函数的单调性：增函数、减函数

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第一部分基本概念（严格单调/广义单调）

设函数 \(y=f(x)\)，定义域为 \(D\)，区间 \(I\subseteq D\)，对任意 \(x_1,x_2\in I\)：

1. 严格增函数（高中主流）

若 \(x_1<x_2 \implies \boldsymbol{f(x_1)<f(x_2)}\)，称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上单调递增，自变量变大函数值同步变大，图像从左向右上升。

2. 严格减函数

若 \(x_1<x_2 \implies \boldsymbol{f(x_1)>f(x_2)}\)，称 \(f(x)\) 在 \(I\) 上单调递减，自变量变大函数值变小，图像从左向右下降。

3. 广义单调（单调不减/单调不增）

单调不减：\(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2)\)，允许一段区间函数值恒定；

单调不增：\(x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2)\)。

> 关键：单调性依附区间，分式、反比例函数间断区间不能合并为一个单调区间。

第二部分四大判定方法

方法1：定义作差法（证明单调性必考）

任取 \(x_1<x_2\)，构造 \(\Delta y=f(x_2)-f(x_1)\)

\(\Delta y>0\Rightarrow\) 增；\(\Delta y<0\Rightarrow\) 减。

衍生变形：作商法，\(f(x)>0\) 时 \(\dfrac{f(x_2)}{f(x_1)}>1\) 递增。

方法2：导数判定法（选修/高考大题）

区间内处处可导：

\(f'(x)>0\Rightarrow f(x)\uparrow\)；\(f'(x)<0\Rightarrow f(x)\downarrow\)；

单点\(f'(x)=0\)不改变单调性，一段区间\(f'(x)\equiv0\)函数恒为常数。

方法3：复合函数：同增异减（核心必考）

\(y=f(u),u=g(x)\)，两层函数在对应区间：

增减性相同→复合递增；增减相反→复合递减。

注：分层先看内层定义域，再分层判单调。

方法4：图像法

图像上升区间为增区间，下降区间为减区间。

第三部分全套二级结论（四则运算+奇偶+对称+周期+反函数，全二级结论）

一、四则运算单调性结论（同区间内 \(f(x),g(x)\) 均单调）

1. 增\(+\)增\(=\)增；减\(+\)减\(=\)减

2. 增\(-\)减\(=\)增；减\(-\)增\(=\)减

3. \(k>0\)，\(kf(x)\) 与 \(f(x)\) 单调性一致；\(k<0\)，\(kf(x)\) 与 \(f(x)\) 单调性相反

4. \(f(x)>0\)：\(f(x)\) 递增\(\Rightarrow \dfrac1{f(x)}\)递减；\(f(x)\)递减\(\Rightarrow\dfrac1{f(x)}\)递增；\(f(x)<0\)结论不变

5. \(f(x)\ge0\)：\(f(x)\uparrow\Rightarrow\sqrt{f(x)}\uparrow\)；\(f(x)\downarrow\Rightarrow\sqrt{f(x)}\downarrow\)

二、奇偶函数单调性结论

1. 奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性完全相同：\(f(x)\)在\((0,a)\uparrow\Rightarrow(-a,0)\uparrow\)

2. 偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反：\(f(x)\)在\((0,a)\uparrow\Rightarrow(-a,0)\downarrow\)

三、平移变换单调性

1. \(y=f(x+a)\) 左右平移，单调区间左右平移，增减性不变

2. \(y=f(x)+a\) 上下平移，单调区间、单调性全部不变

四、对称变换单调性

1. \(y=f(-x)\) 与 \(f(x)\) 关于y轴对称，单调区间关于原点对称，单调性相反

2. \(y=-f(x)\) 与原函数单调性相反

3. \(y=f(2a-x)\)（\(f(x)\)关于\(x=a\)对称）：对称区间单调性反向

五、周期函数单调性

周期函数单调区间每隔一个周期重复出现，单个周期内增减固定，跨周期不能说全定义域单调；

若周期\(T\)，则\(f(x)\)在\((m,n)\)的单调性等同于\((m+kT,n+kT),k\in\mathbb Z\)。

六、反函数单调性

原函数与反函数在各自定义域上单调性完全一致；原函数单调必有反函数。

七、抽象不等式核心结论（高频考点）

\(f(x)\)在区间\(I\)单调递增：\(f(x_1)<f(x_2)\iff x_1<x_2(x_1,x_2\in I)\)

\(f(x)\)在区间\(I\)单调递减：\(f(x_1)<f(x_2)\iff x_1>x_2(x_1,x_2\in I)\)

> 解抽象函数不等式三步走：①确定定义域 ②判单调性 ③脱去\(f\)符号化为整式不等式

第四部分 20道拔高难题+详细解析（难度：中档偏难~竞赛入门，分四类）

类型1：定义法证明单调性（4题）

题1 求证：\(f(x)=x-\dfrac1x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。

解：任取\(0<x_1<x_2\)

\(\begin{align*}f(x_2)-f(x_1)&=\left(x_2-\frac1{x_2}\right)-\left(x_1-\frac1{x_1}\right)\\&=(x_2-x_1)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\\&=(x_2-x_1)\left(1+\frac1{x_1x_2}\right)\end{align*}\)

\(x_2-x_1>0,x_1x_2>0\)，故\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，函数在\((0,+\infty)\)递增。

题2 已知\(f(x)\)定义域\(\mathbf R\)，\(\forall x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)\)，\(x>0,f(x)>0\)，证明\(f(x)\)在\(\mathbf R\)单调递增。

解：设\(x_2>x_1\Rightarrow x_2-x_1>0,f(x_2-x_1)>0\)

\(f(x_2)=f(x_1+x_2-x_1)=f(x_1)+f(x_2-x_1)>f(x_1)\)，故递增。

题3 证明\(f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}\)在\([0,1]\uparrow，[1,+\infty)\downarrow\)

解：取\(0\le x_1<x_2\le1\)

\(f(x_2)-f(x_1)=\frac{x_2}{x_2^2+1}-\frac{x_1}{x_1^2+1}=\frac{(x_2-x_1)(1-x_1x_2)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}\)

\(x_2-x_1>0,x_1x_2<1\Rightarrow\Delta y>0\)，\([0,1]\uparrow\)；

\(1\le x_1<x_2,x_1x_2>1,\Delta y<0\Rightarrow[1,+\infty)\downarrow\)。

题4 \(f(x)=\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}\)，判断定义域内单调性。

解：定义域\(x\ge-1\)

\(f(x)=\frac{(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1})(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1})}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}=\frac1{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}\)

分母随\(x\)变大单调递增，分式整体递减，\(f(x)\)在\([-1,+\infty)\downarrow\)。

类型2：复合函数+同增异减（5题）

题5 求\(y=\log_{\frac12}(x^2-2x-3)\)单调递增区间。

解：外层\(\log_{\frac12}u\)在\(u>0\)递减；内层\(u=x^2-2x-3>0\Rightarrow x>3或x<-1\)；

内层\(u\)：\((-\infty,-1)\downarrow,(3,+\infty)\uparrow\)；同增异减，外层减、内层减→复合增，递增区间\((-\infty,-1)\)。

题6 \(y=\sqrt{-x^2+4x+5}\)，求单调递减区间。

解：定义域\(-x^2+4x+5\ge0\Rightarrow-1\le x\le5\)；

内层\(u=-x^2+4x+5\)：\([-1,2]\uparrow,[2,5]\downarrow\)，外层\(\sqrt u\uparrow\)；同增异减，递减区间\([2,5]\)。

题7 \(f(2x-1)\)在\(\mathbf R\)单调递增，求\(f(1-x)\)单调性。

解：令\(u=2x-1\uparrow,f(u)\uparrow\)；\(v=1-x\downarrow\)，外层\(f\uparrow\)、内层\(v\downarrow\)，\(f(1-x)\)在\(\mathbf R\downarrow\)。

题8 \(y=2^{\frac1{x^2-1}}\)，求单调区间。

解：定义域\(x\neq\pm1\)，外层\(2^u\uparrow\)；

\(u=\dfrac1{x^2-1}\)：\((-\infty,-1)\uparrow,(-1,0]\downarrow,[0,1)\downarrow,(1,+\infty)\uparrow\)；

同增异减：原函数\((-\infty,-1)\uparrow,(-1,0]\downarrow,[0,1)\downarrow,(1,+\infty)\uparrow\)。

题9 已知\(f(x)\)在\([0,+\infty)\uparrow\)，\(g(x)=f(|2x-1|)\)，求\(g(x)\)递减区间。

解：内层\(u=|2x-1|\)：\(x<\frac12\downarrow,x>\frac12\uparrow\)，外层\(f(u)\uparrow\)；

同增异减，递减区间\(\left(-\infty,\frac12\right]\)。

类型3：抽象函数不等式（6题，高考难点）

题10 奇函数\(f(x)\)在\((0,+\infty)\uparrow,f(2)=0\)，解不等式\(xf(x)<0\)。

解：奇函数对称区间单调性相同，\((-\infty,0)\uparrow,f(-2)=0\)；

\(xf(x)<0\Leftrightarrow\begin{cases}x>0,f(x)<0=f(2)\\x<0,f(x)>0=f(-2)\end{cases}\)

解得\(0<x<2或-2<x<0\)。

题11 偶函数\(f(x)\)在\([0,+\infty)\downarrow,f(1)=0\)，解\(f(x-1)>0\)。

解：\(f(|x-1|)>f(1)\)，\(|x-1|<1\Rightarrow0<x<2\)。

题12 \(f(x)\)定义域\((-2,2)\)单调递增，\(f(1-m)<f(m^2-1)\)，求\(m\)范围。

解：联立定义域+单调性：

\(\begin{cases}-2<1-m<2\\-2<m^2-1<2\\1-m<m^2-1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-1<m<3\\-\sqrt3<m<\sqrt3\\m^2+m-2>0\end{cases}\)

解得\(1<m<\sqrt3\)。

题13 \(\forall x,y,f(x+y)=f(x)+f(y)-1\)，\(x>0,f(x)>1,f(3)=4\)，\(f(x)\uparrow\)，解\(f(a^2+a-5)<3\)。

解：\(f(3)=3f(1)-2=4\Rightarrow f(1)=2,f(2)=3\)；不等式\(f(a^2+a-5)<f(2)\Rightarrow a^2+a-5<2\Rightarrow a^2+a-7<0\)，\(\dfrac{-1-\sqrt{29}}2<a<\dfrac{-1+\sqrt{29}}2\)。