双曲函数与反双曲函数

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双曲函数是一类与三角函数形式相似，但基于指数函数定义的初等函数，广泛应用于工程力学（如悬链线）、热力学、概率论等领域；反双曲函数则是双曲函数的逆运算，用于解决“已知双曲函数值求自变量”的问题。

双曲函数的图象

一、双曲函数的定义（基于指数函数）

双曲函数共6个，核心是双曲正弦（sinh） 和双曲余弦（cosh），其余4个由二者推导而来，定义如下（定义域均为 \( \mathbb{R} \)）：

双曲正弦：\( \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \)（“sinh”读作“sin h”，h为“hyperbolic”缩写）；

双曲余弦：\( \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \)（“cosh”读作“cos h”）；

双曲正切：\( \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \)（“tanh”读作“tan h”）；

双曲余切：\( \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \)（定义域：\( x \neq 0 \)，“coth”读作“cot h”）；

双曲正割：\( \text{sech } x = \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}} \)（“sech”读作“sec h”）；

双曲余割：\( \text{csch } x = \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}} \)（定义域：\( x \neq 0 \)，“csch”读作“csc h”）。

二、双曲函数的性质（与三角函数对比）

双曲函数的性质与三角函数既有相似性（如奇偶性、恒等式），也有本质差异（如单调性、有界性），核心性质如下：

1、奇偶性

奇函数：\( \sinh(-x) = -\sinh x \)、\( \tanh(-x) = -\tanh x \)、\( \text{csch}(-x) = -\text{csch} x \)（与 \( \sin x, \tan x, \csc x \) 一致）；

偶函数：\( \cosh(-x) = \cosh x \)、\( \text{sech}(-x) = \text{sech} x \)（与 \( \cos x, \sec x \) 一致）；

非奇非偶：\( \coth(-x) = -\coth x \)（实际为奇函数，因 \( \coth x = \frac{1}{\tanh x} \)，奇函数的倒数仍为奇函数）。

2、核心恒等式（高频使用）

平方关系：\( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \)（类比 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)，注意符号差异）；

推导：\( \cosh^2 x - \sinh^2 x = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2 - \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x} - (e^{2x} - 2 + e^{-2x})}{4} = 1 \)；

正切平方关系：\( 1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x \)（由平方关系两边除以 \( \cosh^2 x \) 得）；

余切平方关系：\( \coth^2 x - 1 = \text{csch}^2 x \)（由平方关系两边除以 \( \sinh^2 x \) 得）；

和角公式：\( \sinh(x \pm y) = \sinh x \cosh y \pm \cosh x \sinh y \)、\( \cosh(x \pm y) = \cosh x \cosh y \pm \sinh x \sinh y \)（与三角函数和角公式类似，符号一致）。

3、单调性与有界性

单调递增：\( \sinh x \)（值域 \( \mathbb{R} \)）、\( \tanh x \)（值域 \( (-1, 1) \)，有界）；

分段单调：\( \cosh x \)（在 \( (-\infty, 0] \) 单调递减，在 \( [0, +\infty) \) 单调递增，最小值为 \( \cosh 0 = 1 \)，值域 \( [1, +\infty) \)）；

有界函数：仅 \( \tanh x \)（\( |\tanh x| < 1 \)）和 \( \text{sech} x \)（\( 0 < \text{sech} x \leq 1 \)），其余双曲函数均无界。

三、双曲函数的图像特征（辅助理解）

\( \sinh x \)：过原点，类似三次函数，在 \( \mathbb{R} \) 上单调递增，当 \( x \to +\infty \) 时，\( \sinh x \approx \frac{e^x}{2} \)；当 \( x \to -\infty \) 时，\( \sinh x \approx -\frac{e^{-x}}{2} \)；

\( \cosh x \)：过点 \( (0,1) \)，图像为“悬链线”，在 \( x=0 \) 处取得最小值1，当 \( x \to \pm\infty \) 时，\( \cosh x \approx \frac{e^{|x|}}{2} \)；

\( \tanh x \)：过原点，在 \( \mathbb{R} \) 上单调递增，水平渐近线为 \( y=1 \)（\( x \to +\infty \)）和 \( y=-1 \)（\( x \to -\infty \)）。

四、反双曲函数的定义（双曲函数的逆运算）

双曲函数中，\( \sinh x \)（严格递增）、\( \tanh x \)（严格递增）、\( \text{sech} x \)（在 \( [0, +\infty) \) 严格递减）、\( \cosh x \)（在 \( [0, +\infty) \) 严格递增）存在逆函数，称为反双曲函数，定义如下（均通过“解方程法”推导，即令 \( y = \text{双曲函数}(x) \)，解出 \( x \) 作为 \( y \) 的函数）：

反双曲正弦：\( \text{arsinh } x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \)（定义域 \( \mathbb{R} \)，“arsinh”读作“arc sin h”）；

反双曲余弦：\( \text{arcosh } x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \)（定义域 \( [1, +\infty) \)，因 \( \cosh x \) 的值域为 \( [1, +\infty) \)，且取 \( \cosh x \) 在 \( [0, +\infty) \) 的逆，故值域 \( [0, +\infty) \)）；

反双曲正切：\( \text{artanh } x = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) \)（定义域 \( (-1, 1) \)，因 \( \tanh x \) 的值域为 \( (-1, 1) \)）；

反双曲余切：\( \text{arcoth } x = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) \)（定义域 \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)，因 \( \coth x \) 的值域为 \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \)）；

反双曲正割：\( \text{arsech } x = \ln\left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) \)（定义域 \( (0, 1] \)，因 \( \text{sech} x \) 的值域为 \( (0, 1] \)）；

反双曲余割：\( \text{arcsch } x = \ln\left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} + 1} \right) \)（定义域 \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)，因 \( \text{csch} x \) 的值域为 \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)）。

五、反双曲函数的性质

奇偶性：\( \text{arsinh}(-x) = -\text{arsinh} x \)（奇函数）、\( \text{arcoth}(-x) = -\text{arcoth} x \)（奇函数）、\( \text{arcsch}(-x) = -\text{arcsch} x \)（奇函数）；\( \text{arcosh} x \)、\( \text{arsech} x \) 非奇非偶（因定义域不对称）；

单调性：\( \text{arsinh} x \)（\( \mathbb{R} \) 上严格递增）、\( \text{arcosh} x \)（\( [1, +\infty) \) 上严格递增）、\( \text{artanh} x \)（\( (-1, 1) \) 上严格递增）；

与对数函数的关系：所有反双曲函数均可表示为自然对数的形式（定义已体现），这是其与反三角函数的核心差异（反三角函数无法用初等函数显式表示）。

例题1：求 \( \sinh 0 \)、\( \cosh 0 \)、\( \tanh 0 \) 的值

分析：代入双曲函数定义：

\( \sinh 0 = \frac{e^0 - e^{-0}}{2} = \frac{1 - 1}{2} = 0 \)；

\( \cosh 0 = \frac{e^0 + e^{-0}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1 \)；

\( \tanh 0 = \frac{\sinh 0}{\cosh 0} = \frac{0}{1} = 0 \)。

结论：\( \sinh 0 = 0 \)，\( \cosh 0 = 1 \)，\( \tanh 0 = 0 \)。

例题2：求 \( \sinh(\ln 2) \) 和 \( \cosh(\ln 2) \) 的值

分析：利用指数函数与对数函数的关系 \( e^{\ln a} = a \)、\( e^{-\ln a} = \frac{1}{a} \)：

\( \sinh(\ln 2) = \frac{e^{\ln 2} - e^{-\ln 2}}{2} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4} \)；

\( \cosh(\ln 2) = \frac{e^{\ln 2} + e^{-\ln 2}}{2} = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2} = \frac{5}{4} \)。

结论：\( \sinh(\ln 2) = \frac{3}{4} \)，\( \cosh(\ln 2) = \frac{5}{4} \)。

例题3：证明恒等式 \( \cosh 2x = \cosh^2 x + \sinh^2 x \)

分析：利用双曲函数定义展开右边，化简后与左边对比：

右边：\( \cosh^2 x + \sinh^2 x = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2 + \left( \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2 \)；

展开：\( \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{2e^{2x} + 2e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \)；

左边：\( \cosh 2x = \frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} \)（代入双曲余弦定义，将 \( x \) 替换为 \( 2x \)）。

结论：右边=左边，恒等式成立。

例题4：证明恒等式 \( \sinh 2x = 2\sinh x \cosh x \)

分析：展开右边，化简后与左边对比：

右边：\( 2\sinh x \cosh x = 2 \cdot \frac{e^x - e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^x + e^{-x}}{2} = 2 \cdot \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2} \)；

左边：\( \sinh 2x = \frac{e^{2x} - e^{-2x}}{2} \)（双曲正弦定义，\( x \) 替换为 \( 2x \)）。

结论：右边=左边，恒等式成立。

例题5：已知 \( \sinh x = 3 \)，求 \( \cosh x \) 和 \( \tanh x \) 的值

分析：利用平方关系 \( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \)：

由 \( \cosh^2 x = \sinh^2 x + 1 = 3^2 + 1 = 10 \)，因 \( \cosh x \geq 1 \)（值域特性），故 \( \cosh x = \sqrt{10} \)（舍去负根）；

\( \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)。

结论：\( \cosh x = \sqrt{10} \)，\( \tanh x = \frac{3\sqrt{10}}{10} \)。

例题6：已知 \( \cosh x = \frac{5}{3} \)，求 \( \sinh x \) 和 \( \coth x \) 的值（\( x > 0 \)）

分析：利用平方关系，结合 \( x > 0 \) 确定 \( \sinh x \) 符号：

\( \sinh^2 x = \cosh^2 x - 1 = \left( \frac{5}{3} \right)^2 - 1 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9} \)，因 \( x > 0 \) 时 \( \sinh x > 0 \)，故 \( \sinh x = \frac{4}{3} \)；

\( \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{5}{4} \)。

结论：\( \sinh x = \frac{4}{3} \)，\( \coth x = \frac{5}{4} \)。

例题7：求函数 \( f(x) = \sinh(2x + 1) \) 的导数 \( f'(x) \)

分析：复合函数求导，外层为 \( \sinh u \)，内层为 \( u = 2x + 1 \)，先记双曲函数导数公式：\( (\sinh u)' = \cosh u \cdot u' \)；

第一步：求外层导数：\( (\sinh u)' = \cosh u = \cosh(2x + 1) \)；

第二步：求内层导数：\( u' = (2x + 1)' = 2 \)；

第三步：乘积得：\( f'(x) = \cosh(2x + 1) \cdot 2 = 2\cosh(2x + 1) \)。

结论：\( f'(x) = 2\cosh(2x + 1) \)。

例题8：求函数 \( f(x) = \cosh^2 x \) 的导数 \( f'(x) \)

分析：复合函数求导，外层为 \( u^2 \)（\( u = \cosh x \)），先记 \( (\cosh u)' = \sinh u \cdot u' \)；

第一步：外层导数：\( (u^2)' = 2u = 2\cosh x \)；

第二步：内层导数：\( u' = (\cosh x)' = \sinh x \)；

第三步：乘积得：\( f'(x) = 2\cosh x \cdot \sinh x = \sinh 2x \)（利用例题4的恒等式 \( \sinh 2x = 2\sinh x \cosh x \) 化简）。

结论：\( f'(x) = \sinh 2x \)。

例题9：求函数 \( f(x) = \tanh(\ln x) \) 的导数 \( f'(x) \)（\( x > 0 \)）

分析：复合函数求导，外层为 \( \tanh u \)，内层为 \( u = \ln x \)，双曲正切导数公式：\( (\tanh u)' = \text{sech}^2 u \cdot u' \)；

第一步：外层导数：\( (\tanh u)' = \text{sech}^2 u = \text{sech}^2(\ln x) \)；

第二步：内层导数：\( u' = (\ln x)' = \frac{1}{x} \)；

第三步：化简 \( \text{sech}^2(\ln x) \)：因 \( \text{sech} u = \frac{1}{\cosh u} \)，故 \( \text{sech}^2(\ln x) = \frac{1}{\cosh^2(\ln x)} \)，由例题2知 \( \cosh(\ln x) = \frac{x^2 + 1}{2x} \)（代入 \( x \) 替换 \( 2 \)），故 \( \cosh^2(\ln x) = \left( \frac{x^2 + 1}{2x} \right)^2 \)，因此 \( \text{sech}^2(\ln x) = \frac{4x^2}{(x^2 + 1)^2} \)；

最终导数：\( f'(x) = \frac{4x^2}{(x^2 + 1)^2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \)。

结论：\( f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \)。

例题10：解方程 \( \sinh x + \cosh x = e^x \)

分析：代入双曲函数定义，左边化简后与右边对比：

左边：\( \sinh x + \cosh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} + \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{2e^x}{2} = e^x \)；

右边：\( e^x \)。

结论：方程对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立，解为 \( \mathbb{R} \)。

例题11：解方程 \( \cosh x - \sinh x = e^{-x} \)

分析：类似例题10，代入定义化简：

左边：\( \cosh x - \sinh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} - \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{2e^{-x}}{2} = e^{-x} \)；

右边：\( e^{-x} \)。

结论：方程对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立，解为 \( \mathbb{R} \)。

例题12：解方程 \( \tanh x = \frac{1}{2} \)

分析：利用双曲正切定义，转化为指数方程求解：

由 \( \tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} = \frac{1}{2} \)，交叉相乘得：\( 2(e^x - e^{-x}) = e^x + e^{-x} \)；

整理：\( 2e^x - 2e^{-x} - e^x - e^{-x} = 0 \Rightarrow e^x - 3e^{-x} = 0 \)；

两边乘 \( e^x \)（\( e^x > 0 \)，不改变方程解）：\( e^{2x} - 3 = 0 \Rightarrow e^{2x} = 3 \)；

取自然对数：\( 2x = \ln 3 \Rightarrow x = \frac{1}{2}\ln 3 = \ln \sqrt{3} \)。

结论：方程的解为 \( x = \ln \sqrt{3} \)。

例题13：求 \( \text{arsinh } 0 \) 的值

分析：代入反双曲正弦定义：\( \text{arsinh } x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \)；

\( \text{arsinh } 0 = \ln(0 + \sqrt{0^2 + 1}) = \ln(1) = 0 \)。

结论：\( \text{arsinh } 0 = 0 \)。

例题14：求 \( \text{arcosh } 1 \) 的值

分析：代入反双曲余弦定义，注意定义域 \( x \geq 1 \)：

\( \text{arcosh } 1 = \ln(1 + \sqrt{1^2 - 1}) = \ln(1 + 0) = \ln 1 = 0 \)。

结论：\( \text{arcosh } 1 = 0 \)。

例题15：求 \( \text{artanh } \frac{1}{2} \) 的值

分析：代入反双曲正切定义，定义域 \( (-1, 1) \)，\( \frac{1}{2} \in (-1, 1) \)：

\( \text{artanh } \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{1 + \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\ln 3 \)。

结论：\( \text{artanh } \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\ln 3 \)。

例题16：求 \( \text{arcoth } 2 \) 的值

分析：代入反双曲余切定义，定义域 \( (1, +\infty) \)，\( 2 \in (1, +\infty) \)：

\( \text{arcoth } 2 = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{2 + 1}{2 - 1} \right) = \frac{1}{2}\ln\left( \frac{3}{1} \right) = \frac{1}{2}\ln 3 \)。

结论：\( \text{arcoth } 2 = \frac{1}{2}\ln 3 \)。

例题17：化简表达式 \( \text{arsinh}(\sinh x) \)

分析：利用反函数的性质“若函数严格单调，则 \( f^{-1}(f(x)) = x \)”；

\( \sinh x \) 在 \( \mathbb{R} \) 上严格递增，故其反函数 \( \text{arsinh} x \) 满足 \( \text{arsinh}(\sinh x) = x \)（对所有 \( x \in \mathbb{R} \) 成立）。

结论：\( \text{arsinh}(\sinh x) = x \)（\( x \in \mathbb{R} \)）。

例题18：化简表达式 \( \text{arcosh}(\cosh x) \)

分析：\( \cosh x \) 在 \( [0, +\infty) \) 上严格递增，故反函数 \( \text{arcosh} x \) 的定义域为 \( [1, +\infty) \)，值域为 \( [0, +\infty) \)；

当 \( x \in [0, +\infty) \) 时，\( \cosh x \) 是原函数的严格递增部分，故 \( \text{arcosh}(\cosh x) = x \)；

当 \( x \in (-\infty, 0] \) 时，因 \( \cosh x = \cosh(-x) \)（偶函数），且 \( -x \in [0, +\infty) \)，故 \( \text{arcosh}(\cosh x) = \text{arcosh}(\cosh(-x)) = -x \)；

综合得：\( \text{arcosh}(\cosh x) = |x| \)。

结论：\( \text{arcosh}(\cosh x) = |x| \)（\( x \in \mathbb{R} \)）。

例题19：求函数 \( f(x) = \text{arsinh}(x^2) \) 的导数 \( f'(x) \)

分析：复合函数求导，外层为 \( \text{arsinh} u \)，内层为 \( u = x^2 \)，先记反双曲正弦导数公式：\( (\text{arsinh} u)' = \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} \cdot u' \)；

第一步：外层导数：\( (\text{arsinh} u)' = \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{(x^2)^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^4 + 1}} \)；

第二步：内层导数：\( u' = (x^2)' = 2x \)；

乘积得：\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4 + 1}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{x^4 + 1}} \)。

结论：\( f'(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^4 + 1}} \)。

例题20：求函数 \( f(x) = \text{artanh}(\sin x) \) 的导数 \( f'(x) \)（需满足定义域 \( |\sin x| < 1 \)，即 \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \)）

分析：复合函数求导，外层为 \( \text{artanh} u \)，内层为 \( u = \sin x \)，反双曲正切导数公式：\( (\text{artanh} u)' = \frac{1}{1 - u^2} \cdot u' \)；

第一步：外层导数：\( (\text{artanh} u)' = \frac{1}{1 - u^2} = \frac{1}{1 - \sin^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \)（利用三角恒等式 \( 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \)）；

第二步：内层导数：\( u' = (\sin x)' = \cos x \)；

乘积得：\( f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \cos x = \frac{1}{\cos x} = \sec x \)。

结论：\( f'(x) = \sec x \)（\( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \)）。

总结：双曲函数与反双曲函数的要点：

1. 定义是基础：所有性质（奇偶性、恒等式）和应用（求值、求导）均源于指数函数定义，需牢记6个双曲函数和4个常用反双曲函数的定义；

2. 恒等式是关键：\( \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \)、\( \sinh 2x = 2\sinh x \cosh x \) 等恒等式是化简、求值的核心工具，注意与三角函数恒等式的符号差异；

3. 反函数需关注定义域：反双曲函数的定义域由原双曲函数的值域决定（如 \( \text{arcosh} x \) 定义域 \( [1, +\infty) \)），化简时需结合原函数的单调性（如 \( \text{arcosh}(\cosh x) = |x| \)）；

4. 求导公式要熟练：双曲函数导数与三角函数类似（\( \sinh' x = \cosh x \)、\( \cosh' x = \sinh x \)），反双曲函数导数可通过对数形式推导，无需死记硬背。

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