反三角函数：$\arcsin x$

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一、反正弦函数 $ y = \arcsin x $

定义：正弦函数 $ y = \sin x $ 在单调递增区间 $ \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $ 上的反函数。

定义域与值域：定义域 $ x \in [-1, 1] $（由正弦函数值域决定），值域 $ y \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $（主值区间）。

核心性质：

奇偶性：奇函数，满足 $ \arcsin(-x) = -\arcsin x $（$ x \in [-1, 1] $）。

单调性：在定义域内单调递增。

恒等式：

$ \sin(\arcsin x) = x $（$ x \in [-1, 1] $）

$ \arcsin(\sin x) = x $（$ x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $）

超出主值区间需用诱导公式转化（如 $ x = \frac{2\pi}{3} $ 时，$ \arcsin(\sin \frac{2\pi}{3}) = \arcsin(\sin \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} $）。

二、反余弦函数 $ y = \arccos x $

定义：余弦函数 $ y = \cos x $ 在单调递减区间 $ [0, \pi] $ 上的反函数。

定义域与值域：定义域 $ x \in [-1, 1] $，值域 $ y \in [0, \pi] $（主值区间）。

核心性质：

奇偶性：非奇非偶，满足 $ \arccos(-x) = \pi - \arccos x $（$ x \in [-1, 1] $）。

单调性：在定义域内单调递减。

恒等式：

$ \cos(\arccos x) = x $（$ x \in [-1, 1] $）

$ \arccos(\cos x) = x $（$ x \in [0, \pi] $）

超出主值区间需转化（如 $ x = \frac{3\pi}{2} $ 时，$ \arccos(\cos \frac{3\pi}{2}) = \arccos(0) = \frac{\pi}{2} $）。

三、反正切函数 $ y = \arctan x $

定义：正切函数 $ y = \tan x $ 在单调递增区间 $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $ 上的反函数。

定义域与值域：定义域 $ x \in \mathbb{R} $，值域 $ y \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $（主值区间）。

核心性质：

奇偶性：奇函数，满足 $ \arctan(-x) = -\arctan x $（$ x \in \mathbb{R} $）

单调性：在定义域内单调递增。

极限性质：$ \lim_{x \to +\infty} \arctan x = \frac{\pi}{2} $，$ \lim_{x \to -\infty} \arctan x = -\frac{\pi}{2} $。

恒等式：

$ \tan(\arctan x) = x $（$ x \in \mathbb{R} $）

$ \arctan(\tan x) = x $（$ x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $）

超出主值区间需转化（如 $ x = \frac{3\pi}{4} $ 时，$ \arctan(\tan \frac{3\pi}{4}) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4} $）。

四、反余切函数 $ y = \text{arccot } x $（拓展内容）

定义：余切函数 $ y = \cot x $ 在单调递减区间 $ (0, \pi) $ 上的反函数。

定义域与值域：定义域 $ x \in \mathbb{R} $，值域 $ y \in (0, \pi) $。

核心性质：

奇偶性：非奇非偶，满足 $ \text{arccot}(-x) = \pi - \text{arccot } x $（$ x \in \mathbb{R} $）

单调性：在定义域内单调递减。

恒等式：

$ \cot(\text{arccot } x) = x $（$ x \in \mathbb{R} $）

$ \text{arccot}(\cot x) = x $（$ x \in (0, \pi) $）

五、关键结论

互余关系：$ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $（$ x \in [-1, 1] $）；$ \arctan x + \text{arccot } x = \frac{\pi}{2} $（$ x \in \mathbb{R} $）。

正切和差结论：

若 $ x > 0 $，则 $ \arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} $。

若 $ ab < 1 $，则 $ \arctan a + \arctan b = \arctan \frac{a + b}{1 - ab} $；

若 $ ab > 1 $ 且 $ a, b > 0 $，则 $ \arctan a + \arctan b = \pi + \arctan \frac{a + b}{1 - ab} $。

复合运算结论：

$ \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2} $，$ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} $（$ x \in [-1, 1] $）。

$ \tan(\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} $（$ x \in (-1, 0) \cup (0, 1) $）。

角度通解结论：

若 $ \sin \alpha = a $（$ |a| \leq 1 $），则 $ \alpha = k\pi + (-1)^k \arcsin a $（$ k \in \mathbb{Z} $）；

若 $ \tan \alpha = a $，则 $ \alpha = k\pi + \arctan a $（$ k \in \mathbb{Z} $）。

3. 常见易错点

忽略主值区间：如误将 $ \arcsin(\sin \frac{3\pi}{4}) $ 计算为 $ \frac{3\pi}{4} $，实际应为 $ \frac{\pi}{4} $。

定义域错误：如认为 $ \arcsin 2 $ 有意义，实际反正弦、反余弦函数定义域仅为 $ [-1, 1] $。

奇偶性混淆：反余弦、反余切函数非奇非偶，不可套用奇函数性质。

例题1：复杂角度转化

求 $ \arcsin\left( \sin \frac{5\pi}{3} \right) + \arccos\left( \cos \frac{5\pi}{3} \right) $ 的值。

解析：

先转化到主值区间。$ \sin \frac{5\pi}{3} = \sin\left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = -\sin \frac{\pi}{3} $，故 $ \arcsin\left( \sin \frac{5\pi}{3} \right) = \arcsin\left( -\sin \frac{\pi}{3} \right) = -\frac{\pi}{3} $；$ \cos \frac{5\pi}{3} = \cos\left( 2\pi - \frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} $，故 $ \arccos\left( \cos \frac{5\pi}{3} \right) = \frac{\pi}{3} $。两者相加为 $ 0 $。

答案：$ 0 $。

例题2：正切和差公式应用

求 $ \arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 $ 的值。

解析：

先算前两项，设 $ \alpha = \arctan 2 $，$ \beta = \arctan 3 $，则 $ \tan \alpha = 2 $，$ \tan \beta = 3 $，且 $ \alpha, \beta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) $，故 $ \alpha + \beta \in (0, \pi) $。$ \tan(\alpha + \beta) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3} = -1 $，因此 $ \alpha + \beta = \frac{3\pi}{4} $。再加上 $ \arctan 1 = \frac{\pi}{4} $，总和为 $ \pi $。

答案：$ \pi $。

例题3：反三角函数方程求解

解方程 $ \arcsin x + \arcsin 2x = \frac{\pi}{3} $。

解析：

设 $ \alpha = \arcsin x $，$ \beta = \arcsin 2x $，则 $ \sin \alpha = x $，$ \sin \beta = 2x $，且 $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{3} $。由 $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $，得 $ \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} $。代入 $ \cos \alpha = \sqrt{1 - x^2} $，$ \cos \beta = \sqrt{1 - 4x^2} $，得 $ \sqrt{(1 - x^2)(1 - 4x^2)} - 2x^2 = \frac{1}{2} $。整理化简得 $ 25x^4 - 20x^2 + 3 = 0 $，解得 $ x^2 = \frac{3}{5} $（舍去，因 $ 2x $ 超出定义域）或 $ x^2 = \frac{1}{5} $，即 $ x = \frac{\sqrt{5}}{5} $（负根代入验证不成立）。

答案：$ x = \frac{\sqrt{5}}{5} $。

例题4：复合函数定义域与值域

求函数 $ y = \arccos\left( x^2 - 2x \right) $ 的定义域和值域。

解析：

定义域：由 $ -1 \leq x^2 - 2x \leq 1 $，解不等式 $ x^2 - 2x - 1 \leq 0 $ 得 $ 1 - \sqrt{2} \leq x \leq 1 + \sqrt{2} $，解 $ x^2 - 2x + 1 \geq 0 $ 恒成立，故定义域为 $ [1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}] $。值域：令 $ t = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 $，则 $ t \in [-1, 1] $。因 $ y = \arccos t $ 在 $ [-1, 1] $ 单调递减，故当 $ t = -1 $ 时，$ y = \pi $；当 $ t = 1 $ 时，$ y = 0 $，值域为 $ [0, \pi] $。

答案：定义域 $ [1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}] $，值域 $ [0, \pi] $。

例题5：反三角函数奇偶性判断

判断函数 $ f(x) = \arctan x - \frac{\pi}{2} $ 的奇偶性。

解析：

定义域 $ x \in \mathbb{R} $，关于原点对称。计算 $ f(-x) = \arctan(-x) - \frac{\pi}{2} = -\arctan x - \frac{\pi}{2} $，而 $ -f(x) = -\arctan x + \frac{\pi}{2} $，$ f(-x) \neq -f(x) $ 且 $ f(-x) \neq f(x) $，故非奇非偶。

答案：非奇非偶。

例题6：正切通解应用

已知 $ \tan(\alpha - \frac{\pi}{4}) = 2 $，用反三角函数表示所有满足条件的 $ \alpha $。

解析：

设 $ \theta = \alpha - \frac{\pi}{4} $，则 $ \tan \theta = 2 $，故 $ \theta = k\pi + \arctan 2 $（$ k \in \mathbb{Z} $），因此 $ \alpha = k\pi + \arctan 2 + \frac{\pi}{4} $。

答案：$ \alpha = k\pi + \arctan 2 + \frac{\pi}{4} $（$ k \in \mathbb{Z} $）。

例题7：复杂复合运算化简

化简 $ \tan\left( 2\arctan \frac{1}{3} \right) + \tan\left( \arctan 2 + \arctan 3 \right) $。

解析：

第一部分，设 $ \alpha = \arctan \frac{1}{3} $，则 $ \tan 2\alpha = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{3}{4} $。第二部分，由例题2知 $ \arctan 2 + \arctan 3 = \frac{3\pi}{4} $，故 $ \tan \frac{3\pi}{4} = -1 $。总和为 $ \frac{3}{4} - 1 = -\frac{1}{4} $。

答案：$ -\frac{1}{4} $。

例题8：反三角函数不等式求解

解不等式 $ \arccos x > \arcsin x $。

解析：

定义域 $ x \in [-1, 1] $。当 $ x \in [-1, 0] $ 时，$ \arccos x \in [\frac{\pi}{2}, \pi] $，$ \arcsin x \in [-\frac{\pi}{2}, 0] $，不等式恒成立。当 $ x \in (0, 1] $ 时，两边取余弦（余弦在 $ [0, \frac{\pi}{2}] $ 单调递减），得 $ x < \sqrt{1 - x^2} $，解得 $ 0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2} $。综上，解集为 $ [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}) $。

答案：$ [-1, \frac{\sqrt{2}}{2}) $。

例题9：三角形中的反三角函数应用

在 $ \triangle ABC $ 中，$ \tan A = 2 $，$ \tan B = 3 $，用反三角函数表示角 $ C $。

解析：

三角形内角和为 $ \pi $，故 $ C = \pi - (A + B) $。$ \tan(A + B) = \frac{2 + 3}{1 - 2 \times 3} = -1 $，因 $ A, B \in (0, \frac{\pi}{2}) $，故 $ A + B \in (0, \pi) $，即 $ A + B = \frac{3\pi}{4} $，因此 $ C = \frac{\pi}{4} = \arctan 1 $。

答案：$ C = \arctan 1 $（或 $ \frac{\pi}{4} $）。

例题10：反三角函数与指数函数结合

求函数 $ y = \arcsin\left( \frac{2^x - 1}{2^x + 1} \right) $ 的值域。

解析：

令 $ t = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} = 1 - \frac{2}{2^x + 1} $。因 $ 2^x > 0 $，故 $ 2^x + 1 > 1 $，$ 0 < \frac{2}{2^x + 1} < 2 $，得 $ t \in (-1, 1) $。又 $ y = \arcsin t $ 在 $ (-1, 1) $ 上单调递增，故值域为 $ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $。

答案：$ \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $。

例题11：双反三角函数化简

化简 $ \arcsin\left( \cos \frac{\pi}{5} \right) $。

解析：

利用诱导公式 $ \cos x = \sin\left( \frac{\pi}{2} - x \right) $，得 $ \cos \frac{\pi}{5} = \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} \right) = \sin \frac{3\pi}{10} $。因 $ \frac{3\pi}{10} \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $，故 $ \arcsin\left( \sin \frac{3\pi}{10} \right) = \frac{3\pi}{10} $。

答案：$ \frac{3\pi}{10} $。

例题12：反三角函数方程综合求解

解方程 $ \arccos x - \arcsin x = \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $。

解析：

由 $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $，且 $ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x $（互余关系），代入方程得 $ \frac{\pi}{2} - 2\arcsin x = \frac{\pi}{6} $，解得 $ \arcsin x = \frac{\pi}{6} $，故 $ x = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $。验证：$ \arccos \frac{1}{2} - \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $，成立。

答案：$ x = \frac{1}{2} $。

例题13：反三角函数的极限问题

求 $ \lim_{x \to +\infty} \left( x \cdot \left( \frac{\pi}{2} - \arctan x \right) \right) $。

解析：

令 $ t = \frac{\pi}{2} - \arctan x $，则 $ x = \tan\left( \frac{\pi}{2} - t \right) = \cot t $，当 $ x \to +\infty $ 时，$ t \to 0^+ $。原式转化为 $ \lim_{t \to 0^+} \cot t \cdot t = \lim_{t \to 0^+} \frac{t}{\tan t} = 1 $。

答案：$ 1 $。

例题14：反三角函数与二次函数结合

求函数 $ f(x) = \arctan(x^2 - 2x + 3) $ 的最小值。

解析：

令 $ t = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 $，则 $ t \geq 2 $。因 $ y = \arctan t $ 在 $ [2, +\infty) $ 单调递增，故最小值为 $ \arctan 2 $。

答案：$ \arctan 2 $。

例题15：反三角函数的恒等式证明

证明：$ \arcsin \frac{3}{5} + \arcsin \frac{4}{5} = \frac{\pi}{2} $。

证明：

设 $ \alpha = \arcsin \frac{3}{5} $，$ \beta = \arcsin \frac{4}{5} $，则 $ \sin \alpha = \frac{3}{5} $，$ \sin \beta = \frac{4}{5} $，且 $ \alpha, \beta \in \left( 0, \frac{\pi}{2} \right) $。计算 $ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} - \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = 0 $。因 $ \alpha + \beta \in (0, \pi) $，故 $ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} $，得证。

例题16：反三角函数不等式综合

解不等式 $ \arctan(2x - 1) < \frac{\pi}{4} $。

解析：

因 $ y = \arctan t $ 在 $ \mathbb{R} $ 单调递增，且 $ \arctan 1 = \frac{\pi}{4} $，故不等式等价于 $ 2x - 1 < 1 $，解得 $ x < 1 $。定义域为 $ \mathbb{R} $，故解集为 $ (-\infty, 1) $。

答案：$ (-\infty, 1) $。

例题17：反三角函数与向量结合

已知向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (2, 1) $，求两向量夹角 $ \theta $（用反三角函数表示）。

解析：

由向量点积公式，$ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1 \times 2 + 2 \times 1}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{4}{5} $，故 $ \theta = \arccos \frac{4}{5} $。

答案：$ \theta = \arccos \frac{4}{5} $。

例题18：反三角函数的周期性辨析

判断函数 $ f(x) = \arctan(\tan x) $ 的周期性，并求其最小正周期。

解析：

$ f(x) = \arctan(\tan x) = x - k\pi $（$ x \in \left( k\pi - \frac{\pi}{2}, k\pi + \frac{\pi}{2} \right) $，$ k \in \mathbb{Z} $）。图像为每隔 $ \pi $ 重复一次的“锯齿状”线段，故最小正周期为 $ \pi $。

答案：周期函数，最小正周期为 $ \pi $。

例题19：反三角函数与对数函数结合

求函数 $ y = \arccos(\log_2 x) $ 的定义域。

解析：

由 $ -1 \leq \log_2 x \leq 1 $，解不等式得 $ 2^{-1} \leq x \leq 2^1 $，即 $ \frac{1}{2} \leq x \leq 2 $。

答案：$ \left[ \frac{1}{2}, 2 \right] $。

例题20：反三角函数的最值问题

求函数 $ y = 2\arcsin x - \arccos x $ 的最大值和最小值。

解析：

利用互余关系 $ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x $，代入得 $ y = 2\arcsin x - \left( \frac{\pi}{2} - \arcsin x \right) = 3\arcsin x - \frac{\pi}{2} $。因 $ \arcsin x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] $，故当 $ \arcsin x = \frac{\pi}{2} $ 时，$ y_{\text{max}} = 3 \times \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi $；当 $ \arcsin x = -\frac{\pi}{2} $ 时，$ y_{\text{min}} = 3 \times \left( -\frac{\pi}{2} \right) - \frac{\pi}{2} = -2\pi $。

答案：最大值 $ \pi $，最小值 $ -2\pi $。