权方和不等式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

权方和不等式通用标准形式：设 \(x_i>0,y_i>0(i=1,2,3\dots n)\)，实数 \(m\neq-1\)

取等号充要条件：\(\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=\dots=\dfrac{x_n}{y_n}\)。

通俗判定：分子总次数 = 分母次数 +1；\(m\) 大于 0 或小于 - 1，大于等于；\(m\) 在 (-1,0) 之间，小于等于。

权方和不等式二维基础版：\(\frac{x_1^{m+1}}{y_1^m}+\frac{x_2^{m+1}}{y_2^m}\ge\frac{(x_1+x_2)^{m+1}}{(y_1+y_2)^m}\quad(m>0,m<-1)\)

\(-1<m<0\) 符号反转。

特例 1：m=1（平方权方和，高中使用率最高）\(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\dots+\frac{x_n^2}{y_n}\ge \frac{(x_1+x_2+\dots+x_n)^2}{y_1+y_2+\dots+y_n}\)

等号：\(\dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}=\dots=\dfrac{x_n}{y_n}\)。

适用场景：分母相加为定值，求分式最小值。

特例 2：m=2（立方权方和）\(\sum_{i=1}^n\frac{x_i^3}{y_i^2}\ge\frac{(\sum x_i)^3}{(\sum y_i)^2}\)

特例 3：m=-2（倒数型，m<-1，符号不变）\(\sum_{i=1}^n\frac{y_i^2}{x_i}\ge\frac{(\sum y_i)^2}{\sum x_i}\)

特例 4：m=-1/2（-1<m<0，符号反向）\(m=-\dfrac12，m+1=\dfrac12\)

\(\sum \frac{\sqrt{x_i}}{\dfrac{1}{\sqrt{y_i}}}=\sum\sqrt{x_iy_i}\le \frac{\sqrt{\sum x_i}}{\left(\sum y_i\right)^{-1/2}}=\sqrt{(\sum x_i)(\sum y_i)}\)

本质是柯西根式形式。

结论 1：倒数和专用变形（由 m=-1 舍去，改用配平方权方和）

正数\(a,b\)，\(\dfrac1a+\dfrac1b=\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}\ge \dfrac{(1+1)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)

推广：\(\sum \dfrac1a_i\ge \dfrac{n^2}{\sum a_i}\)（经典分式和最小值）

结论 2：带系数分式拆分

若求\(\dfrac{A^2}{kx}+\dfrac{B^2}{ly}\)，提取系数：

\(\dfrac{A^2}{kx}+\dfrac{B^2}{ly}=\dfrac{A^2}{k\cdot x}+\dfrac{B^2}{l\cdot y}\ge \dfrac{(A+B)^2}{kx+ly}\)。

结论 3：分母为一次多项式（多分母相加）

\(\dfrac{x^2}{a+b}+\dfrac{y^2}{c+d}\ge \dfrac{(x+y)^2}{a+b+c+d}\)，把所有分母整体求和。

结论 4：轮换对称三变量推广

\(a,b,c>0\)

\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)；

\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge \dfrac{a+b+c}{2}\)（联赛经典二级结论）。

结论 5：高次通用变形（m=t）

\(\sum \dfrac{x_i^{t+1}}{y_i^t}\ge \dfrac{(\sum x_i)^{t+1}}{(\sum y_i)^t}(t>0)\)；

若变量互换：\(\sum \dfrac{y_i^{t+1}}{x_i^t}\ge \dfrac{(\sum y_i)^{t+1}}{(\sum x_i)^t}\)。

结论 6：常数替换型：已知\(x+y=k\)，求\(\dfrac{m^2}{x}+\dfrac{n^2}{y}\)最小值：\(\ge \dfrac{(m+n)^2}{k}\)。

结论 7：负数处理规则

权方和所有变量必须为正数；出现负号，拆分正负项分别使用，不能直接代入负数。

结论 8：积定转和定配凑：已知\(xy=\)定值，可构造\(\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}\ge (x+y)^2/2\)，结合均值互换。

结论 9：m∈(-1,0) 反向不等式全套

取\(m=-\dfrac13\)，则\(\sum \dfrac{x_i^{\frac23}}{y_i^{-\frac13}}\le \dfrac{(\sum x_i)^{\frac23}}{(\sum y_i)^{-\frac13}}\)，常用于求分式最大值。

结论 10：分式上下同次齐次化

权方和是齐次不等式，分子分母同时缩放相同倍数，不等式不变，因此可用来齐次化简无约束条件的不等式。

结论 11：多组分母拆分

\(\dfrac{a^2}{m}+\dfrac{b^2}{n}+\dfrac{c^2}{p}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{m+n+p}\)，不限项数。

结论 12：带根式配凑

\(\sqrt x=\dfrac{x^\frac32}{x^\frac12}\)，对应\(m=\dfrac12\)，可以用权方和处理根式求和最值。

例题 1：已知\(x>0,y>0，x+y=4\)，求\(\dfrac1x+\dfrac1y\)最小值。

解：\(\dfrac{1^2}{x}+\dfrac{1^2}{y}\ge \dfrac{(1+1)^2}{x+y}=\dfrac44=1\)，最小值 1。取等\(x=y=2\)。

例题 2：\(x>0,y>0，2x+y=3\)，求\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\)最小值。

解：\(\dfrac{(\sqrt2)^2}{x}+\dfrac{1^2}{y}\ge \dfrac{(\sqrt2+1)^2}{x+y}\)不行，统一分母系数：

原式\(=\dfrac{2^2}{2x}+\dfrac{1^2}{y}\ge \dfrac{(2+1)^2}{2x+y}=\dfrac93=3\)。等号\(\dfrac2{2x}=\dfrac1y\Rightarrow x=y=1\)，最小值 3。

例题 3：正数\(a,b\)，求\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\)最小值。

解：\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\ge \dfrac{(a+b)^2}{a+b}=a+b\)，再结合均值\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)；若无约束，\(a=b\)取等。

例题 4：\(x>1\)，求\(\dfrac{x^2}{x-1}\)最小值。

解：变形\(\dfrac{(t+1)^2}{t}(t=x-1>0)=\dfrac{t^2+2t+1}{t}=t+\dfrac1t+2\)；权方和写法：\(\dfrac{(x)^2}{x-1}=\dfrac{x^2}{x-1}+\dfrac{1^2}{1}-1\ge\dfrac{(x+1)^2}{x}-1\)，更简单：拆分\(x=(x-1)+1\)，\(\dfrac{[(x-1)+1]^2}{x-1}\ge4\)，最小值 4，\(x=2\)。

例题 5：已知\(a+b+c=2，a,b,c>0\)，求\(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\)最小值。

解：\(\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{1^2}{b}+\dfrac{1^2}{c}\ge\dfrac{(1+1+1)^2}{a+b+c}=\dfrac92\)，最小值\(\dfrac92\)，\(a=b=c=\dfrac23\)。

例题 6：\(x,y>0，3x+2y=6\)，求\(\dfrac{4}{x}+\dfrac{9}{y}\)最小值。

解：\(\dfrac{2^2}{x}+\dfrac{3^2}{y}=\dfrac{2^2}{x}+\dfrac{3^2}{y}\ge \dfrac{(2+3)^2}{x+y}\)，配分母：\(\dfrac{4}{x}=\dfrac{12}{3x},\dfrac9y=\dfrac{18}{2y}\)

\(\dfrac{2^2}{x}=\dfrac{(2\sqrt3)^2}{3x},\dfrac{3^2}{y}=\dfrac{(3\sqrt2)^2}{2y}\)

\(\ge \dfrac{(2\sqrt3+3\sqrt2)^2}{3x+2y}=\dfrac{12+18+12\sqrt6}{6}=5+2\sqrt6\)。

例题 7：正数\(m,n\)，求\(\dfrac{(m+2)^2}{n}+\dfrac{(n+2)^2}{m}\)最小值。

解：原式\(\ge \dfrac{(m+2+n+2)^2}{m+n}=\dfrac{(m+n+4)^2}{m+n}\)，令\(t=m+n>0\)，\(\dfrac{(t+4)^2}{t}=t+\dfrac{16}{t}+8\ge16\)，\(t=4\)即\(m=n=2\)取等，最小值 16。

例题 8：已知\(x+y=1，x,y>0\)，求证\(\dfrac{x^2}{x+2}+\dfrac{y^2}{y+2}\ge\dfrac15\)。

证明：左边\(\ge\dfrac{(x+y)^2}{x+y+4}=\dfrac{1}{5}\)，得证。等号\(x=y=\dfrac12\)。

例题 9：\(a,b>0，a+b=2\)，求\(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{a^2}\)最小值。

解：m=2，立方权方和\(\dfrac{a^3}{b^2}+\dfrac{b^3}{a^2}\ge\dfrac{(a+b)^3}{(a+b)^2}=a+b=2\)，\(a=b=1\)取等，最小值 2。

例题 10：\(a,b,c>0\)，证明\(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{a+c}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)。

证明：左边\(\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)，经典轮换结论。

例题 11：正数\(x,y，x+2y=5\)，用 m=-2 型求\(\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{x^2}{2y}\)最小值。

解：\(\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{x^2}{2y}\ge\dfrac{(y+x)^2}{x+2y}=\dfrac{(x+y)^2}{5}\)，联立取等\(\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{2y}\Rightarrow x^2=2y^2\)，结合\(x+2y=5\)算出最值。

例题 12：\(t>0\)，求\(\dfrac{t^3}{(1-t)^2}(0<t<1)\)最小值。

解：设\(x=t,y=1-t,x+y=1\)，\(\dfrac{x^3}{y^2}\ge\dfrac{x^3}{y^2}\)，搭配\(\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{x^2}\ge1\)，单独配凑：令\(m=2\)，\(\dfrac{x^3}{y^2}=\dfrac{x^3}{y^2}\)，求导辅助，取等\(x=y=\dfrac12\)时值\(\dfrac12\)。

例题 13：已知\(abc=1，a,b,c>0\)，证明\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge a+b+c\)。

证明：权方和左边\(\ge\dfrac{(a+b+c)^2}{a+b+c}=a+b+c\)。

例题 14：\(2a+3b=6,a,b>0\)，求\(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{4}{3b}\)最小值。

解：\(\dfrac{1^2}{2a}+\dfrac{2^2}{3b}\ge\dfrac{(1+2)^2}{2a+3b}=\dfrac96=\dfrac32\)，取等\(\dfrac1{2a}=\dfrac2{3b}\)。

拔高竞赛向 15~20（m 任意取值、反向不等式、多约束、齐次）

例题 15：\(-1<m=-\dfrac12\)，\(x_1,x_2,y_1,y_2>0，x_1+x_2=4,y_1+y_2=9\)，求证\(\sqrt{x_1y_1}+\sqrt{x_2y_2}\le6\)。

解：\(m=-\dfrac12，m+1=\dfrac12\)，\(\sum \dfrac{x_i^\frac12}{y_i^{-\frac12}}\le\dfrac{(\sum x_i)^\frac12}{(\sum y_i)^{-\frac12}}=\sqrt{4\times9}=6\)，不等式成立。

例题 16：正数\(x,y\)，\(x^3+y^3=1\)，求\(\dfrac{x^4}{y^2}+\dfrac{y^4}{x^2}\)最小值。

解：m=2，\(\dfrac{x^4}{y^2}+\dfrac{y^4}{x^2}\ge\dfrac{(x+y)^4}{(x+y)^2}=(x+y)^2\)；由幂平均\(x+y\le\sqrt[3]{2(x^3+y^3)}=\sqrt[3]2\)，最终最小值在\(x=y=\sqrt[3]{\dfrac12}\)取到。

例题 17：\(a,b,c>0\)，\(a+2b+3c=6\)，求\(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{4b^2}{2}+\dfrac{9c^2}{3}\)最小值。

解：化简\(\dfrac{a^2}{1}+\dfrac{(2b)^2}{2}+\dfrac{(3c)^2}{3}\ge\dfrac{(a+2b+3c)^2}{1+2+3}=\dfrac{36}{6}=6\)。

例题 18：已知\(x>0\)，求\(f(x)=\dfrac{(x+3)^3}{x^2}\)最小值（m=2 立方权方和）。

解：\(f(x)=\dfrac{(x+3)^3}{x^2}\)，\(\dfrac{(x+3)^3}{x^2}+\dfrac{k^3}{t^2}\ge\dfrac{(x+3+k)^3}{x+t}\)；拆分\(x+3=x+1+1+1\)，\(\dfrac{(x+1+1+1)^3}{x^2}\)，权方和取等\(\dfrac{x}{x}=\dfrac11=\dfrac11=\dfrac11\)，\(x=3\)，\(f(3)=\dfrac{6^3}{9}=24\)。