初等数论：实数的进位制与相互转化

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进位制的概念

定义：进位制是一种计数方式，它规定了在某个数位上满一定数值后向高位进一。例如，我们常用的十进制，就是逢十进一。

基数：进位制的基数是指在这种计数制中，每个数位上可能用到的数码个数。如十进制的基数是10，用到的数码是0 - 9；二进制的基数是2，用到的数码是0和1。

常见进位制

二进制：

特点：逢二进一。在计算机科学中广泛应用，因为计算机的电子元件通常只有两种稳定状态，如开和关、高电平和低电平，可以方便地用0和1表示。

示例：二进制数\((1011)_2\)，从右往左依次为：\(1\times2^0 + 1\times2^1+0\times2^2 + 1\times2^3=1 + 2+0 + 8=(11)_{10}\)。

八进制：

特点：逢八进一。它可以作为二进制和十进制之间转换的一种中间进制，因为\(2^3 = 8\)，每三位二进制数可以方便地转换为一位八进制数。

示例：八进制数\((37)_8\)，计算为\(7\times8^0+3\times8^1 = 7+24=(31)_{10}\)。

十进制：

特点：逢十进一。这是我们日常生活中最常用的计数制，人们已经习惯用0 - 9这十个数字来表示各种数量。

示例：十进制数\((456)\)，可以表示为\(6\times10^0+5\times10^1 + 4\times10^2=6 + 50+400 = 456\)。

十六进制：

特点：逢十六进一。在计算机领域用于表示内存地址等信息。它用到的数码除了0 - 9外，还有\(A - F\)，分别代表\(10 - 15\)。

示例：十六进制数\((2A)_ {16}\)，计算为\(A\times16^0+2\times16^1 = 10\times1 + 2\times16=(42)_{10}\)。

相互转化方法

十进制转其他进制

整数部分：除基取余法。

例如将十进制数\((25)_{10}\)转换为二进制。用\(25\)除以\(2\)，商为\(12\)，余数为\(1\)；再用\(12\)除以\(2\)，商为\(6\)，余数为\(0\)；接着用\(6\)除以\(2\)，商为\(3\)，余数为\(0\)；用\(3\)除以\(2\)，商为\(1\)，余数为\(1\)；最后用\(1\)除以\(2\)，商为\(0\)，余数为\(1\)。从下往上将余数排列，得到\((11001)_2\)。

小数部分：乘基取整法。

例如将十进制小数\((0.625)_{10}\)转换为二进制。用\(0.625\times2 = 1.25\)，取整数部分\(1\)；再用\(0.25\times2 = 0.5\)，取整数部分\(0\)；接着用\(0.5\times2 = 1\)，取整数部分\(1\)。得到\((0.101)_2\)。

其他进制转十进制：按权展开法。如前面所举的二进制数\((1011)_2\)、八进制数\((37)_8\)、十六进制数\((2A)_{16}\)转十进制的例子，就是将每个数位上的数字乘以该位的权（基数的幂次），然后相加得到十进制数。

二进制与八进制、十六进制的相互转换

二进制转八进制：从右往左，每三位二进制数一组，分别转换为八进制数。例如二进制数\((1101011)_2\)，分组为\((001)(101)(011)\)，转换后得到\((153)_8\)。

二进制转十六进制：从右往左，每四位二进制数一组，分别转换为十六进制数。例如二进制数\((1101011)_2\)，分组为\((0110)(1011)\)，转换后得到\((6B)_{16}\)。

八进制、十六进制转二进制：将八进制或十六进制的每一位数字分别转换为对应的二进制数。例如八进制数\((74)_8\)，\(7\)转换为\((111)_2\)，\(4\)转换为\((100)_2\)，得到\((111100)_2\)；十六进制数\((A3)_{16}\)，\(A\)转换为\((1010)_2\)，\(3\)转换为\((0011)_2\)，得到\((10100011)_2\)。