平面几何总结：求单线段的最值问题

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在平面几何中，求单线段的最值问题的核心思路是将线段长度转化为可分析的几何量（如距离、边长、函数值等），再利用几何性质或代数方法求最值。

一、利用几何基本公理/定理

这类方法依赖平面几何中最基础的距离、边长性质，直接通过公理判断最值。

1. 两点之间，线段最短

原理：连接两点的所有线中，线段长度是最小值，折线、曲线的长度均大于线段。

适用场景：求动点到两个定点的路径最短问题，常通过轴对称转化为两点间线段。

例子：在直线l上找一点P，使PA + PB最小（A、B在l同侧），作A关于l的对称点A'，则A'B与l的交点即为P，PA + PB的最小值为A'B。

2. 垂线段最短

原理：直线外一点到直线的所有连线中，垂线段的长度是最小值。

适用场景：求定点到定直线上动点的线段最值，或定点到定曲线（如圆）上动点的垂线段相关最值。

例子：点A(2,3)到直线y = 2x + 1的最短距离，即为过A作直线垂线的垂线段长度，用点到直线距离公式计算得\(\frac{|4 - 3 + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)。

3. 三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）

原理：对于△ABC，有\(|AB - AC| \leq BC \leq AB + AC\)，当三点共线时取等号。

适用场景：求动点与两个定点构成的线段的最值（如BC的最值，A、B为定点，C为动点）。

例子：已知A(1,0)、B(3,0)，动点C在圆\(x^2 + y^2 = 4\)上，求AC的最值：圆心O(0,0)，OA=1，圆半径r=2，则AC的最大值为OA + r = 3，最小值为r - OA = 1。

二、利用圆的性质：当动点轨迹为圆时，利用圆的半径、圆心距等性质求线段最值。

1. 圆上一点到定点的线段最值

原理：设圆的圆心为O，半径为r，定点为P，则圆上动点Q到P的线段PQ的最值为：

最大值：\(OP + r\)（P在圆外），\(r - OP\)（P在圆内）；

最小值：\(|OP - r|\)（P在圆外），\(r - OP\)（P在圆内）；

（若P在圆上，PQ最值为0和2r）。

例子：圆\((x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4\)，定点P(3,5)，圆心O(1,2)，OP=\(\sqrt{13}\)，则PQ最大值为\(\sqrt{13} + 2\)，最小值为\(\sqrt{13} - 2\)。

2. 圆上一点到定直线的线段最值

原理：先求圆心到定直线的距离d，圆上动点到直线的线段（垂线段）最值为：最大值：\(d + r\)，最小值：\(|d - r|\)。

例子：圆\(x^2 + y^2 = 9\)到直线3x + 4y - 25 = 0的最短距离，圆心O到直线距离d=5，半径r=3，最短距离为5 - 3 = 2。

3. 两圆上动点间的线段最值

原理：设两圆的圆心分别为O₁、O₂，半径为r₁、r₂，则两圆上动点P、Q的线段PQ的：

最大值：\(O₁O₂ + r₁ + r₂\)（外离/外切/相交）；

最小值：\(|O₁O₂ - r₁ - r₂|\)（外离），0（外切/相交/内切），\(r₁ + r₂ - O₁O₂\)（内含）。

三、利用函数与代数方法

将线段长度表示为变量的函数，通过函数单调性、二次函数最值、导数等求最值，适用于坐标系中的解析几何问题。

1. 二次函数最值法

原理：若线段长度的平方（避免根号）可表示为二次函数\(y = ax^2 + bx + c\)（a≠0），则当a>0时，在\(x = -\frac{b}{2a}\)处取最小值；a<0时取最大值。

适用场景：动点在直线、抛物线等二次曲线上，线段长度可转化为单变量二次函数。

例子：动点P(x, x²)在抛物线y = x²上，求P到点A(0,1)的线段PA的最小值。

解：\(PA^2 = x^2 + (x² - 1)^2 = x^4 - x^2 + 1\)，令t = x²（t≥0），则\(y = t² - t + 1\)，当t = \(\frac{1}{2}\)时，y最小值为\(\frac{3}{4}\)，故PA最小值为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。

2. 导数法

原理：若线段长度表示为连续可导的函数\(f(x)\)，通过求导\(f’(x)\)，找极值点，再结合定义域判断最值。

适用场景：线段长度为高次函数、分式函数、三角函数等复杂函数时。

例子：动点P(x, ln x)在曲线y = ln x上，求P到点A(1,0)的线段PA的最小值。

解：\(PA^2 = (x - 1)^2 + (ln x)^2\)，令\(f(x) = (x - 1)^2 + (ln x)^2\)（x>0），\(f’(x) = 2(x - 1) + \frac{2ln x}{x}\)，令\(f’(x)=0\)，解得x=1，此时\(f(x)\)最小值为0，即PA最小值为0。