初等数论：数的奇偶性和平方数

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

1. 数的奇偶性

定义：能被2整除的整数是偶数，不能被2整除的整数是奇数。

通常偶数可以表示为\(2k\)（\(k\)为整数），奇数可以表示为\(2k + 1\)（\(k\)为整数）。

运算性质：

偶数\(\pm\)偶数 = 偶数。例如，\(4+6 = 10\)，\(8 - 2=6\)。因为偶数都能被2整除，两个能被2整除的数相加减，结果依然能被2整除。

奇数\(\pm\)奇数 = 偶数。比如，\(3+5 = 8\)，\(7-3 = 4\)。

设两个奇数分别为\(2m + 1\)和\(2n+1\)（\(m\)、\(n\)为整数），\((2m + 1)+(2n + 1)=2(m + n + 1)\)，相减同理，结果是偶数。

偶数\(\pm\)奇数 = 奇数。例如，\(4+3 = 7\)，\(6-1 = 5\)。

设偶数为\(2p\)，奇数为\(2q+1\)（\(p\)、\(q\)为整数），\(2p+(2q + 1)=2(p + q)+1\)，相减同理，结果是奇数。

偶数\(\times\)偶数 = 偶数。例如，\(2\times4 = 8\)，因为\((2m)\times(2n)=2\times(2mn)\)，结果能被2整除。

奇数\(\times\)奇数 = 奇数。比如，\(3\times5 = 15\)，

设两个奇数为\(2m + 1\)和\(2n+1\)，\((2m + 1)\times(2n + 1)=4mn+2m + 2n+1=2(2mn + m + n)+1\)，结果是奇数。

偶数\(\times\)奇数 = 偶数。例如，\(2\times3 = 6\)，

设偶数为\(2p\)，奇数为\(2q + 1\)，\(2p\times(2q+1)=2\times(2pq + p)\)，结果是偶数。

2. 平方数

定义：一个数如果是某个整数的平方，那么这个数就是平方数，也叫完全平方数。

例如，\(1\)、\(4\)、\(9\)、\(16\)、\(25\)等都是平方数，因为\(1 = 1^{2}\)，\(4 = 2^{2}\)，\(9 = 3^{2}\)，\(16 = 4^{2}\)，\(25 = 5^{2}\)。

性质：

平方数的个位数字只能是\(0\)、\(1\)、\(4\)、\(9\)、\(6\)、\(5\)。

因为一个整数的个位数字只可能是\(0 - 9\)，分别计算它们的平方：\(0^{2}=0\)，\(1^{2}=1\)，\(2^{2}=4\)，\(3^{2}=9\)，\(4^{2}=16\)，\(5^{2}=25\)，\(6^{2}=36\)，\(7^{2}=49\)，\(8^{2}=64\)，\(9^{2}=81\)，个位数字符合上述情况。

奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数。设奇数为\(2k + 1\)，\((2k + 1)^{2}=4k^{2}+4k + 1=2(2k^{2}+2k)+1\)，是奇数；设偶数为\(2m\)，\((2m)^{2}=4m^{2}=2\times(2m^{2})\)，是偶数。

如果一个数是平方数，那么它的因数的个数是奇数。

例如，\(9 = 3\times3\)，它的因数有\(1\)、\(3\)、\(9\)，共\(3\)个；\(16 = 2\times2\times2\times2\)，它的因数有\(1\)、\(2\)、\(4\)、\(8\)、\(16\)，共\(5\)个。因为对于平方数\(n = a^{2}\)，\(a\)作为因数会出现两次，其他因数两两配对，所以因数个数是奇数。