函数的值域：Rf

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函数的值域是函数三要素（定义域、对应法则、值域）的核心组成部分，指当自变量\(x\)在定义域内取遍所有允许值时，因变量\(y\)的所有可能取值构成的集合。求解值域的关键逻辑是：先明确定义域（定义域是值域的前提），再根据函数解析式的结构特征，选择合适的方法将“求\(y\)的范围”转化为“已知范围的数学量（如平方数、三角函数、分式分母等）的推导”，最终确定\(y\)的取值集合。

一、常见基本函数的值域（直接记忆，高效解题）

掌握常见基本函数的值域，是求解复杂函数值域的基础，以下是高中阶段核心基本函数的值域：

1. 常数函数：\(y = c\)（\(c\)为常数），值域为\(\{c\}\)。例如\(y = 5\)，值域是\(\{5\}\)。

2. 一次函数：\(y = kx + b\)（\(k \neq 0\)），定义域为\(\mathbb{R}\)，值域为\(\mathbb{R}\)。例如\(y = 2x + 3\)，\(x\)取任意实数时，\(y\)也取任意实数，值域为\(\mathbb{R}\)。

3. 二次函数：\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a \neq 0\)），定义域为\(\mathbb{R}\)：

当\(a > 0\)时，抛物线开口向上，值域为\(\left[\frac{4ac - b^2}{4a}, +\infty\right)\)；例如\(y = x^2 - 2x + 3\)，顶点纵坐标为\(\frac{4 \times 1 \times 3 - (-2)^2}{4 \times 1} = 2\)，值域为\([2, +\infty)\)。

当\(a < 0\)时，抛物线开口向下，值域为\(\left(-\infty, \frac{4ac - b^2}{4a}\right]\)；例如\(y = -x^2 + 4x - 1\)，顶点纵坐标为\(\frac{4 \times (-1) \times (-1) - 4^2}{4 \times (-1)} = 3\)，值域为\((-\infty, 3]\)。

4. 反比例函数：\(y = \frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)），定义域为\(\{x | x \neq 0\}\)，值域为\(\{y | y \neq 0\}\)。例如\(y = \frac{3}{x}\)，\(x\)≠0时，\(y\)也≠0，值域为\((-\infty, 0) \cup (0, +\infty)\)。

5. 三角函数：\(\sin x\)、\(\cos x\)：定义域为\(\mathbb{R}\)，值域均为\([-1, 1]\)。\(\tan x\)：定义域为\(\{x | x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\}\)，值域为\(\mathbb{R}\)。

6. 指数函数：\(y = a^x\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)），定义域为\(\mathbb{R}\)，值域为\((0, +\infty)\)。例如\(y = 2^x\)，无论\(x\)取何值，\(2^x\)始终大于0，值域为\((0, +\infty)\)。

7. 对数函数：\(y = \log_a x\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)），定义域为\((0, +\infty)\)，值域为\(\mathbb{R}\)。例如\(y = \log_3 x\)，\(x > 0\)时，\(y\)可取任意实数，值域为\(\mathbb{R}\)。

二、求函数值域的核心解法

不同结构的函数需匹配不同解法，以下是高中阶段覆盖所有场景的8种核心解法，附带清晰解题步骤与适用条件：

1. 观察法（直接法）

适用场景：解析式结构简单的函数（如一次函数、常数函数、简单分式函数、含绝对值/平方的函数），可通过基本数学性质（平方非负、绝对值非负、分母不为零）直接推导值域。

解题步骤：

1. 先确定函数的定义域（避免因定义域遗漏导致值域错误）；

2. 分析解析式中“关键项”的取值范围（如\(x^2 \geq 0\)、\(|x| \geq 0\)、\(\frac{1}{x} \neq 0\)）；

3. 通过不等式的基本变形（加、减、乘、除常数），推导\(y\)的最终取值范围。

2. 配方法

适用场景：二次函数（\(y = ax^2 + bx + c\)，\(a \neq 0\)）或可化为“二次函数形式”的复合函数（如\(y = a[f(x)]^2 + b[f(x)] + c\)，其中\(f(x)\)是一次式、分式或根号式）。

解题核心：通过配方将二次函数化为“顶点式”，利用平方项的非负性（或复合函数中\(f(x)\)的取值范围），结合二次项系数的正负（决定开口方向），确定\(y\)的最值，进而得到值域。

解题步骤：

1. 确定函数定义域（若定义域为\(\mathbb{R}\)，直接配方；若为区间，需结合区间分析顶点位置）；

2. 对二次项部分配方：\(ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}\)（顶点式，顶点纵坐标为\(\frac{4ac - b^2}{4a}\)）；

3. 若\(a > 0\)，平方项非负，故\(y \geq \frac{4ac - b^2}{4a}\)；若\(a < 0\)，平方项非负，故\(y \leq \frac{4ac - b^2}{4a}\)；若为复合函数，需先确定\(f(x)\)的范围，再代入顶点式求\(y\)的范围。

3. 反函数法（逆求法）

适用场景：单调且存在反函数的函数（如一次分式函数\(y = \frac{ax + b}{cx + d}\)，\(ad \neq bc\)；或简单的单调复合函数）。

解题核心：函数\(y = f(x)\)的值域与它的反函数\(x = f^{-1}(y)\)的定义域完全相同，因此通过“解关于\(x\)的方程”，利用原函数\(x\)的定义域（即反函数\(x = f^{-1}(y)\)中\(y\)的限制条件），可求出\(y\)的范围。

解题步骤：

1. 由\(y = f(x)\)出发，通过代数变形解出\(x\)关于\(y\)的表达式：\(x = g(y)\)（此式即为反函数的雏形，暂不考虑定义域）；

2. 根据原函数\(x\)的取值范围（如\(x \neq 2\)、\(x \geq 0\)），列出\(g(y)\)的不等式（如\(g(y) \neq 2\)、\(g(y) \geq 0\)）；

3. 解该不等式，得到\(y\)的取值范围，即为原函数的值域。

4. 判别式法

适用场景：可化为“关于\(x\)的一元二次方程”的分式函数（如\(y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f}\)，\(a^2 + d^2 \neq 0\)），且定义域为“使分母不为零的所有实数”（若定义域有额外限制，需结合限制调整）。

解题核心：将函数整理为关于\(x\)的一元二次方程\(Ax^2 + Bx + C = 0\)，由于\(x\)是实数（原函数有定义），方程需满足判别式\(\Delta = B^2 - 4AC \geq 0\)；同时需排除“二次项系数\(A = 0\)”的情况（避免漏解或错解）。

解题步骤：

1. 两边同乘分母（分母不为零，需注意后续验证），将函数整理为一元二次方程标准形式：\((yd - a)x^2 + (ye - b)x + (yf - c) = 0\)（记\(A = yd - a\)，\(B = ye - b\)，\(C = yf - c\)）；

2. 分情况讨论：

若\(A = 0\)（即\(yd = a\)），此时方程变为一次方程\(Bx + C = 0\)，判断是否存在实数\(x\)满足原函数定义域：若存在，则该\(y\)是值域的一个元素；若不存在，排除该\(y\)；

若\(A \neq 0\)，方程为二次方程，需满足\(\Delta = B^2 - 4AC \geq 0\)，解此不等式得\(y\)的范围；

3. 合并所有符合条件的\(y\)，并验证分母不为零的情况（避免增根），最终得到值域。

5. 换元法

适用场景：解析式中含“复杂整体项”的函数（如含根号、三角函数、指数/对数复合项的函数），通过换元将复杂函数转化为简单的一次函数、二次函数或反比例函数，再求值域。

常见换元类型：

根号型：如\(y = x + \sqrt{1 - x}\)，设\(t = \sqrt{1 - x}\)（\(t \geq 0\)），转化为二次函数；

三角函数型：如\(y = \sin^2 x + 2\sin x + 3\)，设\(t = \sin x\)（\(t \in [-1, 1]\)），转化为二次函数；

指数/对数型：如\(y = 2^{2x} - 2^x + 1\)，设\(t = 2^x\)（\(t > 0\)），转化为二次函数。

解题步骤：

1. 设“复杂整体项”为新变量\(t\)，并根据原函数定义域确定\(t\)的取值范围（关键：不能遗漏\(t\)的范围）；

2. 用\(t\)表示原函数中的\(x\)，将原函数转化为关于\(t\)的简单函数\(y = h(t)\)；

3. 求解\(y = h(t)\)在\(t\)的取值范围内的值域，即为原函数的值域。

6. 分离常数法

适用场景：分子分母均为一次式的分式函数（如\(y = \frac{ax + b}{cx + d}\)，\(c \neq 0\)，\(ad \neq bc\)），通过“分离常数”将函数转化为“常数 + 反比例函数”的形式，再利用反比例函数的性质求值域。

解题核心：将分子拆分为“分母的倍数 + 常数”，消去分子中的一次项，转化为\(y = k + \frac{m}{cx + d}\)（\(k\)、\(m\)为常数），再利用\(\frac{m}{cx + d} \neq 0\)求值域。

解题步骤：

1. 分离常数：对\(y = \frac{ax + b}{cx + d}\)，分子变形为\(\frac{a}{c}(cx + d) + \left(b - \frac{ad}{c}\right)\)，因此\(y = \frac{a}{c} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx + d}\)；

2. 分析分式部分\(\frac{b - \frac{ad}{c}}{cx + d}\)的取值范围：由于\(cx + d \neq 0\)，故该分式≠0；

3. 因此\(y \neq \frac{a}{c}\)，结合分式部分的正负（若分子分母有范围限制，需进一步调整），得到原函数的值域。

7. 单调性法

适用场景：已知函数在定义域内单调（或可划分为多个单调区间）的函数（如一次函数、指数函数、对数函数、单调分式函数，或含根号的单调复合函数），通过判断函数的单调性，求出定义域端点处的函数值（或极限值），进而确定值域。

解题步骤：

1. 确定函数的定义域\(D\)；

2. 用定义法或导数法（高中后期学习）判断函数在\(D\)上的单调性（增函数：\(x_1 < x_2\)则\(f(x_1) < f(x_2)\)；减函数：\(x_1 < x_2\)则\(f(x_1) > f(x_2)\)）；

3. 若函数在\(D = [m, n]\)上单调递增，则值域为\([f(m), f(n)]\)；若单调递减，则值域为\([f(n), f(m)]\)；若定义域为无限区间（如\((-\infty, +\infty)\)、\((0, +\infty)\)），则结合极限趋势确定值域。

8. 几何法（数形结合法）

适用场景：可转化为“几何距离”“直线斜率”或“曲线截距”的函数，通过几何图形的直观性求值域（如\(y = \sqrt{x^2 - 2x + 2} + \sqrt{x^2 + 4x + 5}\)，可转化为两点间距离之和）。

常见几何转化类型：

距离型：\(\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}\)表示点\((x, y)\)与点\((a, b)\)的距离；

斜率型：\(\frac{y - b}{x - a}\)表示点\((x, y)\)与点\((a, b)\)连线的斜率；

截距型：\(y = kx + b\)中的\(b\)表示直线在\(y\)轴上的截距。

解题步骤：

1. 将函数解析式转化为几何意义（如距离、斜率、截距）；

2. 画出对应的几何图形（如点、直线、圆、抛物线等）；

3. 根据几何图形的性质（如最短距离、斜率范围、截距范围），确定函数的值域。

例题1（观察法）：求函数\(y = 3x + 2\)（\(x \in [-1, 4]\)）的值域

解：函数为一次函数，\(k = 3 > 0\)，在\([-1, 4]\)上单调递增。

当\(x = -1\)时，\(y = 3 \times (-1) + 2 = -1\)；当\(x = 4\)时，\(y = 3 \times 4 + 2 = 14\)。

故值域为\([-1, 14]\)。

例题2（观察法）：求函数\(y = x^2 + 1\)的值域

解：定义域为\(\mathbb{R}\)，由平方非负性知\(x^2 \geq 0\)，则\(x^2 + 1 \geq 1\)。

故值域为\([1, +\infty)\)。

例题3（配方法）：求函数\(y = x^2 - 4x + 5\)的值域

解：定义域为\(\mathbb{R}\)，配方得：

\(y = x^2 - 4x + 4 + 1 = (x - 2)^2 + 1\)。

因\((x - 2)^2 \geq 0\)，故\(y \geq 1\)。

值域为\([1, +\infty)\)。

例题4（配方法）：求函数\(y = -2x^2 + 6x - 1\)（\(x \in [0, 3]\)）的值域

解：配方得：\(y = -2\left(x^2 - 3x\right) - 1 = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{2} - 1 = -2\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{2}\)。

定义域\([0, 3]\)，顶点\(x = \frac{3}{2}\)在区间内，\(a = -2 < 0\)，顶点处取最大值\(\frac{7}{2}\)。

端点处：\(x = 0\)时，\(y = -1\)；\(x = 3\)时，\(y = -2 \times 9 + 6 \times 3 - 1 = -1\)。

故值域为\(\left[-1, \frac{7}{2}\right]\)。

例题5（反函数法）：求函数\(y = \frac{2x + 1}{x - 3}\)的值域

解：第一步，解关于\(x\)的方程：\(y(x - 3) = 2x + 1\)，整理得\(xy - 3y = 2x + 1\)，即\(x(y - 2) = 3y + 1\)，故\(x = \frac{3y + 1}{y - 2}\)。

第二步，原函数定义域为\(\{x | x \neq 3\}\)，故反函数中\(x = \frac{3y + 1}{y - 2} \neq 3\)（验证：\(\frac{3y + 1}{y - 2} = 3\)时，\(3y + 1 = 3y - 6\)，无解，故只需保证分母\(y - 2 \neq 0\)）。

因此\(y \neq 2\)，值域为\((-\infty, 2) \cup (2, +\infty)\)。

例题6（反函数法）：求函数\(y = 2^x + 1\)的值域

解：解关于\(x\)的方程：\(y - 1 = 2^x\)，故\(x = \log_2(y - 1)\)。

原函数定义域为\(\mathbb{R}\)，反函数中\(x = \log_2(y - 1)\)有意义需满足\(y - 1 > 0\)，即\(y > 1\)。

值域为\((1, +\infty)\)。

例题7（判别式法）：求函数\(y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}\)的值域

解：第一步，整理为二次方程：\(y(x^2 + 1) = x^2 + x + 1\)，即\((y - 1)x^2 - x + (y - 1) = 0\)（\(A = y - 1\)，\(B = -1\)，\(C = y - 1\)）。

第二步，分情况讨论：

若\(A = 0\)（即\(y = 1\)），方程变为\(-x + 0 = 0\)，解得\(x = 0\)（在原函数定义域\(\mathbb{R}\)内），故\(y = 1\)是值域元素；

若\(A \neq 0\)（即\(y \neq 1\)），方程为二次方程，需\(\Delta = (-1)^2 - 4(y - 1)^2 \geq 0\)，即\(1 - 4(y^2 - 2y + 1) \geq 0\)，整理得\(4y^2 - 8y + 3 \leq 0\)，解得\(\frac{1}{2} \leq y \leq \frac{3}{2}\)。

第三步，合并得值域为\(\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]\)。

例题8（判别式法）：求函数\(y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 + 2x + 3}\)的值域

解：整理为二次方程：\(y(x^2 + 2x + 3) = x^2 - 2x + 3\)，即\((y - 1)x^2 + 2(y + 1)x + 3(y - 1) = 0\)。

分情况讨论：

若\(y = 1\)，方程变为\(4x + 0 = 0\)，解得\(x = 0\)（有效），故\(y = 1\)有效；

若\(y \neq 1\)，\(\Delta = [2(y + 1)]^2 - 4(y - 1) \times 3(y - 1) \geq 0\)，即\(4(y^2 + 2y + 1) - 12(y^2 - 2y + 1) \geq 0\)，整理得\(-8y^2 + 32y - 8 \geq 0\)，即\(y^2 - 4y + 1 \leq 0\)，解得\(2 - \sqrt{3} \leq y \leq 2 + \sqrt{3}\)。

值域为\([2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]\)。

例题9（换元法-根号型）：求函数\(y = x + \sqrt{1 - 2x}\)的值域

解：设\(t = \sqrt{1 - 2x}\)（\(t \geq 0\)），则\(x = \frac{1 - t^2}{2}\)。

代入原函数得：\(y = \frac{1 - t^2}{2} + t = -\frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2}\)。

这是关于\(t\)的二次函数，\(a = -\frac{1}{2} < 0\)，顶点横坐标\(t = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \times (-\frac{1}{2})} = 1\)（在\(t \geq 0\)范围内）。

顶点纵坐标\(y = -\frac{1}{2} \times 1^2 + 1 + \frac{1}{2} = 1\)，当\(t \to +\infty\)时，\(y \to -\infty\)。

故值域为\((-\infty, 1]\)。

例题10（换元法-三角函数型）：求函数\(y = \cos^2 x - 3\cos x + 2\)的值域

解：设\(t = \cos x\)（\(t \in [-1, 1]\)），则\(y = t^2 - 3t + 2\)。

二次函数\(a = 1 > 0\)，对称轴\(t = \frac{3}{2}\)（在\(t \in [-1, 1]\)右侧，故函数在\([-1, 1]\)上单调递减）。

当\(t = -1\)时，\(y = 1 + 3 + 2 = 6\)；当\(t = 1\)时，\(y = 1 - 3 + 2 = 0\)。

值域为\([0, 6]\)。

例题11（换元法-指数型）：求函数\(y = 4^x - 2^{x + 1} + 3\)的值域

解：设\(t = 2^x\)（\(t > 0\)），则\(4^x = t^2\)，\(2^{x + 1} = 2t\)，原函数变为\(y = t^2 - 2t + 3\)。

二次函数\(a = 1 > 0\)，对称轴\(t = 1\)（在\(t > 0\)范围内），顶点纵坐标\(y = 1 - 2 + 3 = 2\)。

当\(t \to +\infty\)时，\(y \to +\infty\)，故值域为\([2, +\infty)\)。

例题12（分离常数法）：求函数\(y = \frac{3x - 1}{2x + 1}\)的值域

解：分离常数：\(y = \frac{\frac{3}{2}(2x + 1) - \frac{3}{2} - 1}{2x + 1} = \frac{3}{2} + \frac{-\frac{5}{2}}{2x + 1}\)。

因\(2x + 1 \neq 0\)，故\(\frac{-\frac{5}{2}}{2x + 1} \neq 0\)，因此\(y \neq \frac{3}{2}\)。

值域为\((-\infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)\)。

例题13（分离常数法）：求函数\(y = \frac{2x + 5}{x + 2}\)（\(x \in [-1, 3]\)）的值域

解：分离常数：\(y = \frac{2(x + 2) + 1}{x + 2} = 2 + \frac{1}{x + 2}\)。

定义域\(x \in [-1, 3]\)，则\(x + 2 \in [1, 5]\)，故\(\frac{1}{x + 2} \in \left[\frac{1}{5}, 1\right]\)。

因此\(y = 2 + \frac{1}{x + 2} \in \left[2 + \frac{1}{5}, 2 + 1\right] = \left[\frac{11}{5}, 3\right]\)。

值域为\(\left[\frac{11}{5}, 3\right]\)。

例题14（单调性法）：求函数\(y = \log_2(x^2 - 2x + 3)\)的值域

解：第一步，确定定义域：\(x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 > 0\)恒成立，故定义域为\(\mathbb{R}\)。

第二步，设\(u = x^2 - 2x + 3\)，则\(y = \log_2 u\)。\(u = (x - 1)^2 + 2\)在\((-\infty, 1)\)上单调递减，在\((1, +\infty)\)上单调递增，最小值\(u_{\min} = 2\)，故\(u \in [2, +\infty)\)。

第三步，\(y = \log_2 u\)在\([2, +\infty)\)上单调递增，当\(u = 2\)时，\(y = \log_2 2 = 1\)；当\(u \to +\infty\)时，\(y \to +\infty\)。

值域为\([1, +\infty)\)。

例题15（单调性法）：求函数\(y = x - \sqrt{1 - x}\)的值域

解：定义域：\(1 - x \geq 0\)，即\(x \in (-\infty, 1]\)。

判断单调性：\(y = x\)在\((-\infty, 1]\)上单调递增，\(y = -\sqrt{1 - x}\)在\((-\infty, 1]\)上单调递增（因\(\sqrt{1 - x}\)单调递减，负号后单调递增），故原函数在\((-\infty, 1]\)上单调递增。

当\(x = 1\)时，\(y = 1 - 0 = 1\)；当\(x \to -\infty\)时，\(y \to -\infty\)。

值域为\((-\infty, 1]\)。

例题16（几何法-距离型）：求函数\(y = \sqrt{x^2 - 4x + 5} + \sqrt{x^2 + 2x + 2}\)的值域

解：第一步，转化几何意义：

\(\sqrt{x^2 - 4x + 5} = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 1)^2}\)（点\(P(x, 0)\)到点\(A(2, 1)\)的距离）；

\(\sqrt{x^2 + 2x + 2} = \sqrt{(x + 1)^2 + (0 - 1)^2}\)（点\(P(x, 0)\)到点\(B(-1, 1)\)的距离）。

原函数即\(y = |PA| + |PB|\)，其中\(P(x, 0)\)是\(x\)轴上的动点，\(A(2, 1)\)、\(B(-1, 1)\)是定点。

第二步，求最短距离：根据“两点之间线段最短”，\(|PA| + |PB| \geq |AB|\)。计算\(|AB| = \sqrt{(2 + 1)^2 + (1 - 1)^2} = 3\)。

第三步，当\(P(x, 0)\)在\(AB\)与\(x\)轴的交点时，\(|PA| + |PB| = |AB| = 3\)；当\(P\)远离交点时，\(|PA| + |PB| \to +\infty\)。

值域为\([3, +\infty)\)。

例题17（几何法-斜率型）：求函数\(y = \frac{x + 1}{x - 2}\)的值域

解：第一步，转化几何意义：\(y = \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{x - (-1)}{x - 2}\)，表示点\(P(x, x)\)（在直线\(y = x\)上）与点\(A(2, -1)\)连线的斜率。

第二步，求斜率范围：直线\(y = x\)的斜率为1，过\(A(2, -1)\)作直线与\(y = x\)相交，斜率\(k = \frac{x + 1}{x - 2}\)。

设直线方程为\(y + 1 = k(x - 2)\)，与\(y = x\)联立得\(x + 1 = kx - 2k\)，即\((k - 1)x = 2k + 1\)。

若\(k = 1\)，方程无解（直线与\(y = x\)平行，无交点），故\(k \neq 1\)；

若\(k \neq 1\)，方程有解（存在\(x\)），故斜率可取除1外的所有实数。

值域为\((-\infty, 1) \cup (1, +\infty)\)。

例题18（综合法-换元+二次函数）：求函数\(y = \sin x + \cos x + \sin x \cos x\)的值域

解：设\(t = \sin x + \cos x\)，则\(t = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\)，故\(t \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)。

又\(t^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x\)，故\(\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}\)。

原函数变为\(y = t + \frac{t^2 - 1}{2} = \frac{1}{2}t^2 + t - \frac{1}{2}\)（二次函数，\(a = \frac{1}{2} > 0\)，对称轴\(t = -1\)）。

计算端点与顶点值：

\(t = -1\)时，\(y = \frac{1}{2} - 1 - \frac{1}{2} = -1\)（最小值）；

\(t = \sqrt{2}\)时，\(y = \frac{1}{2} \times 2 + \sqrt{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \sqrt{2}\)；

\(t = -\sqrt{2}\)时，\(y = \frac{1}{2} \times 2 - \sqrt{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - \sqrt{2}\)。

最大值为\(\frac{1}{2} + \sqrt{2}\)，最小值为\(-1\)，值域为\(\left[-1, \frac{1}{2} + \sqrt{2}\right]\)。

例题19（综合法-单调性+分离常数）：求函数\(y = \frac{2x^2 + 4x + 1}{x^2 + 2x + 2}\)的值域

解：第一步，分离常数：\(y = \frac{2(x^2 + 2x + 2) - 3}{x^2 + 2x + 2} = 2 - \frac{3}{(x + 1)^2 + 1}\)。

第二步，分析分母范围：\((x + 1)^2 + 1 \geq 1\)，故\(0 < \frac{1}{(x + 1)^2 + 1} \leq 1\)，进而\(0 < \frac{3}{(x + 1)^2 + 1} \leq 3\)。

第三步，推导\(y\)的范围：\(-3 \leq -\frac{3}{(x + 1)^2 + 1} < 0\)，故\(2 - 3 \leq 2 - \frac{3}{(x + 1)^2 + 1} < 2 + 0\)，即\(-1 \leq y < 2\)。

值域为\([-1, 2)\)。

例题20（综合法-判别式+定义域限制）：求函数\(y = \frac{x^2 - x}{x^2 - x + 1}\)（\(x \in [0, 3]\)）的值域

解：第一步，整理为二次方程：\(y(x^2 - x + 1) = x^2 - x\)，即\((y - 1)x^2 + (1 - y)x + y = 0\)。

第二步，分情况讨论：

若\(y = 1\)，方程变为\(0x^2 + 0x + 1 = 0\)，无解，故\(y \neq 1\)；

若\(y \neq 1\)，方程有解需\(\Delta = (1 - y)^2 - 4(y - 1)y \geq 0\)，即\((1 - y)(1 - y + 4y) \geq 0\)，整理得\((1 - y)(1 + 3y) \geq 0\)，解得\(-\frac{1}{3} \leq y \leq 1\)。

第三步，结合定义域\(x \in [0, 3]\)验证：

设\(u = x^2 - x\)（\(x \in [0, 3]\)），则\(u = (x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\)，\(u \in [-\frac{1}{4}, 6]\)。原函数变为\(y = \frac{u}{u + 1} = 1 - \frac{1}{u + 1}\)。

当\(u \in [-\frac{1}{4}, 0)\)时，\(u + 1 \in [\frac{3}{4}, 1)\)，\(\frac{1}{u + 1} \in (1, \frac{4}{3}]\)，\(y = 1 - \frac{1}{u + 1} \in [-\frac{1}{3}, 0)\)；

当\(u \in [0, 6]\)时，\(u + 1 \in [1, 7]\)，\(\frac{1}{u + 1} \in [\frac{1}{7}, 1]\)，\(y = 1 - \frac{1}{u + 1} \in [0, \frac{6}{7}]\)。

合并得值域为\(\left[-\frac{1}{3}, \frac{6}{7}\right]\)。