数列极限、函数极限、两个重要极限

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、极限的核心概念与本质

极限是高中数学衔接高等数学的核心工具，本质是“变量在变化过程中的终极趋势”——当自变量无限接近某个值（或无限增大/减小）时，因变量无限趋近于一个确定的常数。极限分为数列极限（自变量为正整数\(n\)，仅“无限增大”一种趋势）和函数极限（自变量为实数\(x\)，可“无限接近某点”或“无限增大/减小”），二者定义逻辑一致，但适用场景不同。

二、数列极限（自变量\(n \in \mathbb{N}^*\)，\(n \to +\infty\)）

1. 定义（描述性定义，高中阶段核心）

对数列\(\{a_n\}\)，当正整数\(n\)无限增大（记为\(n \to +\infty\)，可简记为\(n \to \infty\)）时，若数列的项\(a_n\)无限趋近于一个确定的常数\(A\)，则称数列\(\{a_n\}\)的极限为\(A\)，记为：\(\lim_{n \to \infty} a_n = A\)

若不存在这样的常数\(A\)，则称数列\(\{a_n\}\)的极限不存在（如摆动数列\(\{(-1)^n\}\)、递增无界数列\(\{n\}\)）。

2. 数列极限的性质（高频应用）

唯一性：若数列极限存在，则极限值唯一（不可能同时趋近于两个不同常数）；

有界性：若数列极限存在，则数列必有界（存在正数\(M\)，使对所有\(n\)，\(|a_n| \leq M\)）；

保号性：若\(\lim_{n \to \infty} a_n = A > 0\)（或\(A < 0\)），则存在正整数\(N\)，当\(n > N\)时，\(a_n > 0\)（或\(a_n < 0\)）；

四则运算法则（核心计算工具）：设\(\lim_{n \to \infty} a_n = A\)，\(\lim_{n \to \infty} b_n = B\)，则：

1. \(\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = A \pm B\)；

2. \(\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = A \cdot B\)（特殊：\(\lim_{n \to \infty} (k \cdot a_n) = kA\)，\(k\)为常数）；

3. \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{A}{B}\)（需满足\(B \neq 0\)）；

4. \(\lim_{n \to \infty} (a_n)^k = A^k\)（\(k\)为正整数，若\(A > 0\)，\(k\)可扩展为实数）。

3. 常见数列极限的结论（直接应用）

1. \(\lim_{n \to \infty} C = C\)（\(C\)为常数，常数数列的极限是自身）；

2. \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^k} = 0\)（\(k > 0\)，如\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)，\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0\)）；

3. \(\lim_{n \to \infty} q^n = \begin{cases} 0 & |q| < 1 \\ 1 & q = 1 \\ \text{不存在} & |q| > 1 \text{或} q = -1 \end{cases}\)（等比数列极限，核心结论）；

4. \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_m n^m + a_{m-1} n^{m-1} + \dots + a_0}{b_k n^k + b_{k-1} n^{k-1} + \dots + b_0} = \begin{cases} 0 & m < k \\ \frac{a_m}{b_k} & m = k \\ \text{不存在} & m > k \end{cases}\)（分式多项式数列极限，分子分母同除以最高次项）。

三、函数极限（自变量\(x \in \mathbb{R}\)，多趋势）

1. 函数极限的两种核心趋势

函数极限的自变量变化趋势分为“趋近于某定点”和“趋近于无穷远”，对应两种定义：

（1）\(x \to x_0\)（\(x\)无限接近定点\(x_0\)，但\(x \neq x_0\)）

描述性定义：当\(x\)无限接近\(x_0\)（且\(x \neq x_0\)）时，函数\(f(x)\)无限趋近于常数\(A\)，则称\(f(x)\)在\(x \to x_0\)时的极限为\(A\)，记为：

\(\)\lim_{x \to x_0} f(x) = A\(\)

注意：函数在\(x_0\)处的极限与\(f(x_0)\)是否存在无关（如\(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)，\(f(1)\)无定义，但\(\lim_{x \to 1} f(x) = 2\)）。

左右极限（判断极限存在的关键）：

左极限：\(x\)从\(x_0\)左侧无限接近\(x_0\)（记为\(x \to x_0^-\)），极限记为\(\lim_{x \to x_0^-} f(x) = A^-\)；

右极限：\(x\)从\(x_0\)右侧无限接近\(x_0\)（记为\(x \to x_0^+\)），极限记为\(\lim_{x \to x_0^+} f(x) = A^+\)；

极限存在的充要条件：\(\lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff A^- = A^+ = A\)（左右极限都存在且相等）。

（2）\(x \to \infty\)（\(x\)无限增大或减小，即\(|x| \to +\infty\)）

包括\(x \to +\infty\)（\(x\)无限增大）和\(x \to -\infty\)（\(x\)无限减小），定义类似：

\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = A\)：\(x\)无限增大时，\(f(x)\)趋近于\(A\)；

\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = A\)：\(x\)无限减小时，\(f(x)\)趋近于\(A\)；

极限存在的充要条件：\(\lim_{x \to \infty} f(x) = A \iff \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = A\)。

2. 函数极限的性质与运算法则

与数列极限类似，函数极限也满足唯一性、有界性、保号性，且四则运算法则形式一致：

设\(\lim f(x) = A\)，\(\lim g(x) = B\)（极限趋势相同，如均为\(x \to x_0\)或\(x \to \infty\)），则：

1. \(\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)；

2. \(\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\)（特殊：\(\lim [k \cdot f(x)] = kA\)，\(k\)为常数）；

3. \(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\)（需满足\(B \neq 0\)）；

4. \(\lim [f(x)]^k = A^k\)（\(k\)为正整数，若\(A > 0\)，\(k\)可扩展为实数）。

3. 常见函数极限的结论（直接应用）

1. \(\lim_{x \to x_0} C = C\)（\(C\)为常数，常数函数的极限是自身）；

2. \(\lim_{x \to x_0} x^k = x_0^k\)（\(k\)为正整数，幂函数在定义域内的极限）；

3. \(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^k} = 0\)（\(k > 0\)，如\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)，\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\)）；

4. \(\lim_{x \to \infty} \frac{a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \dots + a_0}{b_k x^k + b_{k-1} x^{k-1} + \dots + b_0} = \begin{cases} 0 & m < k \\ \frac{a_m}{b_k} & m = k \\ \text{不存在} & m > k \end{cases}\)（分式多项式函数极限，同除以最高次项）；

5. \(\lim_{x \to +\infty} a^x = \begin{cases} 0 & 0 < a < 1 \\ +\infty & a > 1 \\ 1 & a = 1 \end{cases}\)，\(\lim_{x \to -\infty} a^x = \begin{cases} +\infty & 0 < a < 1 \\ 0 & a > 1 \end{cases}\)（指数函数极限，注意\(x\)的趋势）；

6. \(\lim_{x \to +\infty} \log_a x = \begin{cases} -\infty & 0 < a < 1 \\ +\infty & a > 1 \end{cases}\)（对数函数极限，定义域内趋势）。

四、两个重要极限（高等数学核心，高中延伸）

两个重要极限是计算复杂极限的“桥梁”，可将未知极限转化为已知形式，需牢记形式和适用场景：

1. 第一个重要极限（“\(\frac{0}{0}\)”型，三角函数极限）

标准形式：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

本质特征：分子是“\(\sin\)（趋近于0的量）”，分母是“趋近于0的量”，即“\(\frac{\sin \alpha(x)}{\alpha(x)}\)”，当\(\alpha(x) \to 0\)时，极限为1。

推广形式：若\(\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0\)（或\(x \to \infty\)时\(\alpha(x) \to 0\)），则\(\lim \frac{\sin \alpha(x)}{\alpha(x)} = 1\)（如\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1\)，\(\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = 1\)）。

2. 第二个重要极限（“\(1^\infty\)”型，指数函数极限）

标准形式1（指数型）：\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e\)

标准形式2（幂函数型）：\(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e\)

（其中\(e\)是自然常数，约为2.71828，是无理数）

本质特征：底数是“\(1 +\)（趋近于0的量）”，指数是“趋近于0的量的倒数”，即“\((1 + \alpha(x))^{\frac{1}{\alpha(x)}}\)”，当\(\alpha(x) \to 0\)时，极限为\(e\)。

推广形式：若\(\lim_{x \to x_0} \alpha(x) = 0\)（或\(x \to \infty\)时\(\alpha(x) \to 0\)），则\(\lim (1 + \alpha(x))^{\frac{1}{\alpha(x)}} = e\)（如\(\lim_{x \to 0} (1 + 3x)^{\frac{1}{3x}} = e\)，\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}} = e\)）。

例题1：常数与分式数列极限。计算\(\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n}{n + 1} + 3 \right)\)。

解析：

拆分极限（四则运算法则）：\(\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{n + 1} + \lim_{n \to \infty} 3\)；

计算分式极限：分子分母同除以\(n\)，\(\lim_{n \to \infty} \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{2}{1 + 0} = 2\)；

常数极限：\(\lim_{n \to \infty} 3 = 3\)；

总和：\(2 + 3 = 5\)；

结论：极限值为\(\boxed{5}\)。

例题2：等比数列极限（\(|q| < 1\)）计算\(\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^n} \right)\)。

解析：

先求和：括号内是首项\(a_1 = 1\)、公比\(q = \frac{1}{2}\)的等比数列前\(n + 1\)项和，\(S_{n+1} = \frac{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{n+1}} \right)\)；

取极限：\(\lim_{n \to \infty} 2 \left( 1 - \frac{1}{2^{n+1}} \right) = 2 \left( 1 - 0 \right) = 2\)（因\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n+1}} = 0\)）；

结论：极限值为\(\boxed{2}\)。

例题3：分式多项式数列极限（分子分母同次）计算\(\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + 2n - 1}{2n^2 - n + 5}\)。

解析：

分子分母同除以最高次项\(n^2\)：\(\lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^2}}{2 - \frac{1}{n} + \frac{5}{n^2}}\)；

代入常见极限：\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\)，\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0\)；

化简：\(\frac{3 + 0 - 0}{2 - 0 + 0} = \frac{3}{2}\)；

结论：极限值为\(\boxed{\frac{3}{2}}\)。

例题4：分式多项式数列极限（分子次数低于分母）计算\(\lim_{n \to \infty} \frac{4n + 3}{n^2 - 2}\)。

解析：

分子分母同除以最高次项\(n^2\)：\(\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}{1 - \frac{2}{n^2}}\)；

代入常见极限：分子趋近于\(0 + 0 = 0\)，分母趋近于\(1 - 0 = 1\)；

结果：\(\frac{0}{1} = 0\)；

结论：极限值为\(\boxed{0}\)。

例题5：含根号的数列极限。计算\(\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + n} - n)\)。

解析：

有理化（消除根号）：乘以\(\frac{\sqrt{n^2 + n} + n}{\sqrt{n^2 + n} + n}\)，得：

\(\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}\)；

分子分母同除以\(n\)：\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}\)；

代入极限：\(\frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}\)；

结论：极限值为\(\boxed{\frac{1}{2}}\)。

例题6：极限不存在的判断（等比数列\(|q| > 1\)）判断\(\lim_{n \to \infty} 2^n\)是否存在，若存在求其值。

解析：

当\(n \to \infty\)时，\(2^n\)无限增大（无界），不趋近于任何确定常数；

由数列极限定义，极限不存在；

结论：极限\(\boxed{不存在}\)。

例题7：\(x \to x_0\)时的多项式函数极限。计算\(\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1)\)。

解析：

多项式函数在定义域内连续，极限等于函数值（直接代入\(x = 2\)）；

计算：\(2^2 + 3×2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9\)；

结论：极限值为\(\boxed{9}\)。

例题8：\(x \to x_0\)时的分式函数极限（分母不为0）计算\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 2x + 3}{x + 1}\)。

解析：

先判断分母极限：\(\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \neq 0\)，可直接代入；

分子极限：\(\lim_{x \to 1} (x^2 - 2x + 3) = 1 - 2 + 3 = 2\)；

分式极限：\(\frac{2}{2} = 1\)；

结论：极限值为\(\boxed{1}\)。

例题9：\(x \to x_0\)时的分式函数极限（分母为0，分子也为0，因式分解）计算\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\)。

解析：

代入\(x = 1\)，分子分母均为0（“\(\frac{0}{0}\)”型），因式分解分子：\(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\)；

约去公因子\(x - 1\)（\(x \neq 1\)，不影响极限）：\(\lim_{x \to 1} (x + 1)\)；

代入计算：\(1 + 1 = 2\)；

结论：极限值为\(\boxed{2}\)。

例题10：\(x \to \infty\)时的分式多项式函数极限（分子分母同次）计算\(\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - x^2 + 5}{3x^3 + 4x - 1}\)。

解析：

分子分母同除以最高次项\(x^3\)：\(\lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x} + \frac{5}{x^3}}{3 + \frac{4}{x^2} - \frac{1}{x^3}}\)；

代入常见极限：\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\)，\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0\)，\(\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^3} = 0\)；

化简：\(\frac{2 - 0 + 0}{3 + 0 - 0} = \frac{2}{3}\)；

结论：极限值为\(\boxed{\frac{2}{3}}\)。

例题11：\(x \to \infty\)时的指数函数极限。计算\(\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^x\)和\(\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^x\)。

解析：

对\(\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^x\)：\(0 < \frac{1}{2} < 1\)，当\(x \to +\infty\)时，\(\left( \frac{1}{2} \right)^x\)趋近于0，故极限为0；

对\(\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^x\)：\(\left( \frac{1}{2} \right)^x = 2^{-x}\)，当\(x \to -\infty\)时，\(-x \to +\infty\)，\(2^{-x}\)无限增大，故极限不存在；

结论：\(\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^x = \boxed{0}\)，\(\lim_{x \to -\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^x = \boxed{不存在}\)。

例题12：左右极限（判断分段函数在某点的极限）已知\(f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 0 \\ x^2 & x \geq 0 \end{cases}\)，判断\(\lim_{x \to 0} f(x)\)是否存在。

解析：

计算左极限（\(x \to 0^-\)）：\(\lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 0 + 1 = 1\)；

计算右极限（\(x \to 0^+\)）：\(\lim_{x \to 0^+} x^2 = 0^2 = 0\)；

比较左右极限：左极限=1，右极限=0，不相等；

由极限存在的充要条件，\(\lim_{x \to 0} f(x)\)不存在；

结论：极限\(\boxed{不存在}\)。

例题13：含根号的函数极限（有理化）计算\(\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}\)。

解析：

代入\(x = 4\)，分子分母均为0（“\(\frac{0}{0}\)”型），有理化分子：乘以\(\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}\)；

化简：\(\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x})^2 - 2^2}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2}\)；

代入计算：\(\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}\)；

结论：极限值为\(\boxed{\frac{1}{4}}\)。

例题14：第一个重要极限（标准“\(\frac{\sin x}{x}\)”型）计算\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\)。

解析：

变形为标准形式：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}\)（分子分母同乘3）；

令\(\alpha = 3x\)，当\(x \to 0\)时，\(\alpha \to 0\)，则\(\lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1\)；

计算：\(3×1 = 3\)；

结论：极限值为\(\boxed{3}\)。

例题15：第一个重要极限（变形“\(x \sin \frac{1}{x}\)”型）计算\(\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x}\)。

解析：

变形为标准形式：\(\lim_{x \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}\)（分子分母同除以\(x\)）；

令\(\alpha = \frac{1}{x}\)，当\(x \to \infty\)时，\(\alpha \to 0\)，则\(\lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1\)；

结果：1；

结论：极限值为\(\boxed{1}\)。

例题16：第一个重要极限（含三角函数的分式）计算\(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\)。

解析：

拆分\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \right)\)；

分别取极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)，\(\lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos 0} = 1\)；

乘积：\(1×1 = 1\)；

结论：极限值为\(\boxed{1}\)。

例题17：第二个重要极限（标准“\((1 + x)^{\frac{1}{x}}\)”型）计算\(\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}}\)。

解析：

变形为标准形式：\(\lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{2x} \cdot 2} = \left[ \lim_{x \to 0} (1 + 2x)^{\frac{1}{2x}} \right]^2\)；

令\(\alpha = 2x\)，当\(x \to 0\)时，\(\alpha \to 0\)，则\(\lim_{\alpha \to 0} (1 + \alpha)^{\frac{1}{\alpha}} = e\)；

计算：\(e^2\)；

结论：极限值为\(\boxed{e^2}\)。

例题18：第二个重要极限（标准“\(\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\)”型）计算\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x\)。

解析：

变形为标准形式：\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{3} \cdot 3} = \left[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{\frac{x}{3}} \right]^3\)；

令\(\alpha = \frac{x}{3}\)，当\(x \to \infty\)时，\(\alpha \to \infty\)，则\(\lim_{\alpha \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\alpha}\right)^{\alpha} = e\)；

计算：\(e^3\)；

结论：极限值为\(\boxed{e^3}\)。

例题19：第二个重要极限（含指数的复杂变形）计算\(\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 2}{x} \right)^{x + 1}\)。

解析：

拆分表达式：\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{x} \cdot \left(1 + \frac{2}{x}\right)^1\)；

计算第一部分：\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2} \cdot 2} = e^2\)；

计算第二部分：\(\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right) = 1 + 0 = 1\)；

乘积：\(e^2 × 1 = e^2\)；

结论：极限值为\(\boxed{e^2}\)。

例题20：两个重要极限的综合应用。计算\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)（提示：用三角恒等式\(1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}\)）。

解析：

代入三角恒等式：\(\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \right)^2\)；

变形为第一个重要极限形式：\(2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \cdot \frac{x}{2}} \right)^2 = 2 × \left( \frac{1}{2} \right)^2 × \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \right)^2\)；

令\(\alpha = \frac{x}{2}\)，当\(x \to 0\)时，\(\alpha \to 0\)，则\(\lim_{\alpha \to 0} \left( \frac{\sin \alpha}{\alpha} \right)^2 = 1^2 = 1\)；

计算：\(2 × \frac{1}{4} × 1 = \frac{1}{2}\)；

结论：极限值为\(\boxed{\frac{1}{2}}\)。