平面几何总结：证明直线垂直

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证明直线垂直的核心思路是利用几何图形的性质（三角形、圆、特殊四边形等）或代数方法（坐标、向量、斜率），证明两条直线的夹角为90°。

一、利用角的定义与基本性质

直接证明两条直线相交形成的角为90°，是最基础的证明手段。

1. 定义法

原理：若两条直线相交，所成的四个角中有一个角是90°，则这两条直线互相垂直。

适用场景：可直接测量或推导相交角为90°的情况。

例子：直线AB与CD交于点O，∠AOC=90°，则AB⊥CD。

2. 邻补角相等

原理：若两条直线相交，形成的一对邻补角相等，则这两个角均为90°，直线垂直。

原理推导：邻补角之和为180°，若相等则每个角为\(180°÷2=90°\)。

适用场景：相交直线的邻补角可证明相等。

例子：直线AB与CD交于O，∠AOC=∠AOD，且∠AOC+∠AOD=180°，则∠AOC=90°，AB⊥CD。

二、利用三角形的性质

借助三角形的内角关系、全等/相似、特殊三角形（直角三角形、等腰三角形）的性质证明垂直。

1. 直角三角形的判定

原理：若一个三角形的内角和为180°，且有两个内角互余（和为90°），则第三个角为90°，对应两边垂直。

适用场景：待证垂直的直线为三角形的两边，可推导其夹角的两个余角之和为90°。

例子：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，则∠C=90°，AC⊥BC。

2. 勾股定理的逆定理

原理：若三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则该三角形为直角三角形，\(c\)为斜边，\(a\)、\(b\)对应的边互相垂直。

适用场景：可计算三角形三边长度，通过代数关系证明直角。

例子：三角形三边长为3、4、5，因\(3^2+4^2=5^2\)，故边长为3和4的两边垂直。

3. 等腰三角形的“三线合一”

原理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，若某条线段是等腰三角形的中线/角平分线，则其也是底边上的高，即与底边垂直。

适用场景：待证垂直的直线为等腰三角形的中线/角平分线与底边。

例子：在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC。

4. 全等三角形的对应角推导

原理：通过证明两个三角形全等，推导对应角为90°，进而证明直线垂直。

例子：已知AB=AD，CB=CD，AC为公共边，△ABC≌△ADC（SSS），若∠BAC+∠DAC=90°，可推导AC⊥BD。

三、利用四边形的性质

特殊四边形（矩形、正方形、菱形）的边、对角线性质可直接证明直线垂直。

1. 矩形/正方形的邻边垂直

原理：矩形、正方形的四个内角均为90°，故邻边互相垂直。

适用场景：待证垂直的直线为矩形/正方形的邻边。

例子：正方形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD。

2. 菱形/正方形的对角线垂直

原理：菱形的两条对角线互相垂直，正方形作为特殊的菱形，对角线也互相垂直。

适用场景：待证垂直的直线为菱形/正方形的对角线。

例子：菱形ABCD的对角线AC与BD交于O，则AC⊥BD。

3. 等腰梯形的对角线性质（特殊情况）

原理：若等腰梯形的对角线相等且互相垂直，可直接证明；或通过推导对角线夹角为90°证明垂直。

例子：等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，若AC=BD且∠AOB=90°（O为对角线交点），则AC⊥BD。

四、利用圆的性质

圆的直径、圆周角、切线等性质是证明直线垂直的重要手段，适用于圆相关的几何问题。

1. 直径所对的圆周角为直角

原理：在同圆或等圆中，直径所对的圆周角为90°，故圆周角的两边（直径与弦）互相垂直。

适用场景：待证垂直的直线中，一条为圆的直径，另一条为过直径端点的弦。

例子：AB是圆O的直径，C是圆上一点，则∠ACB=90°，AC⊥BC。

2. 切线与过切点的半径垂直

原理：圆的切线与过切点的半径（或直径）垂直。

适用场景：待证垂直的直线为圆的切线和过切点的半径。

例子：PT是圆O的切线，T为切点，则OT⊥PT。

3. 圆内接四边形的性质推论

原理：若圆内接四边形的对角线互相垂直，可通过圆周角相等推导；或若一条对角线平分另一条对角线且夹角为90°，证明垂直。

例子：圆内接四边形ABCD中，若弧AB=弧AD，AC为直径，则AC⊥BD。

五、利用解析几何的代数方法

通过坐标、斜率、向量等代数工具，将几何中的垂直关系转化为代数等式证明，适用于坐标系中的直线问题。

1. 斜率乘积为-1

原理：在平面直角坐标系中，若两条直线的斜率都存在，且斜率之积为-1，则这两条直线互相垂直；若一条直线斜率为0（水平直线），另一条斜率不存在（竖直直线），则它们也垂直。

适用场景：可求出直线的斜率，通过代数计算证明垂直。

例子：直线l₁：y=2x+1（斜率k₁=2），直线l₂：y=-\(\frac{1}{2}\)x+3（斜率k₂=-\(\frac{1}{2}\)），因k₁·k₂=-1，故l₁⊥l₂。

2. 向量点积为0

原理：若两条直线的方向向量（或法向量）的点积为0，则这两条直线互相垂直。设直线l₁的方向向量为\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，直线l₂的方向向量为\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，若\(\vec{a}·\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2=0\)，则l₁⊥l₂。

适用场景：可求出直线的方向向量或法向量，通过向量运算证明垂直。

例子：直线l₁过点A(1,2)、B(3,4)，方向向量\(\vec{AB}=(2,2)\)；直线l₂过点C(2,1)、D(4,-1)，方向向量\(\vec{CD}=(2,-2)\)。因\(\vec{AB}·\vec{CD}=2×2+2×(-2)=0\)，故l₁⊥l₂。

3. 点到直线的距离与垂直关系

原理：若一条直线上的点到另一条直线的距离等于两点间的垂直距离，或通过点到直线的距离公式推导夹角为90°。

例子：点A(2,3)在直线l₁上，且A到直线l₂的距离等于|AB|（B为l₁与l₂的交点），则l₁⊥l₂。

六、利用图形的变换性质

图形的平移、旋转、轴对称变换不改变直线的夹角，可通过变换将待证垂直的直线与已知垂直的直线重合，进而证明。

1. 旋转变换

原理：若一条直线绕定点旋转90°后与另一条直线重合，则这两条直线垂直。

例子：将直线AB绕点O旋转90°得到直线CD，则AB⊥CD。

2. 轴对称变换

原理：若两条直线关于某条直线轴对称，且对称轴平分它们的夹角为90°，则两条直线垂直。

例子：直线AB与CD关于直线l轴对称，且l与AB的夹角为45°，则AB⊥CD。

七、利用平行线的性质推导

通过平行线的传递性，将待证垂直的直线转化为已知的垂直直线。

原理：若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则它也垂直于另一条。

适用场景：存在平行线，且其中一条与某直线垂直。

例子：AB∥CD，EF⊥AB，则EF⊥CD。

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