对勾函数与双刀函数

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一、对勾函数（\( y = ax + \frac{b}{x} \)）

对勾函数是双刀函数的特殊情况，当双刀函数中两个分式的分母系数相等时，就简化为对勾函数。

1. 核心定义

形如 \( y = ax + \frac{b}{x} \)（\( a > 0 \)，\( b > 0 \)，\( x \neq 0 \)）的函数，图像像两个对称的“对勾”，因此得名。

2. 关键性质

定义域：\( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)

奇偶性：奇函数，图像关于原点对称，只需研究 \( x > 0 \) 的部分，\( x < 0 \) 部分可通过对称得到。

单调性：

当 \( x > 0 \) 时，函数在 \( (0, \sqrt{\frac{b}{a}}] \) 上单调递减，在 \( [\sqrt{\frac{b}{a}}, +\infty) \) 上单调递增。

当 \( x < 0 \) 时，函数在 \( (-\infty, -\sqrt{\frac{b}{a}}] \) 上单调递增，在 \( [-\sqrt{\frac{b}{a}}, 0) \) 上单调递减。

最值：

当 \( x > 0 \) 时，最小值为 \( 2\sqrt{ab} \)（在 \( x = \sqrt{\frac{b}{a}} \) 处取得）；

当 \( x < 0 \) 时，最大值为 \( -2\sqrt{ab} \)（在 \( x = -\sqrt{\frac{b}{a}} \) 处取得）。

二、双刀函数（Generalized Hyperbola）

双刀函数是对勾函数的推广形式，核心特征是包含两个分母不同的分式，图像呈“双刀”状，适用场景比单一对勾函数更广泛。

1、双刀函数的核心定义

双刀函数的本质是两个分式函数的和，最常见的形式有两种：

基础形式：\( y = \frac{A}{x + B} + \frac{C}{x + D} \)（其中 \( A、C \neq 0 \)，且 \( B \neq D \)，避免分母相同退化为对勾函数）。

扩展形式：\( y = \frac{mx + n}{px + q} + \frac{rx + s}{tx + u} \)（分子分母均为一次多项式，可通过“分离常数法”化简为基础形式）。

注意：定义域需排除使两个分母为0的点，即 \( x \neq -B \) 且 \( x \neq -D \)（基础形式）。

2、关键性质（与对勾函数的核心区别）

奇偶性不固定：对勾函数一定是奇函数，但双刀函数需根据参数判断。只有当 \( B = -D \) 且分子常数项对称时（如 \( y = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2} \)），才可能是奇函数或偶函数，否则非奇非偶。

单调性无统一规律：无法像对勾函数那样直接套用固定单调区间，需通过两种方法分析：

（1）求导法：对函数求导后，根据导数的正负判断单调区间（适用于所有形式）。

（2）分离常数法：先将复杂分式化简为“常数 + 简单分式”，再结合分式函数的单调性分析（如 \( \frac{1}{x + B} \) 在定义域内单调递减）。

最值需结合定义域计算：无固定的“\( 2\sqrt{ab} \)”这类最值公式，需先确定单调区间，再根据定义域的端点或极值点计算最值，部分情况下甚至无最值（如 \( y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} \)，\( x > 0 \) 时趋近于正无穷，无最大值）。

3、高频解题步骤（以扩展形式为例）

以化简 \( y = \frac{2x + 5}{x + 2} + \frac{3x - 4}{x - 1} \) 并求定义域为例，步骤如下：

1. 第一步：分离常数，化简分式

对每个分式单独处理，保留分子为常数：

\( \frac{2x + 5}{x + 2} = \frac{2(x + 2) + 1}{x + 2} = 2 + \frac{1}{x + 2} \)

\( \frac{3x - 4}{x - 1} = \frac{3(x - 1) - 1}{x - 1} = 3 - \frac{1}{x - 1} \)

合并后得：\( y = 2 + \frac{1}{x + 2} + 3 - \frac{1}{x - 1} = 5 + \frac{1}{x + 2} - \frac{1}{x - 1} \)。

2. 第二步：确定定义域

排除分母为0的点：\( x + 2 \neq 0 \) 且 \( x - 1 \neq 0 \)，即 \( x \neq -2 \) 且 \( x \neq 1 \)，定义域为 \( (-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty) \)。

3. 第三步：分析单调性或最值（可选）

若求单调性，可对化简后的函数求导：\( y' = -\frac{1}{(x + 2)^2} + \frac{1}{(x - 1)^2} \)，令 \( y' = 0 \) 解得极值点，再分区间判断导数正负，确定单调区间。

例1：求定义域：函数 \( y = \frac{3}{2x - 1} + \frac{2}{x + 3} \) 的定义域是什么？

解析：

分母不为0，故 \( 2x - 1 \neq 0 \) 且 \( x + 3 \neq 0 \)，解得 \( x \neq \frac{1}{2} \) 且 \( x \neq -3 \)，定义域为 \( (-\infty, -3) \cup (-3, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \)。

例2：化简函数 \( y = \frac{x + 3}{x + 1} + \frac{x - 3}{x - 1} \)。

解析：

分离常数得 \( y = (1 + \frac{2}{x + 1}) + (1 - \frac{2}{x - 1}) = 2 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x - 1} \)，进一步通分合并得 \( y = 2 - \frac{4}{x^2 - 1} \)。

例3：判断单调性：函数 \( y = \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{x + 1} \) 在 \( (2, +\infty) \) 上的单调性如何？

解析：

求导得 \( y' = -\frac{1}{(x - 2)^2} - \frac{2}{(x + 1)^2} \)，因 \( x > 2 \) 时，\( y' < 0 \)，故函数在 \( (2, +\infty) \) 上单调递减。

例题1：求函数 \( y = 2x + \frac{8}{x} \)（\( x > 0 \)）的最小值。

解析：

由对勾函数性质，\( a = 2 \)，\( b = 8 \)，最小值为 \( 2\sqrt{2 \times 8} = 8 \)，当 \( x = \sqrt{\frac{8}{2}} = 2 \) 时取得。

例题2：求函数 \( y = x + \frac{1}{x} \)（\( x < 0 \)）的最大值。

解析：

\( a = 1 \)，\( b = 1 \)，\( x < 0 \) 时最大值为 \( -2\sqrt{1 \times 1} = -2 \)，当 \( x = -\sqrt{\frac{1}{1}} = -1 \) 时取得。

例题3：判断函数 \( y = 3x + \frac{2}{x} \) 的单调性（\( x > 0 \)）。

解析：

单调递减区间为 \( (0, \sqrt{\frac{2}{3}}] \)，单调递增区间为 \( [\sqrt{\frac{2}{3}}, +\infty) \)。

例题4：求函数 \( y = 4x + \frac{9}{x} \) 在 \( [1, 3] \) 上的最值。

解析：

最小值在 \( x = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \) 处，为 \( 2\sqrt{4 \times 9} = 12 \)；最大值在 \( x = 3 \) 处，为 \( 4 \times 3 + \frac{9}{3} = 15 \)。

例题5：已知 \( x > 0 \)，且 \( y = x + \frac{4}{x} \)，求当 \( y = 5 \) 时 \( x \) 的值。

解析：

解方程 \( x + \frac{4}{x} = 5 \)，得 \( x^2 - 5x + 4 = 0 \)，解得 \( x = 1 \) 或 \( x = 4 \)。

例题6：求函数 \( y = -x - \frac{1}{x} \)（\( x > 0 \)）的最大值。

解析：

变形为 \( y = -(x + \frac{1}{x}) \)，\( x + \frac{1}{x} \geq 2 \)，故 \( y \leq -2 \)，最大值为 \( -2 \)。

例题7：判断函数 \( y = 2x + \frac{3}{x} \) 是否为奇函数，并说明理由。

解析：

是奇函数。因 \( f(-x) = -2x - \frac{3}{x} = -(2x + \frac{3}{x}) = -f(x) \)，且定义域关于原点对称。

例题8：求函数 \( y = x + \frac{2}{x - 1} \)（\( x > 1 \)）的最小值。

解析：

变形为 \( y = (x - 1) + \frac{2}{x - 1} + 1 \)，令 \( t = x - 1 > 0 \)，则 \( y = t + \frac{2}{t} + 1 \geq 2\sqrt{2} + 1 \)，最小值为 \( 2\sqrt{2} + 1 \)。

例题9：已知 \( x > 0 \)，求 \( y = 3x + \frac{12}{x^2} \) 的最小值。

解析：

拆分为 \( y = \frac{3x}{2} + \frac{3x}{2} + \frac{12}{x^2} \)，由均值不等式，最小值为 \( 3\sqrt[3]{\frac{3x}{2} \times \frac{3x}{2} \times \frac{12}{x^2}} = 9 \)。

例题10：求函数 \( y = x^2 + \frac{1}{x^2} \) 的最小值。

解析：

令 \( t = x^2 > 0 \)，则 \( y = t + \frac{1}{t} \geq 2 \)，最小值为 \( 2 \)，当 \( x = \pm 1 \) 时取得。

例题11：求函数 \( y = \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} \) 的定义域。

解析：

分母不为0，故 \( x \neq -1 \) 且 \( x \neq 1 \)，定义域为 \( (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty) \)。

例题12：化简函数 \( y = \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x - 2}{x - 1} \)。

解析：

分离常数得 \( y = (1 + \frac{1}{x + 1}) + (1 - \frac{1}{x - 1}) = 2 + \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = 2 - \frac{2}{x^2 - 1} \)。

例题13：求函数 \( y = \frac{2}{x + 3} + \frac{3}{x - 2} \)（\( x > 2 \)）的单调性。

解析：

求导得 \( y' = -\frac{2}{(x + 3)^2} - \frac{3}{(x - 2)^2} < 0 \)，故在 \( (2, +\infty) \) 上单调递减。

例题14：求函数 \( y = \frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2} \)（\( x > 0 \)）的最小值。

解析：

通分得 \( y = \frac{2x + 2}{x(x + 2)} \)，令 \( t = x + 1 > 1 \)，则 \( y = \frac{2t}{t^2 - 1} = \frac{2}{t - \frac{1}{t}} \)，因 \( t - \frac{1}{t} \) 递增，故最小值在 \( t \to 1^+ \) 时趋近于 \( +\infty \)，无最小值。