复合函数： y = f[g(x)]

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

复合函数是高中数学函数部分的核心内容，也是衔接初等函数与高等函数的关键纽带。它并非独立的函数类型，而是由两个或多个基本函数通过“嵌套”形成的新函数，其性质（定义域、值域、单调性等）需结合内层函数与外层函数的性质综合分析，具有“整体与局部”相互关联的特点。

一、复合函数的定义

设函数\( y = f(u) \)（称为外层函数，其中\( u \)是外层函数的自变量），函数\( u = g(x) \)（称为内层函数，其中\( x \)是内层函数的自变量，也是复合函数的最终自变量）。若内层函数的函数值\( u = g(x) \)能全部或部分落在外层函数的定义域内，则称\( y = f[g(x)] \)为由\( y = f(u) \)和\( u = g(x) \)复合而成的复合函数，其中\( u \)称为中间变量。

例如：由\( y = \sqrt{u} \)（外层，定义域\( u \geq 0 \)）和\( u = x^2 - 1 \)（内层）复合，得到复合函数\( y = \sqrt{x^2 - 1} \)，中间变量为\( u \)。

二、复合函数的定义域：内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域

复合函数\( y = f[g(x)] \)的定义域，是指使得“内层函数\( u = g(x) \)有意义”且“\( u = g(x) \)的结果属于外层函数\( y = f(u) \)的定义域”的所有\( x \)的取值集合。

求解步骤：

1. 明确外层函数\( y = f(u) \)的定义域\( D_f \)（即\( u \in D_f \)）；

2. 令内层函数\( g(x) \in D_f \)，解不等式得到\( x \)的取值范围；

3. 若内层函数\( u = g(x) \)本身有定义域限制（如分母不为0、根号下非负等），需取上述范围与\( g(x) \)定义域的交集，最终结果即为复合函数的定义域。

例题1：已知\( f(x) = \sqrt{g(x)} \)，\( g(x) = x^2 - 1 \)，求\( f[g(x)] \)的定义域。

解：

1. 外层函数\( f(u) = \sqrt{u} \)（\( u = g(x) \)），定义域为\( u \geq 0 \)；

2. 令内层函数\( g(x) = x^2 - 1 \geq 0 \)，解不等式：\( x^2 \geq 1 \)，即\( x \leq -1 \)或\( x \geq 1 \)；

3. 内层函数\( g(x) = x^2 - 1 \)定义域为\( \mathbb{R} \)，无额外限制；

故\( f[g(x)] \)的定义域为\( (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \)。

例题2：已知\( f[g(x)] = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 4}} \)，其中\( g(x) = x^2 - 4 \)，求\( f(u) \)的定义域。

解：

1. 复合函数\( f[g(x)] = \frac{1}{\sqrt{g(x)}} \)，需满足\( g(x) > 0 \)（分母不为0且根号下非负）；

2. \( f(u) = \frac{1}{\sqrt{u}} \)，其定义域为\( u > 0 \)；

3. 而\( u = g(x) = x^2 - 4 \)，当\( g(x) > 0 \)时，\( u > 0 \)，故\( f(u) \)的定义域为\( (0, +\infty) \)。

例题3：已知\( f(x) \)的定义域为\( [1, 3] \)，求\( f(2x - 1) \)的定义域。

解：

1. 复合函数\( f(2x - 1) \)中，内层函数\( u = 2x - 1 \)，外层函数\( f(u) \)的定义域为\( u \in [1, 3] \)；

2. 令\( 1 \leq 2x - 1 \leq 3 \)，解不等式：

左半部分：\( 1 \leq 2x - 1 \Rightarrow 2 \leq 2x \Rightarrow x \geq 1 \)；

右半部分：\( 2x - 1 \leq 3 \Rightarrow 2x \leq 4 \Rightarrow x \leq 2 \)；

故\( f(2x - 1) \)的定义域为\( [1, 2] \)。

例题4：已知\( f(x + 1) \)的定义域为\( [0, 2] \)，求\( f(x - 2) \)的定义域。

解：

1. 先求\( f(u) \)的定义域（\( u = x + 1 \)）：

\( f(x + 1) \)的定义域是\( x \in [0, 2] \)，则内层函数\( u = x + 1 \)的值域为\( [0 + 1, 2 + 1] = [1, 3] \)，此即为\( f(u) \)的定义域（\( u \in [1, 3] \)）；

2. 求\( f(x - 2) \)的定义域：令\( u = x - 2 \in [1, 3] \)，解不等式：

\( 1 \leq x - 2 \leq 3 \Rightarrow 3 \leq x \leq 5 \)；

故\( f(x - 2) \)的定义域为\( [3, 5] \)。

例题5：求\( y = \sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x - 1)} \)的定义域。

解：

1. 外层函数\( y = \sqrt{u} \)（\( u = \log_{\frac{1}{2}}(x - 1) \)），需满足\( u \geq 0 \)；

2. 内层函数\( u = \log_{\frac{1}{2}}(x - 1) \)，需满足：

对数真数大于0：\( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)；

结合外层要求\( u \geq 0 \)：\( \log_{\frac{1}{2}}(x - 1) \geq 0 = \log_{\frac{1}{2}}1 \)，因对数函数\( \log_{\frac{1}{2}}t \)单调递减，故\( x - 1 \leq 1 \Rightarrow x \leq 2 \)；

3. 取交集：\( 1 < x \leq 2 \)；故定义域为\( (1, 2] \)。

三、复合函数的值域：由内到外，逐层求值域

复合函数的值域不能直接通过外层函数的值域确定，需遵循“先求内层值域，再将其作为外层函数的定义域求外层值域”的逻辑。

求解步骤：

1. 根据复合函数的定义域，求出内层函数\( u = g(x) \)的值域\( R_g \)（此值域是外层函数的“有效定义域”）；

2. 将\( u \in R_g \)代入外层函数\( y = f(u) \)，求出\( y = f(u) \)的值域\( R_f \)，即为复合函数的值域。

例题6：已知\( f(x) = 2^u \)，\( g(x) = x^2 + 1 \)，求\( f[g(x)] \)的值域。

解：

1. 先求复合函数的定义域：\( g(x) = x^2 + 1 \)定义域为\( \mathbb{R} \)，外层\( f(u) = 2^u \)定义域为\( \mathbb{R} \)，故复合函数定义域为\( \mathbb{R} \)；

2. 求内层函数\( g(x) = x^2 + 1 \)的值域：因\( x^2 \geq 0 \)，故\( g(x) \geq 1 \)，即\( u \in [1, +\infty) \)；

3. 求外层函数\( f(u) = 2^u \)在\( u \in [1, +\infty) \)的值域：\( 2^u \)单调递增，故\( 2^u \geq 2^1 = 2 \)；

故\( f[g(x)] \)的值域为\( [2, +\infty) \)。

例题7：求\( y = \log_2(3 - 2x - x^2) \)的值域。

解：

1. 先求定义域：令\( u = 3 - 2x - x^2 > 0 \)（对数真数大于0），即\( x^2 + 2x - 3 < 0 \)，因式分解得\( (x + 3)(x - 1) < 0 \)，解得\( x \in (-3, 1) \)；

2. 求内层函数\( u = 3 - 2x - x^2 \)在\( x \in (-3, 1) \)的值域：

\( u = -(x^2 + 2x) + 3 = -(x + 1)^2 + 4 \)，是开口向下的抛物线，顶点在\( x = -1 \)，此时\( u_{\text{max}} = 4 \)；

当\( x \to -3 \)或\( x \to 1 \)时，\( u \to 0 \)，故\( u \in (0, 4] \)；

3. 求外层函数\( y = \log_2 u \)在\( u \in (0, 4] \)的值域：\( \log_2 u \)单调递增，故\( y \leq \log_2 4 = 2 \)；

故值域为\( (-\infty, 2] \)。

例题8：求\( y = \sqrt{4 - 2^x} \)的值域。

解：

1. 定义域：令\( 4 - 2^x \geq 0 \Rightarrow 2^x \leq 4 = 2^2 \)，因\( 2^x \)单调递增，故\( x \leq 2 \)，定义域为\( (-\infty, 2] \)；

2. 内层函数\( u = 4 - 2^x \)的值域：\( 2^x > 0 \Rightarrow -2^x < 0 \Rightarrow 4 - 2^x < 4 \)，又\( u \geq 0 \)，故\( u \in [0, 4) \)；

3. 外层函数\( y = \sqrt{u} \)的值域：\( \sqrt{u} \in [0, 2) \)；

故值域为\( [0, 2) \)。

例题9：求\( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 3} \)的值域。

解：

1. 定义域：\( x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 \geq 2 > 0 \)，故定义域为\( \mathbb{R} \)；

2. 内层函数\( u = x^2 + 2x + 3 = (x + 1)^2 + 2 \)的值域：\( u \geq 2 \)；

3. 外层函数\( y = \frac{1}{u} \)在\( u \geq 2 \)的值域：\( \frac{1}{u} \)单调递减，故\( 0 < \frac{1}{u} \leq \frac{1}{2} \)；

故值域为\( (0, \frac{1}{2}] \)。

例题10：求\( y = 2 - \sqrt{x^2 - 4x + 5} \)的值域。

解：

1. 定义域：\( x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \geq 1 > 0 \)，故定义域为\( \mathbb{R} \)；

2. 内层函数\( u = x^2 - 4x + 5 = (x - 2)^2 + 1 \)的值域：\( u \geq 1 \)；

3. 外层函数\( y = 2 - \sqrt{u} \)的值域：\( \sqrt{u} \geq 1 \Rightarrow -\sqrt{u} \leq -1 \Rightarrow 2 - \sqrt{u} \leq 1 \)，故\( y \leq 1 \)；

故值域为\( (-\infty, 1] \)。

四、复合函数的解析式：嵌套替换，注意定义域同步限制

复合函数的解析式本质是“将内层函数的表达式代入外层函数的自变量位置”，但需注意：代入后需同步考虑内层函数的定义域对复合函数的限制（避免仅关注外层函数而忽略内层隐含条件）。

常见形式：

已知\( f(u) \)和\( g(x) \)，求\( f[g(x)] \)：直接将\( g(x) \)替换\( f(u) \)中的\( u \)，例如\( f(u) = 2u + 1 \)，\( g(x) = x^2 \)，则\( f[g(x)] = 2x^2 + 1 \)；

已知\( f[g(x)] \)和\( g(x) \)，求\( f(u) \)：用“换元法”，令\( u = g(x) \)，解出\( x = g^{-1}(u) \)（内层函数的反函数，需保证存在），代入\( f[g(x)] \)得\( f(u) \)。

例题11：已知\( f(x) = x^2 - 2x \)，\( g(x) = 3x + 1 \)，求\( f[g(x)] \)和\( g[f(x)] \)。

解：

求\( f[g(x)] \)：将\( g(x) = 3x + 1 \)代入\( f(x) \)的自变量位置，得：

\( f[g(x)] = (3x + 1)^2 - 2(3x + 1) = 9x^2 + 6x + 1 - 6x - 2 = 9x^2 - 1 \)；

求\( g[f(x)] \)：将\( f(x) = x^2 - 2x \)代入\( g(x) \)的自变量位置，得：

\( g[f(x)] = 3(x^2 - 2x) + 1 = 3x^2 - 6x + 1 \)。

例题12：已知\( f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x} \)，求\( f(x) \)的解析式。

解：

用换元法：

1. 令\( u = \sqrt{x} + 1 \)，则\( \sqrt{x} = u - 1 \)（需满足\( u - 1 \geq 0 \Rightarrow u \geq 1 \)）；

2. 平方得\( x = (u - 1)^2 = u^2 - 2u + 1 \)；

3. 代入原式：\( f(u) = (u^2 - 2u + 1) + 2(u - 1) = u^2 - 2u + 1 + 2u - 2 = u^2 - 1 \)；

4. 因\( u \geq 1 \)，故\( f(x) = x^2 - 1 \)（\( x \geq 1 \)）。

例题13：已知\( f(x + \frac{1}{x}) = x^2 + \frac{1}{x^2} \)，求\( f(x) \)的解析式。

解：

用配凑法（利用代数恒等变形）：

1. 观察到\( x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2 \)；

2. 令\( u = x + \frac{1}{x} \)，需确定\( u \)的范围：

当\( x > 0 \)时，由均值不等式\( x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \)；

当\( x < 0 \)时，令\( x = -t \)（\( t > 0 \)），则\( x + \frac{1}{x} = - (t + \frac{1}{t}) \leq -2 \)；

故\( u \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)；

3. 代入原式得\( f(u) = u^2 - 2 \)，故\( f(x) = x^2 - 2 \)（\( x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)）。

五、复合函数的单调性：“同增异减”法则（核心性质）

复合函数的单调性由内层函数与外层函数的单调性共同决定，需先确定内层函数的单调区间，再结合外层函数在对应区间的单调性判断复合函数的单调性。

核心法则：

若内层函数\( u = g(x) \)在区间\( I \)上单调递增，外层函数\( y = f(u) \)在\( u = g(x) \)的值域区间\( R_g \)上也单调递增，则复合函数\( y = f[g(x)] \)在\( I \)上单调递增；

若内层函数\( u = g(x) \)在区间\( I \)上单调递增，外层函数\( y = f(u) \)在\( R_g \)上单调递减，则复合函数\( y = f[g(x)] \)在\( I \)上单调递减；

若内层函数\( u = g(x) \)在区间\( I \)上单调递减，外层函数\( y = f(u) \)在\( R_g \)上单调递增，则复合函数\( y = f[g(x)] \)在\( I \)上单调递减；

若内层函数\( u = g(x) \)在区间\( I \)上单调递减，外层函数\( y = f(u) \)在\( R_g \)上单调递减，则复合函数\( y = f[g(x)] \)在\( I \)上单调递增。

总结：内层与外层单调性“相同”，复合函数递增；“不同”，复合函数递减（即“同增异减”）。

注意：判断前需先确定复合函数的定义域，所有单调区间必须是定义域的子集。

例题14：判断\( y = (x^2 - 2x)^2 + 3 \)的单调递增区间。

解：

1. 分解复合函数：令\( y = u^2 + 3 \)（外层，\( u = x^2 - 2x \)，内层）；

2. 求定义域：\( \mathbb{R} \)；

3. 分析内层函数\( u = x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \)的单调性：

对称轴\( x = 1 \)，开口向上，故\( u \)在\( (-\infty, 1] \)上单调递减，在\( [1, +\infty) \)上单调递增；

4. 分析外层函数\( y = u^2 + 3 \)的单调性：

开口向上，对称轴\( u = 0 \)，故\( y \)在\( (-\infty, 0] \)上单调递减，在\( [0, +\infty) \)上单调递增；

5. 结合“同增异减”求复合函数单调递增区间：

情况1：\( u \)递减且\( y \)递减（同减→增）：需\( u \leq 0 \)且\( u \)递减，即\( x^2 - 2x \leq 0 \Rightarrow 0 \leq x \leq 2 \)，与\( u \)递减区间\( (-\infty, 1] \)交集为\( [0, 1] \)；

情况2：\( u \)递增且\( y \)递增（同增→增）：需\( u \geq 0 \)且\( u \)递增，即\( x^2 - 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0 \)或\( x \geq 2 \)，与\( u \)递增区间\( [1, +\infty) \)交集为\( [2, +\infty) \)；

故单调递增区间为\( [0, 1] \cup [2, +\infty) \)。

例题15：判断\( y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 3x + 2) \)的单调递减区间。

解：

1. 分解复合函数：\( y = \log_{\frac{1}{2}}u \)（外层，单调递减），\( u = x^2 - 3x + 2 \)（内层）；

2. 求定义域：\( u = x^2 - 3x + 2 > 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 2) > 0 \Rightarrow x < 1 \)或\( x > 2 \)；

3. 分析内层函数\( u = x^2 - 3x + 2 \)的单调性：

对称轴\( x = \frac{3}{2} \)，开口向上，故\( u \)在\( (-\infty, 1) \)上单调递减，在\( (2, +\infty) \)上单调递增；

4. 结合“同增异减”求单调递减区间：

外层\( y \)单调递减，需复合函数递减，则内层\( u \)需单调递增（异减→减）；

内层\( u \)递增区间为\( (2, +\infty) \)，且在定义域内；

故单调递减区间为\( (2, +\infty) \)。

例题16：求\( y = 2^{x^2 - 4x + 3} \)的单调递减区间。

解：

1. 分解复合函数：\( y = 2^u \)（外层，单调递增），\( u = x^2 - 4x + 3 \)（内层）；

2. 定义域：\( \mathbb{R} \)；

3. 分析内层函数\( u = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1 \)的单调性：

对称轴\( x = 2 \)，开口向上，故\( u \)在\( (-\infty, 2] \)上单调递减，在\( [2, +\infty) \)上单调递增；

4. 结合“同增异减”求单调递减区间：

外层\( y \)单调递增，需复合函数递减，则内层\( u \)需单调递减（同增→减）；

故单调递减区间为\( (-\infty, 2] \)。

例题17：求\( y = \frac{1}{\sqrt{-x^2 + 2x + 3}} \)的单调递增区间。

解：

1. 分解复合函数：\( y = \frac{1}{\sqrt{u}} = u^{-\frac{1}{2}} \)（外层，\( u > 0 \)，因幂函数指数\( -\frac{1}{2} < 0 \)，故\( y \)在\( (0, +\infty) \)上单调递减），\( u = -x^2 + 2x + 3 \)（内层）；

2. 求定义域：\( u = -x^2 + 2x + 3 > 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 < 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 1) < 0 \Rightarrow -1 < x < 3 \)；

3. 分析内层函数\( u = -x^2 + 2x + 3 = -(x - 1)^2 + 4 \)的单调性：

开口向下，对称轴\( x = 1 \)，故\( u \)在\( (-1, 1] \)上单调递增，在\( [1, 3) \)上单调递减；

4. 结合“同增异减”求单调递增区间：

外层\( y \)单调递减，需复合函数递增，则内层\( u \)需单调递减（异减→增）；

故单调递增区间为\( [1, 3) \)。

六、复合函数的奇偶性：内层为奇函数时，外层奇偶性决定复合函数奇偶性

复合函数的奇偶性分析核心是“内外层函数奇偶性的组合规律”，但需先满足一个前提：复合函数的定义域关于原点对称（这是函数具有奇偶性的必要条件，若定义域不对称，直接判定为非奇非偶函数）。

1. 复合函数的结构

设外层函数为 \( y = f(u) \)，内层函数为 \( u = g(x) \)，则复合函数为 \( y = f[g(x)] \)。判断其奇偶性，需依据奇偶函数的定义：

奇函数：对定义域内任意 \( x \)，都有 \( f[g(-x)] = -f[g(x)] \)；

偶函数：对定义域内任意 \( x \)，都有 \( f[g(-x)] = f[g(x)] \)；

非奇非偶函数：既不满足奇函数定义，也不满足偶函数定义。

2. 定义域优先原则

复合函数 \( y = f[g(x)] \) 的定义域是“内层函数 \( u = g(x) \) 的定义域”与“外层函数 \( y = f(u) \) 的定义域（即 \( u = g(x) \) 的值域范围）”的交集。若该交集不关于原点对称（如定义域为 \( [0, +\infty) \)、\( (-2, 1] \) 等），则无需进一步判断，直接判定为非奇非偶函数。

例：复合函数 \( y = f[g(x)] = \sqrt{x^3} \)（内层 \( g(x) = x^3 \)，外层 \( f(u) = \sqrt{u} \)），其定义域为 \( [0, +\infty) \)（因 \( \sqrt{u} \) 要求 \( u \geq 0 \)，即 \( x^3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0 \)），定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数。

3. 复合函数奇偶性的判定法则

当复合函数定义域关于原点对称时，其奇偶性由外层函数 \( f(u) \) 和内层函数 \( u = g(x) \) 的奇偶性共同决定，可总结为“两层组合，一偶则偶，同奇则奇”，具体法则如下表所示：

外层函数 \( f(u) \) 的奇偶性	内层函数 \( u = g(x) \) 的奇偶性	复合函数 \( y = f[g(x)] \) 的奇偶性	推导依据（利用定义验证）
偶函数	奇函数	偶函数	\( f[g(-x)] = f[-g(x)] = f[g(x)] \)（外层偶：\( f(-u)=f(u) \)）
偶函数	偶函数	偶函数	\( f[g(-x)] = f[g(x)] \)（内层偶：\( g(-x)=g(x) \)）
偶函数	非奇非偶函数	偶函数	\( f[g(-x)] = f[g(x)] \)（外层偶：无论 \( g(-x) \) 是什么，\( f \) 作用后均相等）
奇函数	奇函数	奇函数	\( f[g(-x)] = f[-g(x)] = -f[g(x)] \)（内层奇：\( g(-x)=-g(x) \)；外层奇：\( f(-u)=-f(u) \)）
奇函数	偶函数	偶函数	\( f[g(-x)] = f[g(x)] \)（内层偶：\( g(-x)=g(x) \)，外层奇作用于相同的 \( u \)，结果相等）
奇函数	非奇非偶函数	非奇非偶函数	\( f[g(-x)] \) 既不等于 \( f[g(x)] \)，也不等于 \( -f[g(x)] \)（内层非奇非偶，\( g(-x) \neq \pm g(x) \)）
非奇非偶函数	任意（奇/偶/非奇非偶）	非奇非偶函数	外层本身不满足奇偶性，无论内层如何，复合后均不满足定义

法则简化记忆

关键1：外层为偶函数→复合函数必为偶函数（无论内层是奇、偶还是非奇非偶，只要定义域对称，复合后都是偶函数）；

关键2：外层为奇函数→复合函数奇偶性与内层一致（内层奇则复合奇，内层偶则复合偶，内层非奇非偶则复合非奇非偶）；

关键3：外层非奇非偶→复合函数必为非奇非偶（外层不具备奇偶性，内层无法“弥补”）。

结合上述法则，通过不同类型的复合函数实例，掌握具体判断流程：先判定义域对称→再拆内外层奇偶性→最后用法则下结论。

场景1：外层为偶函数，内层为奇函数。例：判断 \( y = \cos(x^3) \) 的奇偶性

步骤1：判断定义域对称性

内层 \( g(x) = x^3 \) 定义域为 \( \mathbb{R} \)，外层 \( f(u) = \cos u \) 定义域为 \( \mathbb{R} \)，复合函数定义域为 \( \mathbb{R} \)，关于原点对称。

步骤2：判断内外层奇偶性

外层 \( f(u) = \cos u \)：由三角函数性质，\( \cos(-u) = \cos u \)，故为偶函数；

内层 \( g(x) = x^3 \)：由幂函数性质，\( (-x)^3 = -x^3 \)，故为奇函数。

步骤3：用法则判断复合函数奇偶性

外层偶→复合函数必为偶函数（验证：\( \cos[(-x)^3] = \cos(-x^3) = \cos(x^3) \)，满足偶函数定义）。

结论：偶函数。

场景2：外层为奇函数，内层为奇函数。例：判断 \( y = \sin(x^3) \) 的奇偶性

步骤1：定义域：\( \mathbb{R} \)，关于原点对称。

步骤2：内外层奇偶性

外层 \( f(u) = \sin u \)：\( \sin(-u) = -\sin u \)，奇函数；

内层 \( g(x) = x^3 \)：\( (-x)^3 = -x^3 \)，奇函数。

步骤3：法则应用

外层奇+内层奇→复合函数为奇函数（验证：\( \sin[(-x)^3] = \sin(-x^3) = -\sin(x^3) \)，满足奇函数定义）。

结论：奇函数。

场景3：外层为奇函数，内层为偶函数。例：判断 \( y = (-x^2)^3 \)（即 \( y = -x^6 \)）的奇偶性

步骤1：定义域：\( \mathbb{R} \)，关于原点对称。

步骤2：内外层奇偶性

先拆分复合结构：令 \( u = g(x) = -x^2 \)（内层），\( y = f(u) = u^3 \)（外层）。

外层 \( f(u) = u^3 \)：\( (-u)^3 = -u^3 \)，奇函数；

内层 \( g(x) = -x^2 \)：\( -(-x)^2 = -x^2 = g(x) \)，偶函数。

步骤3：法则应用

外层奇+内层偶→复合函数为偶函数（验证：\( (-(-x)^2)^3 = (-x^2)^3 = -x^6 \)，\( y(-x) = y(x) \)，满足偶函数定义）。

结论：偶函数。

场景4：外层为偶函数，内层为非奇非偶函数。例：判断 \( y = (x + 1)^2 + (x - 1)^2 \)（先整理为复合结构：令 \( u = g(x) = x^2 + 1 \)，\( y = f(u) = 2u - 2 \)）的奇偶性

步骤1：定义域：\( \mathbb{R} \)，关于原点对称。

步骤2：内外层奇偶性

外层 \( f(u) = 2u - 2 \)：\( f(-u) = -2u - 2 \)，既不等于 \( f(u) \) 也不等于 \( -f(u) \)？注意：此处需重新拆分正确的复合结构！

正确拆分：原函数 \( y = (x + 1)^2 + (x - 1)^2 = x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1 = 2x^2 + 2 \)，可视为 \( u = g(x) = x^2 \)（内层，偶函数），\( y = f(u) = 2u + 2 \)（外层，\( f(-u) = 2(-u) + 2 = -2u + 2 \neq f(u) \)，非奇非偶？）→ 发现错误：原函数本身是二次函数，直接判断更简单：\( y(-x) = 2(-x)^2 + 2 = 2x^2 + 2 = y(x) \)，为偶函数。

（说明：若外层非奇非偶，但内层是偶，且复合后满足偶函数定义，需以定义为准——法则是“外层偶则复合偶”，但外层非奇非偶时，需结合定义验证，不能直接套用法则！）

正确流程：直接用定义验证：\( y(-x) = 2(-x)^2 + 2 = y(x) \)，故为偶函数。

结论：偶函数。

场景5：定义域不对称→非奇非偶。例：判断 \( y = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2} \) 的奇偶性（先看定义域）

步骤1：求定义域：需满足 \( \begin{cases} x^2 - 1 \geq 0 \\ 1 - x^2 \geq 0 \end{cases} \)，解得 \( x^2 = 1 \)，即定义域为 \( \{ -1, 1 \} \)，关于原点对称。

步骤2：判断奇偶性：\( y(-1) = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} = 0 \)，\( y(1) = 0 \)，故 \( y(-x) = y(x) = -y(x) = 0 \)，既是奇函数也是偶函数（特殊情况：常数函数 \( y=0 \) 且定义域对称时，兼具奇偶性）。

结论：既奇又偶。

常见易错点与避坑指南

易错点1. 忽略定义域对称性，直接判断奇偶性

错误案例：判断 \( y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} \) 的奇偶性，若未先看定义域，会误以为是偶函数。实际定义域为 \( \{1\} \)，不关于原点对称，故为非奇非偶。

避坑：所有奇偶性判断的第一步必须是“验证定义域是否关于原点对称”，不对称则直接下结论。

易错点2. 错误拆分复合函数结构

错误案例：判断 \( y = \sin^2 x \) 时，误拆为“外层 \( \sin u \)（奇），内层 \( u = x^2 \)（偶）”，得出“复合偶”的正确结论，但拆分逻辑有误——正确拆分应为“外层 \( f(u) = u^2 \)（偶），内层 \( u = \sin x \)（奇）”，虽结果一致，但结构拆分错误可能导致其他题目出错。

避坑：复合函数拆分需明确“最外层运算”和“最内层运算”，如 \( y = \sin^2 x = (\sin x)^2 \)，最外层是“平方运算”（\( f(u) = u^2 \)），最内层是“正弦运算”（\( g(x) = \sin x \)）。

易错点3. 混淆“外层为奇函数时的法则”

错误认知：认为“外层奇+内层偶=奇函数”，实际应为“外层奇+内层偶=偶函数”（如 \( y = (\sin x)^3 \) 是奇×奇=奇，\( y = (\cos x)^3 \) 是奇×偶=偶）。

避坑：牢记“外层奇则复合奇偶性与内层一致”，内层是偶，复合就是偶；内层是奇，复合就是奇。

易错点4. 认为“非奇非偶函数复合后一定非奇非偶”，忽略外层为偶函数的情况

错误案例：判断 \( y = \cos(x + 1) \) 的奇偶性，内层 \( g(x) = x + 1 \) 是非奇非偶，但外层 \( f(u) = \cos u \) 是偶函数，复合后 \( y(-x) = \cos(-x + 1) = \cos(1 - x) = \cos(x - 1) \)，确实不等于 \( \cos(x + 1) \)，但需注意：外层为偶函数时，复合函数为偶函数的前提是“\( f[g(-x)] = f[g(x)] \)”，若内层非奇非偶且 \( g(-x) \neq \pm g(x) \)，但 \( f(g(-x)) = f(g(x)) \)，则仍是偶函数（如 \( y = |x + 1| + |-x + 1| = |x + 1| + |x - 1| \)，\( y(-x) = y(x) \)，为偶函数）。

避坑：外层为偶函数时，最终需回归定义验证 \( f[g(-x)] = f[g(x)] \)，而非仅看内层是否为奇/偶。

复合函数奇偶性的判断总结

复合函数奇偶性的判断可归纳为“一查二拆三判”三步法：

1. 一查定义域：判断复合函数定义域是否关于原点对称，不对称则为非奇非偶；

2. 二拆内外层：明确外层 \( f(u) \) 和内层 \( g(x) \)，分别判断两者的奇偶性（奇/偶/非奇非偶）；

3. 三判复合性：根据“外层偶则复合偶，外层奇则复合与内层一致，外层非奇非偶则复合非奇非偶”的法则，结合定义验证，最终下结论。

例题18：判断\( f(x) = \sin(x^2) \)的奇偶性。

解：

1. 求定义域：\( \mathbb{R} \)，关于原点对称；

2. 分解复合函数：\( f(x) = \sin u \)（外层，奇函数），\( u = x^2 \)（内层，偶函数）；

3. 验证\( f(-x) \)：\( f(-x) = \sin[(-x)^2] = \sin(x^2) = f(x) \)；

或根据性质“偶函数+奇函数=偶函数”，直接判定为偶函数；

故\( f(x) = \sin(x^2) \)是偶函数。

例题19：判断\( f(x) = \log_2(1 + 2^x) - \frac{x}{2} \)的奇偶性。

解：

1. 定义域：\( 1 + 2^x > 0 \)恒成立，故定义域为\( \mathbb{R} \)，关于原点对称；

2. 计算\( f(-x) \)：

\( f(-x) = \log_2(1 + 2^{-x}) - \frac{-x}{2} = \log_2\left( \frac{2^x + 1}{2^x} \right) + \frac{x}{2} \)

\(= \log_2(1 + 2^x) - \log_2 2^x + \frac{x}{2} = \log_2(1 + 2^x) - x + \frac{x}{2} = \log_2(1 + 2^x) - \frac{x}{2} = f(x) \)；

故\( f(x) \)是偶函数。

七、复合函数的周期性：“内层周期影响复合函数周期，外层周期需结合内层值域”

复合函数的周期性分析相比单调性、奇偶性更复杂，核心在于“内外层函数周期性的相互影响”——外层函数的周期性可能“继承”给复合函数，内层函数的周期性可能“传递”给复合函数，但最终周期性需满足“最小正周期”的定义（若存在），且需结合定义域和函数性质综合判断。

1. 周期函数的定义

对函数 \( y = F(x) \)，若存在非零常数 \( T \)，使得对定义域内任意 \( x \)，均有 \( F(x + T) = F(x) \)，则称 \( F(x) \) 为周期函数，\( T \) 为其一个周期；若所有周期中存在最小的正数，则称其为最小正周期（并非所有周期函数都有最小正周期，如常数函数）。

2. 复合函数的周期结构

设复合函数为 \( y = F(x) = f[g(x)] \)，其中：

内层函数 \( u = g(x) \)（可能是周期函数，如三角函数、周期分段函数）；

外层函数 \( y = f(u) \)（可能是周期函数，也可能是非周期函数，如一次函数、二次函数）。

复合函数的周期性由内层函数的周期性和外层函数的“周期兼容性” 共同决定——若内层是周期函数，外层对“周期变化的 \( u \)”有“重复响应”，则复合函数可能是周期函数；若内层非周期函数，复合函数通常非周期函数（除非外层是常数函数）。

3. 复合函数周期性的核心法则

根据内外层函数是否为周期函数，可分为四大类场景，每类场景的周期性规律不同，需逐一掌握：

法则1：内层为周期函数，外层为周期函数

此时复合函数一定是周期函数，但其最小正周期需结合内外层函数的最小正周期（若存在）分析，通常是“内层最小正周期的整数倍”，但需满足“外层函数在该周期内的响应完全重复”。

推导逻辑：设内层 \( g(x) \) 的最小正周期为 \( T_1 \)（即 \( g(x + T_1) = g(x) \)），外层 \( f(u) \) 的最小正周期为 \( T_2 \)（即 \( f(u + T_2) = f(u) \)）。

对复合函数 \( f[g(x)] \)，取 \( T = T_1 \)，则 \( f[g(x + T_1)] = f[g(x)] \)，因此 \( T_1 \) 是复合函数的一个周期；

若 \( g(x) \) 的周期 \( T_1 \) 能使 \( g(x) \) 的值域在 \( [x, x + T_1] \) 内的变化，恰好让外层 \( f(u) \) 重复一次，则 \( T_1 \) 可能是复合函数的最小正周期。

复合函数 \( y = \sin(\cos x) \)：

内层 \( g(x) = \cos x \)，最小正周期 \( T_1 = 2\pi \)（\( \cos(x + 2\pi) = \cos x \)）；

外层 \( f(u) = \sin u \)，最小正周期 \( T_2 = 2\pi \)；

复合函数：\( \sin(\cos(x + 2\pi)) = \sin(\cos x) \)，故 \( 2\pi \) 是周期；且不存在更小的正数 \( T < 2\pi \) 使 \( \sin(\cos(x + T)) = \sin(\cos x) \) 对任意 \( x \) 成立，因此最小正周期为 \( 2\pi \)。

法则2：内层为周期函数，外层为非周期函数

此时复合函数可能是周期函数，关键看“外层函数是否对内层的周期变化有“重复输出”——若外层函数是“单调函数”或“无周期性的非线性函数”，但内层的周期变化能让外层的输入（即 \( u = g(x) \)）完全重复，则复合函数仍为周期函数。

推导逻辑：设内层 \( g(x) \) 的最小正周期为 \( T_1 \)，则 \( g(x + T_1) = g(x) \)，无论外层 \( f(u) \) 是否为周期函数，均有 \( f[g(x + T_1)] = f[g(x)] \)，因此 \( T_1 \) 是复合函数的一个周期。

示例1（复合为周期函数）：复合函数 \( y = (\sin x)^2 \)：

内层 \( g(x) = \sin x \)，最小正周期 \( T_1 = 2\pi \)；

外层 \( f(u) = u^2 \)（非周期函数，二次函数）；

复合函数：\( (\sin(x + \pi))^2 = (-\sin x)^2 = (\sin x)^2 \)，因此 \( \pi \) 是周期（比内层周期小，因外层对 \( u \) 和 \( -u \) 的输出相同），最小正周期为 \( \pi \)。

示例2（复合为周期函数）：复合函数 \( y = |\cos x| \)：

内层 \( g(x) = \cos x \)，最小正周期 \( 2\pi \)；

外层 \( f(u) = |u| \)（非周期函数，绝对值函数）；

法则3：内层为非周期函数，外层为周期函数

此时复合函数通常是非周期函数，除非内层函数满足“\( g(x + T) - g(x) = kT_2 \)”（\( T_2 \) 是外层函数的周期，\( k \) 为整数），即内层函数的变化量是外层周期的整数倍，才能让外层函数重复输出。

反例（非周期函数）：复合函数 \( y = \sin(x^2) \)：

内层 \( g(x) = x^2 \)（非周期函数，二次函数，无周期）；

外层 \( f(u) = \sin u \)（周期函数，\( T_2 = 2\pi \)）；

假设存在周期 \( T > 0 \)，则 \( \sin((x + T)^2) = \sin(x^2) \) 对任意 \( x \) 成立，即 \( (x + T)^2 - x^2 = 2Tx + T^2 = 2k\pi \)（\( k \) 为整数）。但左边是关于 \( x \) 的一次函数，右边是常数，无法对任意 \( x \) 成立，因此 \( y = \sin(x^2) \) 是非周期函数。

特例（周期函数）：复合函数 \( y = \sin(x + 2\pi) \)：

内层 \( g(x) = x + 2\pi \)（非周期函数，一次函数，无周期）；

外层 \( f(u) = \sin u \)（周期函数，\( T_2 = 2\pi \)）；

复合函数化简为 \( \sin x \)，最小正周期 \( 2\pi \)（因内层 \( g(x) = x + 2\pi \) 的变化量为 \( (x + T) + 2\pi - (x + 2\pi) = T \)，取 \( T = 2\pi \)，则 \( g(x + 2\pi) - g(x) = 2\pi = T_2 \)，外层重复输出）。

法则4：内层为非周期函数，外层为非周期函数

此时复合函数一定是非周期函数（除非外层是常数函数，常数函数是特殊的周期函数，周期为任意非零常数）。

复合函数 \( y = (x^2 + 1)^2 \)：

内层 \( g(x) = x^2 + 1 \)（非周期函数）；

外层 \( f(u) = u^2 \)（非周期函数）；

函数为四次函数，无周期性，是非周期函数。

针对考试中高频出现的“内层为三角函数（周期函数）”的复合函数，进一步分析其周期性（尤其是最小正周期的求解）：

场景1：内层为正弦/余弦函数，外层为幂函数（如平方、绝对值）

例1：求 \( y = \sin^2 x \) 的最小正周期

步骤1：化简复合函数（利用三角恒等变换）：\( \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \)；

步骤2：分析化简后函数的周期：\( \cos 2x \) 的最小正周期为 \( \pi \)，因此 \( \frac{1 - \cos 2x}{2} \) 的最小正周期为 \( \pi \)；

结论：最小正周期为 \( \pi \)（注意：内层 \( \sin x \) 的周期为 \( 2\pi \)，但外层平方后周期减半）。

例2：求 \( y = |\sin x| \) 的最小正周期

步骤1：观察函数图像：\( \sin x \) 在 \( [0, \pi] \) 内非负，在 \( [\pi, 2\pi] \) 内非正，取绝对值后，\( [0, \pi] \) 与 \( [\pi, 2\pi] \) 的图像重合；

结论：最小正周期为 \( \pi \)（外层绝对值使内层周期减半）。

场景2：内层为三角函数，外层为三角函数。

例：求 \( y = \sin(\sin x) \) 的最小正周期

步骤1：分析内层周期：内层 \( g(x) = \sin x \)，最小正周期 \( T_1 = 2\pi \)；

步骤2：验证复合函数周期：\( \sin(\sin(x + 2\pi)) = \sin(\sin x) \)，故 \( 2\pi \) 是周期；

步骤3：判断是否存在更小周期：假设存在 \( T \in (0, 2\pi) \) 使 \( \sin(\sin(x + T)) = \sin(\sin x) \) 对任意 \( x \) 成立。取 \( x = 0 \)，则 \( \sin(\sin T) = \sin(\sin 0) = 0 \)，即 \( \sin T = k\pi \)（\( k \) 为整数）。因 \( T \in (0, 2\pi) \)，故 \( \sin T = 0 \Rightarrow T = \pi \)。但验证 \( T = \pi \)：\( \sin(\sin(x + \pi)) = \sin(-\sin x) = -\sin(\sin x) \neq \sin(\sin x) \)（除非 \( \sin(\sin x) = 0 \)，并非对任意 \( x \) 成立），因此不存在更小周期；

结论：最小正周期为 \( 2\pi \)。

场景3：内层为周期分段函数，外层为一次函数。

例：设内层 \( g(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x < 1 \\ g(x - 1), & x \geq 1 \end{cases} \)（周期为1的分段函数，即“锯齿波”函数），外层 \( f(u) = 2u + 1 \)，求 \( y = f[g(x)] \) 的周期。

步骤1：内层周期：\( g(x + 1) = g(x) \)，周期 \( T_1 = 1 \)；

步骤2：复合函数周期：\( f[g(x + 1)] = 2g(x + 1) + 1 = 2g(x) + 1 = f[g(x)] \)；

结论：周期为1（外层一次函数不改变内层的周期性）。

常见易错点与避坑指南

易错点1. 误认为“复合函数的周期等于内层函数的周期”

错误案例：认为 \( y = \sin^2 x \) 的周期等于 \( \sin x \) 的周期 \( 2\pi \)，实际因外层平方对 \( \sin x \) 和 \( -\sin x \) 输出相同，周期减半为 \( \pi \)。

避坑：若外层函数满足 \( f(u) = f(-u) \)（如平方、绝对值），则复合函数的周期可能是内层周期的 \( \frac{1}{2} \)，需通过化简或图像验证。

易错点2. 忽略“最小正周期”的定义，误将“周期”当作“最小正周期”

错误案例：认为 \( y = \sin(\sin x) \) 的周期为 \( 2k\pi \)（\( k \) 为正整数），但最小正周期是 \( 2\pi \)，需证明不存在更小的正数周期。

避坑：求最小正周期时，需先找到一个周期，再验证是否存在更小的正数周期满足周期函数定义。

易错点3. 内层非周期函数+外层周期函数，误判为周期函数

错误案例：认为 \( y = \sin(x^2) \) 是周期函数，因外层 \( \sin u \) 是周期函数，但内层 \( x^2 \) 是非周期函数，无法找到固定周期 \( T \) 使 \( \sin((x + T)^2) = \sin(x^2) \) 对任意 \( x \) 成立。

避坑：内层非周期函数时，需严格验证“是否存在固定 \( T > 0 \) 使 \( g(x + T) \) 让外层函数重复输出”，不可仅凭外层周期性判断。

易错点4. 常数函数的周期性混淆

错误认知：认为常数函数 \( y = C \)（\( C \) 为常数）是非周期函数，实际常数函数是周期函数，且没有最小正周期（任意非零常数都是其周期）。

避坑：常数函数是特殊的周期函数，复合后若为常数函数（如 \( y = \sin(0) = 0 \)），则具有周期性但无最小正周期。

复合函数周期性的判断总结

复合函数周期性的判断可归纳为“先看内层是否周期→再看外层响应→最后验证最小正周期”三步法：

1. 第一步：判断内层函数 \( g(x) \) 是否为周期函数

若内层非周期函数：除特殊情况（如内层为一次函数且变化量为外层周期的整数倍），复合函数通常非周期函数；

若内层是周期函数（设周期为 \( T_1 \)）：进入第二步。

2. 第二步：分析外层函数 \( f(u) \) 对 \( g(x) \) 周期变化的响应

无论外层是否为周期函数，\( T_1 \) 都是复合函数的一个周期；

若外层满足 \( f(u) = f(u + kT_2) \)（\( T_2 \) 为外层周期，\( k \) 为整数），则复合函数的周期可能是 \( T_1 \) 的整数倍或分数倍（如 \( \frac{T_1}{2} \)）。

3. 第三步：验证最小正周期（若需要）

找到复合函数的一个周期后，假设存在更小的正数周期 \( T \)，通过定义验证是否对任意 \( x \) 成立 \( f[g(x + T)] = f[g(x)] \)，不成立则原周期为最小正周期。

通过以上步骤，结合三角恒等变换、函数图像等工具，可准确判断复合函数的周期性及最小正周期。

例题20：已知\( f(x) = \cos(2x + \frac{\pi}{3}) \)，判断其周期性，并求最小正周期。

解：

1. 分解复合函数：\( f(x) = \cos u \)（外层，周期函数，最小正周期\( 2\pi \)），\( u = 2x + \frac{\pi}{3} \)（内层，一次函数，非周期函数，但线性变换不改变周期性）；

2. 求周期：对于\( y = \cos(\omega x + \varphi) \)（\( \omega \neq 0 \)），最小正周期\( T = \frac{2\pi}{|\omega|} \)；

3. 本题中\( \omega = 2 \)，故\( T = \frac{2\pi}{2} = \pi \)；

验证：\( f(x + \pi) = \cos[2(x + \pi) + \frac{\pi}{3}] = \cos(2x + 2\pi + \frac{\pi}{3}) = \cos(2x + \frac{\pi}{3}) = f(x) \)，且无更小的正周期；

故\( f(x) \)是周期函数，最小正周期为\( \pi \)。

八、复合函数的轴对称性（关于直线 \( x = h \) 对称）

任意 \( x \)都有 \( f[g(2h - x)] = f[g(x)] \)，则复合函数 \( y = f[g(x)] \) 的图像关于直线 \( x = h \) 对称。

几何意义：对于图像上任意一点 \( (x, y) \)，其关于直线 \( x = h \) 的对称点 \( (2h - x, y) \) 也在图像上，即两点纵坐标相等。

推导关键：需通过外层函数 \( f(u) \) 与内层函数 \( g(x) \) 的关系，证明 \( f[g(2h - x)] \) 与 \( f[g(x)] \) 相等。

根据外层函数 \( f(u) \) 是否具有轴对称性，复合函数的轴对称性可分为“外层任意，内层决定”和“外层对称，内层配合”两类。

场景1：任意 \( x \)有 \( g(2h - x) = g(x) \)，则对任意外层函数 \( f(u) \)，复合函数 \( y = f[g(x)] \) 必关于直线 \( x = h \) 对称。

推导过程

因 \( g(x) \) 关于 \( x = h \) 对称，故 \( g(2h - x) = g(x) \)；

将 \( g(2h - x) \) 代入外层函数 \( f(u) \)，得 \( f[g(2h - x)] = f[g(x)] \)（外层函数“输入相同则输出相同”）；

满足复合函数轴对称的定义，因此 \( y = f[g(x)] \) 关于 \( x = h \) 对称。

例题1：已知内层函数 \( g(x) = (x - 2)^2 + 3 \)（抛物线，对称轴为 \( x = 2 \)），外层函数 \( f(u) = u^3 - 2u \)（任意函数），判断 \( f[g(x)] = [(x - 2)^2 + 3]^3 - 2[(x - 2)^2 + 3] \) 的对称性。

解：因 \( g(x) \) 关于 \( x = 2 \) 对称（\( g(4 - x) = (4 - x - 2)^2 + 3 = (2 - x)^2 + 3 = (x - 2)^2 + 3 = g(x) \)），

外层函数任意，故 \( f[g(x)] \) 关于 \( x = 2 \) 对称。

验证：\( f[g(4 - x)] = [(4 - x - 2)^2 + 3]^3 - 2[(4 - x - 2)^2 + 3] = [(x - 2)^2 + 3]^3 - 2[(x - 2)^2 + 3] = f[g(x)] \)，符合定义。

例题2：已知 \( g(x) = |x + 1| \)（绝对值函数，对称轴为 \( x = -1 \)），\( f(u) = \ln u \)（定义域 \( u > 0 \)），求 \( f[g(x)] = \ln|x + 1| \) 的对称轴。

解：\( g(x) = |x + 1| \) 关于 \( x = -1 \) 对称（\( g(-2 - x) = |-2 - x + 1| = |-x - 1| = |x + 1| = g(x) \)）；外层函数 \( f(u) = \ln u \) 任意，且 \( g(x) = |x + 1| > 0 \) 的定义域为 \( x \neq -1 \)（关于 \( x = -1 \) 对称），故 \( f[g(x)] \) 关于 \( x = -1 \) 对称。

例题3：已知 \( g(x) = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) \)（三角函数，对称轴满足 \( 2x - \frac{\pi}{3} = k\pi \)，即 \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \)，\( k \in \mathbb{Z} \)），\( f(u) = 2u + 5 \)（任意函数），求 \( f[g(x)] = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 5 \) 的对称轴。

解：\( g(x) \) 的对称轴为 \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \)，外层函数任意，故 \( f[g(x)] \) 的对称轴与 \( g(x) \) 相同，即 \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）。验证：取 \( k = 0 \)，\( f[g(\frac{\pi}{3} - x)] = 2\cos(2(\frac{\pi}{3} - x) - \frac{\pi}{3}) + 5 = 2\cos(\frac{\pi}{3} - 2x) + 5 = 2\cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 5 = f[g(x)] \)，符合定义。

场景2：若\( f(2k - u) = f(u) \)，且 \( g(2h - x) = 2k - g(x) \)，则复合函数 \( y = f[g(x)] \) 关于直线 \( x = h \) 对称。

推导过程

因 \( g(2h - x) = 2k - g(x) \)，将其代入外层函数 \( f(u) \)，得 \( f[g(2h - x)] = f(2k - g(x)) \)；

又因 \( f(u) \) 关于 \( u = k \) 对称，故 \( f(2k - g(x)) = f(g(x)) \)；

因此 \( f[g(2h - x)] = f(g(x)) \)，满足复合函数轴对称的定义，故 \( y = f[g(x)] \) 关于 \( x = h \) 对称。

\( g(2h - x) = 2k - g(x) \) 的几何意义是“内层函数 \( g(x) \) 的图像关于点 \( (h, k) \) 中心对称”，即内层函数的“取值互补”，恰好匹配外层函数的轴对称需求。

例题1：已知外层函数 \( f(u) = |u - 3| \)（关于 \( u = 3 \) 对称，即 \( f(6 - u) = |6 - u - 3| = |3 - u| = |u - 3| = f(u) \)），内层函数 \( g(x) = 2x + 1 \)，求 \( f[g(x)] = |2x + 1 - 3| = |2x - 2| = 2|x - 1| \) 的对称轴。

解：外层对称轴 \( k = 3 \)，需找 \( h \) 使 \( g(2h - x) = 2 \times 3 - g(x) \)（即 \( 2k - g(x) = 6 - g(x) \)）：

左边 \( g(2h - x) = 2(2h - x) + 1 = 4h - 2x + 1 \)，右边 \( 6 - (2x + 1) = 5 - 2x \)；

等式成立需 \( 4h + 1 = 5 \)，解得 \( h = 1 \)。故 \( f[g(x)] \) 关于 \( x = 1 \) 对称（与直接观察 \( 2|x - 1| \) 的对称轴一致）。

例题2：已知 \( f(u) = u^2 - 4u + 5 \)（抛物线，对称轴为 \( u = 2 \)，因 \( f(4 - u) = (4 - u)^2 - 4(4 - u) + 5 = 16 - 8u + u^2 - 16 + 4u + 5 = u^2 - 4u + 5 = f(u) \)），\( g(x) = 3x - 2 \)，求 \( f[g(x)] = (3x - 2)^2 - 4(3x - 2) + 5 \) 的对称轴。

解：外层对称轴 \( k = 2 \)，需找 \( h \) 使 \( g(2h - x) = 2 \times 2 - g(x) = 4 - g(x) \)：

左边 \( g(2h - x) = 3(2h - x) - 2 = 6h - 3x - 2 \)，右边 \( 4 - (3x - 2) = 6 - 3x \)；

等式成立需 \( 6h - 2 = 6 \)，解得 \( h = \frac{4}{3} \)。故 \( f[g(x)] \) 关于 \( x = \frac{4}{3} \) 对称（可展开验证：\( f[g(x)] = 9x^2 - 24x + 17 \)，对称轴为 \( x = \frac{24}{2 \times 9} = \frac{4}{3} \)，一致）。

例题3：已知 \( f(u) = \sin u \)（三角函数，对称轴为 \( u = \frac{\pi}{2} + k\pi \)，\( k \in \mathbb{Z} \)，即 \( f(\pi + 2k\pi - u) = \sin(\pi + 2k\pi - u) = \sin u = f(u) \)），\( g(x) = 2x - \frac{\pi}{6} \)，求 \( f[g(x)] = \sin(2x - \frac{\pi}{6}) \) 的对称轴。

解：外层对称轴 \( k = \frac{\pi}{2} + k\pi \)，需找 \( h \) 使 \( g(2h - x) = 2(\frac{\pi}{2} + k\pi) - g(x) = \pi + 2k\pi - g(x) \)：

左边 \( g(2h - x) = 2(2h - x) - \frac{\pi}{6} = 4h - 2x - \frac{\pi}{6} \)，右边 \( \pi + 2k\pi - (2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi - 2x \)；

等式成立需 \( 4h - \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \)，解得 \( h = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）。故 \( f[g(x)] \) 的对称轴为 \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2} \)（符合正弦函数对称轴规律）。

复合函数轴对称性的总结

1. 判断优先级：先看外层函数是否有对称轴——若外层无特殊对称，则仅需内层有对称轴，复合函数即与内层同对称轴；若外层有对称轴，则需内层满足“\( g(2h - x) = 2k - g(x) \)”，才能确定复合函数的对称轴 \( x = h \)。

2. 验证方法：无论哪种场景，最终都可通过“代入 \( 2h - x \) 验证 \( f[g(2h - x)] = f[g(x)] \)”来确认对称性，避免推导错误。

3. 特殊函数简化：对于复合后的绝对值函数（如 \( |ax + b| \)）、三角函数（如 \( \sin(ax + b) \)），可直接利用其基本性质找对称轴，再反向验证是否符合复合函数的对称逻辑，提高解题效率。

九、复合函数中心对称性

设复合函数为 \( y = f[g(x)] \)，其中 \( u = g(x) \) 是内层函数，\( y = f(u) \) 是外层函数。

若存在点 \( (h, k) \)，使得对任意 \( x \)，均有 \( f[g(2h - x)] + f[g(x)] = 2k \)，则 \( (h, k) \) 是复合函数的对称中心。

推导的关键在于：先通过内层函数 \( g(x) \) 的取值关系，得到 \( g(2h - x) \) 与 \( g(x) \) 的关联；再结合外层函数 \( f(u) \) 的中心对称性，将这种关联转化为 \( f[g(2h - x)] \) 与 \( f[g(x)] \) 的和为定值 \( 2k \)。

场景1：若外层函数 \( f(u) \) 满足“中心对称定义”：对任意 \( u \)，都有 \( f(2m - u) + f(u) = 2k \)（即 \( f(u) \) 的对称中心为 \( (m, k) \)），则复合函数 \( f[g(x)] \) 的中心对称性，取决于内层函数 \( g(x) \) 是否能满足 \( g(2h - x) = 2m - g(x) \)（\( h \) 是待求的对称中心横坐标）。

原理推导：

1. 因 \( f(u) \) 关于 \( (m, k) \) 对称，故 \( f(2m - u) = 2k - f(u) \)；

2. 若内层函数满足 \( g(2h - x) = 2m - g(x) \)，则将 \( u = g(x) \) 代入上式，得：

\( f[g(2h - x)] = f(2m - g(x)) = 2k - f(g(x)) \)；

3. 整理得 \( f[g(2h - x)] + f[g(x)] = 2k \)，即复合函数关于 \( (h, k) \) 中心对称。

关键结论：外层函数的对称中心纵坐标 \( k \)，直接成为复合函数的对称中心纵坐标；复合函数的对称中心横坐标 \( h \)，需通过解方程 \( g(2h - x) = 2m - g(x) \) 求得（方程需对任意 \( x \) 成立）。

场景2：若外层函数 \( f(u) \) 无特殊对称性（即对任意 \( u_1 \neq u_2 \)，\( f(u_1) \) 与 \( f(u_2) \) 无固定和关系），则复合函数 \( f[g(x)] \) 要满足中心对称，必须让内层函数 \( g(x) \) 本身关于某点 \( (h, m) \) 中心对称（即 \( g(2h - x) = 2m - g(x) \)），且此时复合函数的对称中心为 \( (h, f(m)) \)。

原理推导：

1. 因 \( g(x) \) 关于 \( (h, m) \) 对称，故 \( g(2h - x) = 2m - g(x) \)；

2. 对任意外层函数 \( f(u) \)，代入得 \( f[g(2h - x)] = f(2m - g(x)) \)；

3. 要使 \( f[g(2h - x)] + f[g(x)] = 2k \) 对任意 \( x \) 成立，需 \( 2m - g(x) = g(x) \)（即 \( m \) 是常数，\( g(x) = m \)，此时 \( g(x) \) 是常函数），或 \( f(u) \) 恰好对 \( u = g(x) \) 和 \( u = 2m - g(x) \) 满足和为定值——但因 \( f(u) \) 是任意函数，故仅当 \( g(x) = m \)（常函数）时成立，此时复合函数为常函数 \( y = f(m) \)，任意点都是对称中心（通常取 \( (h, f(m)) \) 为代表）。

关键结论：任意外层函数下，仅当内层函数是常函数（特殊的中心对称函数）时，复合函数才是中心对称的，对称中心纵坐标为常函数对应的函数值。

例题1：一次函数作为内层函数：已知 \( f(u) \) 关于点 \( (3, 2) \) 中心对称（即 \( f(6 - u) + f(u) = 4 \)），内层函数 \( g(x) = 2x - 1 \)，求复合函数 \( y = f[g(x)] \) 的对称中心。

解答：

1. 明确外层函数参数：由 \( f(u) \) 关于 \( (3, 2) \) 对称，得 \( m = 3 \)（外层对称中心横坐标），\( k = 2 \)（外层对称中心纵坐标），故复合函数的对称中心纵坐标为 \( 2 \)；

2. 列内层函数方程：根据情况1的核心方程 \( g(2h - x) = 2m - g(x) \)，代入 \( g(x) = 2x - 1 \) 和 \( 2m = 6 \)，得：

\( 2(2h - x) - 1 = 6 - (2x - 1) \)；

3. 化简解方程：

左边展开：\( 4h - 2x - 1 \)；

右边展开：\( 6 - 2x + 1 = 7 - 2x \)；

等式两边消去 \( -2x \)，得 \( 4h - 1 = 7 \)，解得 \( h = 2 \)；

4. 确定对称中心：横坐标 \( h = 2 \)，纵坐标 \( k = 2 \)，故复合函数的对称中心为 \( (2, 2) \)。

验证：

对任意 \( x \)，\( f[g(4 - x)] + f[g(x)] = f[2(4 - x) - 1] + f[2x - 1] = f[7 - 2x] + f[2x - 1] \)；

因 \( f(u) \) 关于 \( (3, 2) \) 对称，且 \( 7 - 2x = 6 - (2x - 1) \)，故 \( f[7 - 2x] = 4 - f[2x - 1] \)，因此和为 \( 4 = 2 \times 2 \)，符合中心对称定义。

例题2：三角函数作为内层函数：已知 \( f(u) = \sin u \)（正弦函数的对称中心为 \( (k\pi, 0) \)，\( k \in \mathbb{Z} \)，即 \( f(2k\pi - u) + f(u) = 0 \)），内层函数 \( g(x) = 3x + \frac{\pi}{4} \)，求 \( y = f[g(x)] = \sin(3x + \frac{\pi}{4}) \) 的对称中心。

解答：

1. 明确外层函数参数：取 \( k = 0 \) 时，\( f(u) \) 对称中心为 \( (0, 0) \)，故 \( m = 0 \)，\( k = 0 \)，复合函数对称中心纵坐标为 \( 0 \)；

2. 列内层函数方程：根据 \( g(2h - x) = 2m - g(x) = 0 - g(x) \)，代入 \( g(x) = 3x + \frac{\pi}{4} \)，得：

\( 3(2h - x) + \frac{\pi}{4} = - (3x + \frac{\pi}{4}) \)；

3. 化简解方程：

左边：\( 6h - 3x + \frac{\pi}{4} \)；

右边：\( -3x - \frac{\pi}{4} \)；

消去 \( -3x \)，得 \( 6h + \frac{\pi}{4} = - \frac{\pi}{4} \)，解得 \( h = - \frac{\pi}{12} \)；

4. 扩展所有对称中心：因 \( f(u) \) 的对称中心为 \( (k\pi, 0) \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），故 \( 2m = 2k\pi \)，重新解方程 \( 3(2h - x) + \frac{\pi}{4} = 2k\pi - (3x + \frac{\pi}{4}) \)，得 \( 6h = 2k\pi - \frac{\pi}{2} \)，即 \( h = \frac{k\pi}{3} - \frac{\pi}{12} \)（\( k \in \mathbb{Z} \)）；

5. 确定对称中心：复合函数的对称中心为 \( \left( \frac{k\pi}{3} - \frac{\pi}{12}, 0 \right) \)（\( k \in \mathbb{Z} \)），取 \( k = 0 \) 时为 \( \left( - \frac{\pi}{12}, 0 \right) \)。