平面几何总结：证明角相等

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证明角相等的核心思路是利用几何图形的性质（全等、相似、平行线、圆等）或代数方法（三角函数、坐标计算），将待证角转化为相等的角。

一、利用直线与角的基本性质

这类方法依赖角的定义和直线相交、平行的基础性质，是最直接的证明手段。

1. 对顶角相等

原理：两条直线相交时，形成的对顶角大小相等。

适用场景：存在相交直线，待证角为对顶角或可转化为对顶角。

例子：直线AB与CD交于点O，则∠AOC = ∠BOD，∠AOD = ∠BOC。

2. 同角（或等角）的余角相等

原理：若∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠2 = 90°，则∠1 = ∠3；若∠1 = ∠3，∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，则∠2 = ∠4。

适用场景：待证角与同一个角（或等角）互余。

例子：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则∠A + ∠ACD=90°，∠BCD + ∠ACD=90°，故∠A = ∠BCD。

3. 同角（或等角）的补角相等

原理：若∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠2 = 180°，则∠1 = ∠3；若∠1 = ∠3，∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠4 = 180°，则∠2 = ∠4。

适用场景：待证角与同一个角（或等角）互补。

例子：AB∥CD，EF交AB于E，交CD于F，则∠BEF + ∠EFC = 180°，∠AEF + ∠BEF = 180°，故∠AEF = ∠EFC。

4. 角平分线的定义

原理：角平分线将一个角分成两个相等的角。

适用场景：待证角由角平分线分割而成，或存在角平分线相关条件。

例子：AD是∠BAC的平分线，则∠BAD = ∠CAD。

二、利用平行线的性质

当图形中存在平行线时，可通过平行线的同位角、内错角性质证明角相等。

1. 两直线平行，同位角相等

原理：若AB∥CD，截线EF分别交AB、CD于E、F，则同位角∠AEF = ∠CFE，∠BEF = ∠DFE。

适用场景：待证角为平行线的同位角。

2. 两直线平行，内错角相等

原理：若AB∥CD，截线EF分别交AB、CD于E、F，则内错角∠AEF = ∠DFE，∠BEF = ∠CFE。

适用场景：待证角为平行线的内错角。

例子：AB∥CD，AC为截线，则∠BAC = ∠DCA。

3. 平行公理的推论

原理：若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线平行，进而可推导角相等；若一条直线垂直于两条平行线中的一条，也垂直于另一条，可推导直角相等。

适用场景：存在多条平行线，待证角可通过平行传递转化。

三、利用三角形的性质

三角形的全等、相似、等腰/等边三角形性质是证明角相等的核心方法。

1. 全等三角形的对应角相等

原理：若△ABC≌△DEF（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），则对应角∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

适用场景：待证角分别在两个全等三角形中，且为对应角。

例子：AB=DE，BC=EF，AC=DF（SSS），则△ABC≌△DEF，故∠B=∠E。

2. 等腰三角形的“等边对等角”

原理：在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C（等腰三角形的底角相等）。

适用场景：待证角为等腰三角形的底角，或可通过构造等腰三角形证明角相等。

例子：在△ABC中，AB=AC，AD是中线，则∠BAD=∠CAD（三线合一），同时∠B=∠C。

3. 等边三角形的内角相等

原理：等边三角形的三个内角均为60°，故任意两个内角相等。

适用场景：待证角为等边三角形的内角，或与60°角相关。

4. 相似三角形的对应角相等

原理：若△ABC∽△DEF（AA、SAS、SSS），则对应角∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

适用场景：待证角分别在两个相似三角形中，且为对应角。

例子：∠A=∠D，∠B=∠E（AA），则△ABC∽△DEF，故∠C=∠F。

5. 三角形的外角定理推论

原理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，若两个三角形的外角所对的内角分别相等，则外角也相等。

适用场景：待证角为三角形的外角，且可通过内角相等推导。

四、利用四边形的性质

特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的内角、对角、邻角性质可证明角相等。

1. 平行四边形的对角相等

原理：平行四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D。

适用场景：待证角为平行四边形的对角。

2. 矩形/正方形的四个角均为直角

原理：矩形、正方形的每个内角都是90°，故任意两个内角相等。

适用场景：待证角为矩形或正方形的内角。

3. 菱形/正方形的对角线平分内角

原理：菱形的对角线平分一组对角，如菱形ABCD中，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。

适用场景：待证角由菱形/正方形的对角线分割而成。

4. 等腰梯形的底角相等

原理：等腰梯形ABCD中（AB∥CD，AD=BC），∠A=∠B，∠C=∠D。

适用场景：待证角为等腰梯形的底角。

五、利用圆的性质

圆的圆心角、圆周角、弦切角等性质是证明角相等的重要手段，适用于圆相关的几何问题。

1. 同弧或等弧所对的圆心角相等

原理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角大小相等。

适用场景：待证角为同圆/等圆中同弧/等弧所对的圆心角。

2. 同弧或等弧所对的圆周角相等

原理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，且都等于该弧所对圆心角的一半。

适用场景：待证角为同圆/等圆中同弧/等弧所对的圆周角。

例子：圆O中，弧AB所对的圆周角∠ACB和∠ADB，则∠ACB=∠ADB。

3. 弦切角等于所夹弧所对的圆周角

原理：圆的切线与过切点的弦所成的弦切角，等于所夹弧所对的圆周角。

适用场景：待证角为弦切角和对应的圆周角。

例子：PT是圆O的切线，T为切点，TB是弦，则∠PTB=∠TAB（∠TAB为弧TB所对的圆周角）。

4. 圆内接四边形的性质推论

原理：圆内接四边形的外角等于内对角，若两个圆内接四边形的内对角分别相等，则外角也相等。

适用场景：待证角为圆内接四边形的外角和内对角。

六、利用三角函数与坐标法（代数方法）

通过计算角的三角函数值或坐标中的角度关系，证明角相等，适用于解析几何场景。

1. 三角函数值相等

原理：若两个角的正弦、余弦、正切值分别相等，且两角在同一象限（或终边相同），则两角相等。

适用场景：可通过边长计算三角函数值的几何问题，如直角三角形。

例子：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{EF}{DE} = \sin D\)，且∠A、∠D均为锐角，则∠A=∠D。

2. 坐标法计算角度

原理：在平面直角坐标系中，通过计算向量的夹角、直线的斜率（倾斜角），确定角的大小，进而证明相等。

步骤：

1. 建立坐标系，写出各点坐标；

2. 计算向量的坐标，利用向量的点积公式求夹角：\(\cos\theta = \frac{\vec{a}·\vec{b}}{|\vec{a}|·|\vec{b}|}\)；

3. 比较两个角的余弦值（或正弦值），结合角的范围证明相等。

例子：点A(1,0)、B(0,1)、C(-1,0)，求∠OAB和∠OBC的关系。计算得\(\vec{AO}=(-1,0)\)，\(\vec{AB}=(-1,1)\)，\(\cos∠OAB = \frac{\vec{AO}·\vec{AB}}{|\vec{AO}|·|\vec{AB}|} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)；同理\(\cos∠OBC = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，且两角均为锐角，故∠OAB=∠OBC。