值：$ f(4)=2×4+3=11 $（上界 $ A=11 $）；

存在 $ M = \max\{5,11\}=11 $，使得 $ |f(x)| \leq 11 $（因 $ 5 \leq f(x) \leq 11 $，故 $ |f(x)| \leq 11 $）。

结论：在 $ [1,4] $ 上有界。

例题2：一次函数 $ f(x) = 2x + 3 $，定义域 $ D = (-\infty, +\infty) $

分析：一次函数 $ f(x)=2x+3 $ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增，当 $ x \to +\infty $ 时，$ f(x) \to +\infty $；当 $ x \to -\infty $ 时，$ f(x) \to -\infty $；

不存在正数 $ M $，使得对所有 $ x \in \mathbb{R} $ 都有 $ |f(x)| \leq M $（因可找到任意大的 $ |f(x)| $）。

结论：在 $ \mathbb{R} $ 上无界。

例题3：二次函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $，定义域 $ D = [0,3] $

分析：二次函数开口向上（系数 $ a=1>0 $），对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} = 2 $，在 $ [0,2] $ 上单调递减，在 $ [2,3] $ 上单调递增；

最小值：$ f(2)=2^2 - 4×2 + 5=1 $（下界 $ B=1 $）；

最大值：比较端点值 $ f(0)=5 $、$ f(3)=2 $，故 $ \max f(x)=5 $（上界 $ A=5 $）；

取 $ M=5 $，则 $ |f(x)| \leq 5 $（因 $ 1 \leq f(x) \leq 5 $）。

结论：在 $ [0,3] $ 上有界。

例题4：二次函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $，定义域 $ D = (-\infty, +\infty) $

分析：二次函数开口向上，对称轴 $ x=2 $，最小值 $ f(2)=1 $，但当 $ x \to +\infty $ 或 $ x \to -\infty $ 时，$ f(x) = x^2(1 - \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}) \to +\infty $；

不存在上界（函数值可无限增大），故不存在 $ M $ 使 $ |f(x)| \leq M $。

结论：在 $ \mathbb{R} $ 上无界。

例题5：幂函数 $ f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} $，定义域 $ D = [1,9] $

分析：幂函数 $ \sqrt{x} $ 在 $ [0, +\infty) $ 上单调递增，在 $ [1,9] $ 上仍单调递增；

最小值：$ f(1)=1 $（下界 $ B=1 $）；

最大值：$ f(9)=3 $（上界 $ A=3 $）；

取 $ M=3 $，则 $ |f(x)| \leq 3 $（因 $ 1 \leq f(x) \leq 3 $）。

结论：在 $ [1,9] $ 上有界。

例题6：幂函数 $ f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} $，定义域 $ D = (0, +\infty) $

分析：$ \sqrt{x} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，当 $ x \to +\infty $ 时，$ \sqrt{x} \to +\infty $；

不存在上界（函数值可无限增大），故无界。

结论：在 $ (0, +\infty) $ 上无界。

例题7：幂函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，定义域 $ D = [2,5] $

分析：$ f(x)=\frac{1}{x} $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递减，在 $ [2,5] $ 上单调递减；

最大值：$ f(2)=\frac{1}{2} $（上界 $ A=\frac{1}{2} $）；

最小值：$ f(5)=\frac{1}{5} $（下界 $ B=\frac{1}{5} $）；

取 $ M=\frac{1}{2} $，则 $ |f(x)| \leq \frac{1}{2} $（因 $ \frac{1}{5} \leq f(x) \leq \frac{1}{2} $）。

结论：在 $ [2,5] $ 上有界。

例题8：幂函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $，定义域 $ D = (0,1) $

分析：$ f(x)=\frac{1}{x} $ 在 $ (0,1) $ 上单调递减，当 $ x \to 0^+ $ 时，$ \frac{1}{x} \to +\infty $；

取 $ x_n = \frac{1}{n} \in (0,1) $（$ n $ 为正整数），则 $ f(x_n) = n \to +\infty $，不存在 $ M $ 使 $ |f(x_n)| \leq M $。

结论：在 $ (0,1) $ 上无界。

例题9：指数函数 $ f(x) = 2^x $，定义域 $ D = [-3,2] $

分析：$ 2^x $ 在 $ \mathbb{R} $ 上单调递增，在 $ [-3,2] $ 上单调递增；

最小值：$ f(-3)=2^{-3}=\frac{1}{8} $（下界 $ B=\frac{1}{8} $）；

最大值：$ f(2)=2^2=4 $（上界 $ A=4 $）；

取 $ M=4 $，则 $ |f(x)| \leq 4 $（因 $ \frac{1}{8} \leq f(x) \leq 4 $）。

结论：在 $ [-3,2] $ 上有界。

例题10：指数函数 $ f(x) = 2^x $，定义域 $ D = (0, +\infty) $

分析：$ 2^x $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，当 $ x \to +\infty $ 时，$ 2^x \to +\infty $；

不存在上界，故无界。

结论：在 $ (0, +\infty) $ 上无界。

例题11：对数函数 $ f(x) = \ln x $，定义域 $ D = [\frac{1}{e}, e^2] $

分析：$ \ln x $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，在 $ [\frac{1}{e}, e^2] $ 上单调递增；

最小值：$ f(\frac{1}{e}) = \ln \frac{1}{e} = -1 $（下界 $ B=-1 $）；

最大值：$ f(e^2) = \ln e^2 = 2 $（上界 $ A=2 $）；

取 $ M=2 $，则 $ |f(x)| \leq 2 $（因 $ -1 \leq f(x) \leq 2 $，故 $ |f(x)| \leq 2 $）。

结论：在 $ [\frac{1}{e}, e^2] $ 上有界。

例题12：对数函数 $ f(x) = \ln x $，定义域 $ D = (0,1) $

分析：$ \ln x $ 在 $ (0,1) $ 上单调递增，当 $ x \to 0^+ $ 时，$ \ln x \to -\infty $；

取 $ x_n = \frac{1}{e^n} \in (0,1) $（$ n $ 为正整数），则 $ f(x_n) = -n \to -\infty $，不存在 $ M $ 使 $ |f(x_n)| \leq M $。

结论：在 $ (0,1) $ 上无界。

例题13：三角函数 $ f(x) = 3\sin x + 2\cos x $，定义域 $ D = \mathbb{R} $

分析：利用三角恒等变换，$ a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi) $（辅助角公式），其中 $ \varphi = \arctan \frac{b}{a} $；

此处 $ a=3, b=2 $，故 $ f(x) = \sqrt{3^2 + 2^2}\sin(x + \varphi) = \sqrt{13}\sin(x + \varphi) $；

因 $ |\sin(x + \varphi)| \leq 1 $，故 $ |f(x)| = \sqrt{13}|\sin(x + \varphi)| \leq \sqrt{13} $，取 $ M=\sqrt{13} $。

结论：在 $ \mathbb{R} $ 上有界。

例题14：三角函数 $ f(x) = \tan x $，定义域 $ D = [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $

分析：$ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $ 在 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 上单调递增，$ [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $ 是该区间的子集；

最小值：$ f(-\frac{\pi}{4}) = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1 $（下界 $ B=-1 $）；

最大值：$ f(\frac{\pi}{4}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 $（上界 $ A=1 $）；

取 $ M=1 $，则 $ |f(x)| \leq 1 $。

结论：在 $ [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $ 上有界。

例题15：三角函数 $ f(x) = \tan x $，定义域 $ D = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $

分析：$ \tan x $ 在 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 上单调递增，当 $ x \to \frac{\pi}{2}^- $ 时，$ \tan x \to +\infty $；当 $ x \to -\frac{\pi}{2}^+ $ 时，$ \tan x \to -\infty $；

不存在 $ M $ 使 $ |f(x)| \leq M $，故无界。

结论：在 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $ 上无界。