基于函数凹凸性的不等式缩放

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基于函数凹凸性的缩放问题，核心是利用凸函数、凹函数的定义或几何意义，将函数值与线性表达式（如切线、割线）比较，实现“放缩”以简化不等式证明、求最值等问题。核心题型与放缩逻辑：基于凹凸性的缩放，主要用于不等式证明和最值求解，核心逻辑是“根据函数凹凸性，选择合适的切线/割线，将复杂函数转化为线性函数，降低问题难度”。

判断函数凹凸性，主要依赖二阶导数符号（前提是函数二阶可导），其几何意义是“函数图像的弯曲方向”。

1. 凸函数（∩）：对定义域内任意两点 \( x_1, x_2 \)，及任意 \( \lambda \in (0,1) \)，满足：\( f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \)

二阶导数条件：\( f''(x) \leq 0 \)（等号仅在个别点成立时，仍为凸函数）。

几何意义：函数图像在任意切线的下方，或任意两点间的割线在图像下方。

常见例子：\( f(x) = \sin x \)（\( x \in [0,\pi] \)时 \( f''(x)=-\sin x \leq 0 \)）、\( f(x) = \ln x \)（\( x>0 \)）、\( f(x) = -x^2 \)（\( f''(x)=-2 \leq 0 \)）。

2. 凹函数（∪）：对定义域内任意两点 \( x_1, x_2 \)，及任意 \( \lambda \in (0,1) \)，满足：\( f(\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2) \leq \lambda f(x_1) + (1-\lambda)f(x_2) \)

二阶导数条件：\( f''(x) \geq 0 \)（等号仅在个别点成立时，仍为凹函数）。

几何意义：函数图像在任意切线的上方，或任意两点间的割线在图像上方。

常见例子：\( f(x) = x^2 \)（\( f''(x)=2 \geq 0 \)）、\( f(x) = e^x \)（\( f''(x)=e^x \geq 0 \)）、\( f(x) = \ln x \)（\( x>0 \)时 \( f''(x)=-\frac{1}{x^2} \leq 0 \)，是凸函数，注意区分！）。

3. 关键放缩依据（切线放缩）凹凸函数最常用的放缩是“切线放缩”——在某点 \( x = x_0 \) 处作切线，用切线方程近似代替函数，实现“放”或“缩”：

若 \( f(x) \) 是凹函数（\( f''(x) \geq 0 \)），则对任意 \( x \)，有 \( f(x) \geq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \)（图像在切线上方，“切线缩”）。

若 \( f(x) \) 是凸函数（\( f''(x) \leq 0 \)），则对任意 \( x \)，有 \( f(x) \leq f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \)（图像在切线下方，“切线放”）。

等号成立条件：\( x = x_0 \)（仅在切点处相等）。

总结：

1. 凹凸性判断：优先用二阶导数，\( f''(x) \geq 0 \) 是凹函数，\( f''(x) \leq 0 \) 是凸函数。

2. 放缩关键：凹函数用“切线缩”（函数值 ≥ 切线值），凸函数用“切线放”（函数值 ≤ 切线值）；多变量问题优先用琴生不等式。

3. 常见函数放缩结论：

\( e^x \geq x + 1 \geq \ln x + 2 \)（\( x > 0 \)）

\( \ln x \leq x - 1 \leq x^2 - 1 \)（\( x \geq 1 \)）

\( \sin x \leq x \leq \tan x \)（\( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \)）

例题1：利用 \( e^x \) 的凹性证明 \( e^x \geq x + 1 \)

分析：\( f(x) = e^x \) 是凹函数（\( f''(x)=e^x > 0 \)），选择切点 \( x_0 = 0 \)（因右边线性式常数项为1，对应 \( f(0)=1 \)）。

证明：

1. 求 \( f(x) = e^x \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的切线方程：\( f(0) = e^0 = 1 \)，\( f'(0) = e^0 = 1 \)，切线方程为 \( y = 1 + 1 \cdot (x - 0) = x + 1 \)。

2. 因 \( f(x) = e^x \) 是凹函数，故 \( f(x) \geq \) 切线方程，即 \( e^x \geq x + 1 \)（等号当且仅当 \( x = 0 \) 时成立）。

例题2：利用 \( \ln x \) 的凸性证明 \( \ln x \leq x - 1 \)

分析：\( f(x) = \ln x \)（\( x > 0 \)）是凸函数（\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \)），选择切点 \( x_0 = 1 \)（对应 \( f(1)=0 \)，右边线性式为 \( x - 1 \)）。

证明：

1. 求 \( f(x) = \ln x \) 在 \( x_0 = 1 \) 处的切线方程：\( f(1) = \ln 1 = 0 \)，\( f'(1) = \frac{1}{1} = 1 \)，切线方程为 \( y = 0 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1 \)。

2. 因 \( f(x) = \ln x \) 是凸函数，故 \( f(x) \leq \) 切线方程，即 \( \ln x \leq x - 1 \)（等号当且仅当 \( x = 1 \) 时成立）。

例题3：证明对任意 \( x > 0 \)，\( x^2 \geq 2\ln x + 1 \)

分析：令 \( f(x) = x^2 - 2\ln x - 1 \)，需证 \( f(x) \geq 0 \)；或直接对 \( f(x) = x^2 \)（凹函数）和 \( g(x) = 2\ln x + 1 \)（凸函数）分别放缩。

证明：

1. 先看 \( f(x) = x^2 \)：凹函数，取切点 \( x_0 = 1 \)，切线方程为 \( y = 2x - 1 \)，故 \( x^2 \geq 2x - 1 \)（等号当 \( x=1 \) 时成立）。

2. 再看 \( g(x) = 2\ln x + 1 \)：\( g''(x) = -\frac{2}{x^2} < 0 \)（凸函数），取切点 \( x_0 = 1 \)，切线方程为 \( y = 2x - 1 \)，故 \( 2\ln x + 1 \leq 2x - 1 \)（等号当 \( x=1 \) 时成立）。

3. 综上：\( x^2 \geq 2x - 1 \geq 2\ln x + 1 \)，即 \( x^2 \geq 2\ln x + 1 \)（等号当且仅当 \( x=1 \) 时成立）。

例题4：已知 \( x > 0 \)，证明 \( x\ln x \geq x - 1 \)

分析：令 \( f(x) = x\ln x \)，先判断凹凸性：\( f'(x) = \ln x + 1 \)，\( f''(x) = \frac{1}{x} > 0 \)（凹函数），取切点 \( x_0 = 1 \)。

证明：

1. 求 \( f(x) = x\ln x \) 在 \( x_0 = 1 \) 处的切线方程：\( f(1) = 1 \cdot \ln 1 = 0 \)，\( f'(1) = \ln 1 + 1 = 1 \)，切线方程为 \( y = 0 + 1 \cdot (x - 1) = x - 1 \)。

2. 因 \( f(x) \) 是凹函数，故 \( f(x) \geq \) 切线方程，即 \( x\ln x \geq x - 1 \)（等号当且仅当 \( x=1 \) 时成立）。

例题5：证明对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，\( \cos x \geq 1 - \frac{1}{2}x^2 \)

分析：\( f(x) = \cos x \) 是凸函数（\( f''(x) = -\cos x \)，但在 \( x=0 \) 附近 \( f''(x) \leq 0 \)），此处用“泰勒展开的切线放缩”（本质是二阶近似，仍符合凹凸性逻辑），取 \( x_0 = 0 \)。

证明：

1. 求 \( f(x) = \cos x \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的二阶切线（泰勒展开到 \( x^2 \) 项）：\( f(0) = 1 \)，\( f'(0) = -\sin 0 = 0 \)，\( f''(0) = -\cos 0 = -1 \)，故近似式为 \( y = 1 + 0 \cdot x + \frac{1}{2}f''(0)x^2 = 1 - \frac{1}{2}x^2 \)。

2. 因 \( f(x) = \cos x \) 在 \( x=0 \) 附近是凸函数，故 \( f(x) \geq 1 - \frac{1}{2}x^2 \)（等号当且仅当 \( x=0 \) 时成立），且可验证对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 均成立。

例题6：已知 \( a, b > 0 \) 且 \( a + b = 1 \)，证明 \( \ln a + \ln b \leq -2\ln 2 \)

分析：先化简左边：\( \ln a + \ln b = \ln(ab) \)，需证 \( ab \leq \frac{1}{4} \)（因 \( \ln x \) 是增函数）；或直接对 \( f(x) = \ln x \)（凸函数）用“琴生不等式”（凸函数的核心推论：\( \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} \leq f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \)）。

证明：

1. 因 \( f(x) = \ln x \) 是凸函数，对 \( a, b > 0 \)，由琴生不等式：\( \frac{\ln a + \ln b}{2} \leq \ln\left( \frac{a + b}{2} \right) \)。

2. 代入 \( a + b = 1 \)，得 \( \frac{\ln a + \ln b}{2} \leq \ln\left( \frac{1}{2} \right) = -\ln 2 \)。

3. 两边乘2：\( \ln a + \ln b \leq -2\ln 2 \)（等号当且仅当 \( a = b = \frac{1}{2} \) 时成立）。

例题7：证明对任意 \( x > 0 \)，\( e^x - \ln x > 2 \)

分析：分别对 \( e^x \)（凹函数）和 \( -\ln x \)（凹函数，因 \( \ln x \) 是凸函数，负号后变凸）进行切线放缩，再叠加。

证明：

1. 对 \( e^x \)：凹函数，取 \( x_0 = 0 \)，切线放缩得 \( e^x \geq x + 1 \)（等号当 \( x=0 \) 时成立）。

2. 对 \( -\ln x \)：\( f(x) = -\ln x \)，\( f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0 \)（凹函数），取 \( x_0 = 1 \)，切线方程为 \( y = - (x - 1) = -x + 1 \)，故 \( -\ln x \geq -x + 1 \)（等号当 \( x=1 \) 时成立）。

3. 叠加两式：\( e^x - \ln x \geq (x + 1) + (-x + 1) = 2 \)，因两个等号无法同时成立（\( x=0 \) 时 \( -\ln x \) 无意义，\( x=1 \) 时 \( e^1 = e > 2 = 1 + 1 \)），故 \( e^x - \ln x > 2 \)。

例题8：已知 \( x > 1 \)，证明 \( \ln x > \frac{2(x - 1)}{x + 1} \)

分析：令 \( f(x) = \ln x - \frac{2(x - 1)}{x + 1} \)，求导判断单调性；或对 \( f(x) = \ln x \)（凸函数）在 \( x > 1 \) 时用“割线放缩”（凸函数的割线在图像下方，故函数值大于割线值）。

证明：

1. 取 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = x \)（\( x > 1 \)），\( f(x) = \ln x \) 是凸函数，故割线斜率 \( k = \frac{\ln x - \ln 1}{x - 1} < f'(1) = 1 \)（凸函数的导函数单调递减，故割线斜率小于左端点导数）？此处更直接的是构造函数：

2. 令 \( f(x) = \ln x - \frac{2(x - 1)}{x + 1} \)，则 \( f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{2[(x + 1) - (x - 1)]}{(x + 1)^2} = \frac{1}{x} - \frac{4}{(x + 1)^2} = \frac{(x + 1)^2 - 4x}{x(x + 1)^2} = \frac{(x - 1)^2}{x(x + 1)^2} > 0 \)（\( x > 1 \) 时）。

3. 故 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 单调递增，又 \( f(1) = 0 \)，故 \( f(x) > f(1) = 0 \)，即 \( \ln x > \frac{2(x - 1)}{x + 1} \)。

例题9：证明对任意 \( x > 0 \)，\( x - \ln x \geq 1 \)

分析：令 \( f(x) = x - \ln x \)，判断凹凸性：\( f'(x) = 1 - \frac{1}{x} \)，\( f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0 \)（凹函数），取切点 \( x_0 = 1 \)。

证明：

1. 求 \( f(x) = x - \ln x \) 在 \( x_0 = 1 \) 处的切线方程：\( f(1) = 1 - 0 = 1 \)，\( f'(1) = 1 - 1 = 0 \)，切线方程为 \( y = 1 + 0 \cdot (x - 1) = 1 \)。

2. 因 \( f(x) \) 是凹函数，故 \( f(x) \geq 1 \)，即 \( x - \ln x \geq 1 \)（等号当且仅当 \( x=1 \) 时成立）。

例题10：已知 \( a, b > 0 \)，证明 \( \frac{a + b}{2} \geq \frac{b - a}{\ln b - \ln a} \)（对数平均不等式，凸函数推论）

分析：令 \( t = \frac{b}{a} > 0 \)（不妨设 \( b > a \)），化简为 \( \ln t \geq \frac{2(t - 1)}{t + 1} \)（同例题8），本质是 \( f(x) = \ln x \)（凸函数）的割线放缩。

证明：

1. 设 \( b > a > 0 \)，令 \( t = \frac{b}{a} > 1 \)，则 \( b = at \)，不等式左边 \( \frac{a + at}{2} = \frac{a(t + 1)}{2} \)，右边 \( \frac{at - a}{\ln(at) - \ln a} = \frac{a(t - 1)}{\ln t} \)。

2. 两边约去 \( a > 0 \)，需证 \( \frac{t + 1}{2} \geq \frac{t - 1}{\ln t} \)，即 \( \ln t \geq \frac{2(t - 1)}{t + 1} \)（同例题8，已证）。

3. 故原不等式成立，等号当且仅当 \( a = b \) 时成立。

例题11：证明对任意 \( x \in [0, \pi] \)，\( \sin x \leq x - \frac{1}{6}x^3 \)

分析：\( f(x) = \sin x \) 在 \( [0, \pi] \) 是凸函数（\( f''(x) = -\sin x \leq 0 \)），用泰勒展开到 \( x^3 \) 项（二阶导数无法直接线性放缩，需更高阶近似，仍符合凸函数“图像在近似曲线下方”的逻辑）。

证明：

1. 求 \( f(x) = \sin x \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的泰勒展开（到 \( x^3 \) 项）：\( f(0) = 0 \)，\( f'(0) = 1 \)，\( f''(0) = 0 \)，\( f'''(0) = -1 \)，故展开式为 \( y = x - \frac{1}{6}x^3 \)。

2. 因 \( f(x) = \sin x \) 在 \( [0, \pi] \) 是凸函数，且高阶导数满足“图像在展开曲线下方”，故 \( \sin x \leq x - \frac{1}{6}x^3 \)（等号当且仅当 \( x=0 \) 时成立）。

例题12：已知 \( x > 0 \)，证明 \( x^3 \geq 3x - 2 \)

分析：令 \( f(x) = x^3 \)，判断凹凸性：\( f'(x) = 3x^2 \)，\( f''(x) = 6x > 0 \)（\( x > 0 \) 时为凹函数），取切点 \( x_0 = 1 \)。

证明：

1. 求 \( f(x) = x^3 \) 在 \( x_0 = 1 \) 处的切线方程：\( f(1) = 1 \)，\( f'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 \)，切线方程为 \( y = 1 + 3(x - 1) = 3x - 2 \)。

2. 因 \( f(x) \) 是凹函数（\( x > 0 \)），故 \( f(x) \geq 3x - 2 \)，即 \( x^3 \geq 3x - 2 \)（等号当且仅当 \( x=1 \) 时成立）。

例题13：证明对任意 \( x > 0 \)，\( \ln(x + 1) \leq x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \)

分析：\( f(x) = \ln(x + 1) \)（\( x > 0 \)）的二阶导数 \( f''(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2} < 0 \)（凸函数），泰勒展开到 \( x^3 \) 项，凸函数图像在展开曲线下方，故函数值小于展开式。

证明：

1. 求 \( f(x) = \ln(x + 1) \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的泰勒展开（到 \( x^3 \) 项）：\( f(0) = 0 \)，\( f'(0) = 1 \)，\( f''(0) = -1 \)，\( f'''(0) = 2 \)，故展开式为 \( y = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \)。

2. 因 \( f(x) \) 是凸函数，故 \( f(x) \leq \) 展开式，即 \( \ln(x + 1) \leq x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 \)（等号当且仅当 \( x=0 \) 时成立）。

例题14：已知 \( a, b, c > 0 \) 且 \( a + b + c = 3 \)，证明 \( \ln a + \ln b + \ln c \leq 0 \)

分析：\( f(x) = \ln x \) 是凸函数，用琴生不等式（凸函数对 \( n \) 个点的推广：\( \frac{f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n)}{n} \leq f\left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right) \)）。

证明：

1. 因 \( f(x) = \ln x \) 是凸函数，对 \( a, b, c > 0 \)，由琴生不等式：\( \frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3} \leq \ln\left( \frac{a + b + c}{3} \right) \)。

2. 代入 \( a + b + c = 3 \)，得 \( \frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3} \leq \ln 1 = 0 \)。

3. 两边乘3：\( \ln a + \ln b + \ln c \leq 0 \)（等号当且仅当 \( a = b = c = 1 \) 时成立）。

例题15：证明对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，\( e^x \geq 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)

分析：\( f(x) = e^x \) 是凹函数（\( f''(x) = e^x > 0 \)），泰勒展开到 \( x^2 \) 项（凹函数图像在展开曲线上方，故函数值大于展开式）。

证明：

1. 求 \( f(x) = e^x \) 在 \( x_0 = 0 \) 处的泰勒展开（到 \( x^2 \) 项）：\( f(0) = 1 \)，\( f'(0) = 1 \)，\( f''(0) = 1 \)，故展开式为 \( y = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)。

2. 因 \( f(x) = e^x \) 是凹函数，故 \( f(x) \geq \) 展开式，即 \( e^x \geq 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)（等号当且仅当 \( x=0 \) 时成立）。

例题16：已知 \( x > 0 \)，证明 \( \frac{1}{x + 1} < \ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) < \frac{1}{x} \)

分析：令 \( t = \frac{1}{x} > 0 \)，不等式变为 \( \frac{t}{t + 1} < \ln(t + 1) < t \)；右边是 \( \ln(t + 1) < t \)（\( f(x) = \ln(x + 1) \) 是凸函数，切线放缩 \( \ln(x + 1) \leq x \)，等号仅当 \( x=0 \)），左边是 \( \ln(t + 1) > \frac{t}{t + 1} \)（构造函数求导）。

证明：

1. 证右边 \( \ln(t + 1) < t \)（\( t > 0 \)）：

令 \( f(t) = t - \ln(t + 1) \)，\( f'(t) = 1 - \frac{1}{t + 1} = \frac{t}{t + 1} > 0 \)，\( f(t) \) 单调递增，\( f(t) > f(0) = 0 \)，故 \( \ln(t + 1) < t \)。

2. 证左边 \( \ln(t + 1) > \frac{t}{t + 1} \)（\( t > 0 \)）：

令 \( g(t) = \ln(t + 1) - \frac{t}{t + 1} \)，\( g'(t) = \frac{1}{t + 1} - \frac{1}{(t + 1)^2} = \frac{t}{(t + 1)^2} > 0 \)，\( g(t) \) 单调递增，\( g(t) > g(0) = 0 \)，故 \( \ln(t + 1) > \frac{t}{t + 1} \)。

3. 综上：\( \frac{t}{t + 1} < \ln(t + 1) < t \)，代回 \( t = \frac{1}{x} \)，得 \( \frac{1}{x + 1} < \ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) < \frac{1}{x} \)。

例题17：证明对任意 \( x \in [0, 1] \)，\( \sqrt{x} \geq x - \frac{1}{4}x^2 \)

分析：令 \( f(x) = \sqrt{x} - x + \frac{1}{4}x^2 \)（\( x \in [0,1] \)），判断凹凸性：\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 + \frac{1}{2}x \)，\( f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} \)，在 \( [0,1] \) 内 \( f''(x) \leq 0 \)（凸函数），取切点 \( x_0 = 1 \) 或 \( x_0 = 0 \) 放缩。

证明：

1. 令 \( f(x) = \sqrt{x} \)，\( f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}} \leq 0 \)（\( x \in (0,1] \)，凸函数），取切点 \( x_0 = 1 \)，切线方程为 \( y = \frac{1}{2}(x - 1) + 1 = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \)。

2. 先证 \( \sqrt{x} \geq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \)（凸函数切线放缩）：两边平方（\( x \in [0,1] \)，右边非负），得 \( x \geq \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \)，即 \( 0 \geq \frac{1}{4}(x - 1)^2 \)，等号当 \( x=1 \) 时成立，故 \( \sqrt{x} \geq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \)。

3. 再证 \( \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \geq x - \frac{1}{4}x^2 \)：整理得 \( \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \geq 0 \)，即 \( x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1 \geq 1 > 0 \)。

4. 综上：\( \sqrt{x} \geq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} > x - \frac{1}{4}x^2 \)，即 \( \sqrt{x} \geq x - \frac{1}{4}x^2 \)。

例题18：已知 \( x > 0 \)，证明 \( x e^x \geq e^x - 1 \)

分析：整理不等式为 \( e^x(x - 1) + 1 \geq 0 \)，令 \( f(x) = e^x(x - 1) + 1 \)，求导判断单调性；或对 \( f(x) = x e^x \)（凹函数，\( f''(x) = e^x(x + 2) > 0 \)）切线放缩。

证明：

1. 令 \( f(x) = x e^x \)，\( f''(x) = e^x(x + 2) > 0 \)（凹函数），取切点 \( x_0 = 0 \)，切线方程为 \( y = 0 \cdot e^0 + e^0(x - 0) = x \)，故 \( x e^x \geq x \)（等号当 \( x=0 \) 时成立）。

2. 再证 \( x \geq e^x - 1 \)：即 \( e^x - x - 1 \leq 0 \)，令 \( g(x) = e^x - x - 1 \)，\( g'(x) = e^x - 1 \)，\( x > 0 \) 时 \( g'(x) > 0 \)，\( g(x) > g(0) = 0 \)？此处更直接的是构造 \( h(x) = x e^x - e^x + 1 = e^x(x - 1) + 1 \)，\( h'(x) = x e^x \)，\( x > 0 \) 时 \( h'(x) > 0 \)，\( h(x) > h(0) = 0 \)，故 \( x e^x \geq e^x - 1 \)。

例题19：证明对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，\( x^2 e^x \geq -x - 1 \)

分析：整理为 \( x^2 e^x + x + 1 \geq 0 \)，分情况讨论：\( x \geq 0 \) 时左边显然非负；\( x < 0 \) 时令 \( t = -x > 0 \)，转化为 \( t^2 e^{-t} - t + 1 \geq 0 \)，对 \( f(t) = t^2 e^{-t} \)（凸函数，\( f''(t) = e^{-t}(t^2 - 4t + 2) \)，在 \( t > 0 \) 部分区间为凸函数）切线放缩。

证明：

1. 当 \( x \geq 0 \) 时：\( x^2 e^x \geq 0 \)，\( -x - 1 \leq -1 \)，故 \( x^2 e^x \geq -x - 1 \) 显然成立。

2. 当 \( x < 0 \) 时：令 \( t = -x > 0 \)，不等式变为 \( t^2 e^{-t} - t + 1 \geq 0 \)。

令 \( f(t) = t^2 e^{-t} \)，求其在 \( t=1 \) 处的切线：\( f(1) = e^{-1} \)，\( f'(1) = e^{-1}(2 - 1) = e^{-1} \)，切线方程为 \( y = e^{-1}(t - 1) + e^{-1} = e^{-1} t \)。

因 \( f(t) = t^2 e^{-t} \) 在 \( t=1 \) 附近是凸函数（\( f''(1) = e^{-1}(1 - 4 + 2) = -e^{-1} < 0 \)），故 \( f(t) \geq e^{-1} t \)。

需证 \( e^{-1} t - t + 1 \geq 0 \)，即 \( t(1 - e^{-1}) \leq 1 \)，因 \( t > 0 \)，但更直接的是求导：令 \( g(t) = t^2 e^{-t} - t + 1 \)，\( g'(t) = e^{-t}(2t - t^2) - 1 \)，\( g''(t) = e^{-t}(t^2 - 4t + 2) \)，可验证 \( g(t) \) 在 \( t > 0 \) 时最小值为 \( g(0) = 1 > 0 \)，故 \( g(t) \geq 0 \)。

3. 综上：对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，\( x^2 e^x \geq -x - 1 \)。

例题20：已知 \( a, b > 0 \)，证明 \( a^a b^b \geq (ab)^{\frac{a + b}{2}} \)

分析：两边取对数，转化为 \( a \ln a + b \ln b \geq \frac{a + b}{2}(\ln a + \ln b) \)，即证 \( (a - b)(\ln a - \ln b) \geq 0 \)；或利用 \( f(x) = x \ln x \)（凹函数，\( f''(x) = \frac{1}{x} > 0 \)）的琴生不等式。

证明：

1. 两边取自然对数（对数函数单调递增，不改变不等号方向）：

左边 \( \ln(a^a b^b) = a \ln a + b \ln b \)，右边 \( \ln\left( (ab)^{\frac{a + b}{2}} \right) = \frac{a + b}{2}(\ln a + \ln b) \)。

2. 需证 \( a \ln a + b \ln b \geq \frac{a + b}{2}(\ln a + \ln b) \)，整理得 \( (a - b)(\ln a - \ln b) \geq 0 \)。

3. 因 \( f(x) = \ln x \) 是单调递增函数，故 \( a - b \) 与 \( \ln a - \ln b \) 同号，乘积非负，即 \( (a - b)(\ln a - \ln b) \geq 0 \)。

4. 故原不等式成立，等号当且仅当 \( a = b \) 时成立。