函数的凹凸性：凹函数、凸函数

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一、函数凹凸性的几何定义（弦与曲线的位置关系）

设函数 \( f(x) \) 在区间 \( I \) 上连续，对任意两点 \( x_1, x_2 \in I \)（\( x_1 \neq x_2 \)）：

若弦 \( AB \)（\( A(x_1, f(x_1)) \)，\( B(x_2, f(x_2)) \)）的中点在曲线 \( y = f(x) \) 对应点（即 \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \right) \)）的上方，则称 \( f(x) \) 在 \( I \) 上是凹函数（图像“向上凸”，如开口向上的抛物线）；

若弦 \( AB \) 的中点在曲线对应点的下方，则称 \( f(x) \) 在 \( I \) 上是凸函数（图像“向下凸”，如开口向下的抛物线）。

凹函数：\( \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} > f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \)（对任意 \( x_1 \neq x_2 \in I \)）

凸函数：\( \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} < f\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right) \)（对任意 \( x_1 \neq x_2 \in I \)）

二、函数凹凸性的导数定义（从切线斜率的变化趋势理解）

若函数 \( f(x) \) 在区间 \( I \) 内二阶可导（一阶导数 \( f'(x) \) 可导），则：

若对任意 \( x \in I \)，有 \( f''(x) > 0 \)，则 \( f(x) \) 在 \( I \) 上是凹函数（一阶导数 \( f'(x) \) 在 \( I \) 上单调递增，切线斜率随 \( x \) 增大而变大，图像“越变越陡向上弯”）；

若对任意 \( x \in I \)，有 \( f''(x) < 0 \)，则 \( f(x) \) 在 \( I \) 上是凸函数（一阶导数 \( f'(x) \) 在 \( I \) 上单调递减，切线斜率随 \( x \) 增大而变小，图像“越变越缓向下弯”）。

注意：导数定义是判断凹凸性的常用方法，但需满足“二阶可导”的前提；几何定义适用于不可导或难求导的函数。

三、函数拐点的定义与性质

1. 拐点的定义

函数凹凸性发生变化的点（几何点）（即从凹变凸或从凸变凹的点），称为函数的拐点，记为 \( (x_0, f(x_0)) \)。

2. 拐点的判定条件

必要条件：若 \( (x_0, f(x_0)) \) 是拐点，且 \( f''(x_0) \) 存在，则 \( f''(x_0) = 0 \)（但 \( f''(x_0) = 0 \) 的点不一定是拐点，需进一步验证）；

充分条件：若 \( f''(x_0) = 0 \)，且在 \( x_0 \) 两侧 \( f''(x) \) 的符号发生变化（左侧正右侧负，或左侧负右侧正），则 \( (x_0, f(x_0)) \) 是拐点；

特殊情况：若 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处二阶不可导（如一阶导数存在但二阶导数不存在），但在 \( x_0 \) 两侧凹凸性变化，仍称 \( (x_0, f(x_0)) \) 是拐点（例：\( f(x) = \sqrt[3]{x} \) 在 \( x = 0 \) 处二阶不可导，但 \( (0, 0) \) 是拐点）。

四、凹凸性与极值的区别

很多初学者会混淆“凹凸性”与“极值”，需明确二者的核心差异：

研究对象不同：极值描述函数在某点的“局部最值”（与附近点的函数值比较），凹凸性描述函数在区间的“整体弯曲方向”（与弦或切线斜率变化比较）；

判断依据不同：极值用一阶导数（\( f'(x_0) = 0 \) 且两侧 \( f'(x) \) 变号）或二阶导数（\( f'(x_0) = 0 \) 且 \( f''(x_0) \neq 0 \)）判断；凹凸性用二阶导数的符号（区间内 \( f''(x) > 0 \) 或 \( < 0 \)）判断；

几何意义不同：极值对应图像的“峰”（极大值）或“谷”（极小值），拐点对应图像的“弯曲方向转折点”（过拐点后，曲线从“向上凸”变“向下凸”或反之）。

五、函数凹凸性的判断步骤（通用方法）

一阶导数判别法（适用于可导函数）

若 \( f'(x) \) 在区间 \( I \) 上单调递增，则 \( f(x) \) 是凹函数；

若 \( f'(x) \) 在区间 \( I \) 上单调递减，则 \( f(x) \) 是凸函数。

二阶导数判别法（适用于二阶可导函数）

若对任意 \( x \in I \)，有 \( f''(x) \geq 0 \)，则 \( f(x) \) 是凹函数；若 \( f''(x) > 0 \)，则 \( f(x) \) 是严格凹函数。

若对任意 \( x \in I \)，有 \( f''(x) \leq 0 \)，则 \( f(x) \) 是凸函数；若 \( f''(x) < 0 \)，则 \( f(x) \) 是严格凸函数。

对二阶可导函数 \( f(x) \)，判断其凹凸性及拐点的步骤如下：

1. 求定义域：确定函数 \( f(x) \) 的定义域 \( D \)（凹凸性需在定义域内的区间讨论）；

2. 求一阶导数与二阶导数：计算 \( f'(x) \)，再计算 \( f''(x) \)（若二阶导数复杂，可简化后分析）；

3. 找二阶导数的零点与不可导点：解方程 \( f''(x) = 0 \)，得到所有实根 \( x_1, x_2, \dots, x_n \)；同时找出 \( f''(x) \) 不存在的点 \( x_{n+1}, \dots, x_m \)（这些点是“潜在拐点”的横坐标）；

4. 划分区间并判断凹凸性：将 \( x_1, \dots, x_m \) 按从小到大排序，把定义域 \( D \) 划分为若干子区间；在每个子区间内任取一点，判断 \( f''(x) \) 的符号（正→凹，负→凸）；

5. 确定拐点：对每个潜在拐点的横坐标 \( x_0 \)，验证其两侧子区间的凹凸性是否变化（变号→拐点，不变号→非拐点）；若为拐点，计算 \( f(x_0) \) 得拐点坐标。

例题1：一次函数的凹凸性。判断函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上的凹凸性，并判断是否有拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)；

2. 求导：\( f'(x) = 2 \)（一阶导数为常数），\( f''(x) = 0 \)（二阶导数恒为0）；

3. 凹凸性判断：因 \( f''(x) = 0 \)（不满足 \( >0 \) 或 \( <0 \)），根据定义，一次函数的图像是直线，“无弯曲方向”，故既不是凹函数也不是凸函数；

4. 拐点判断：\( f''(x) = 0 \) 对所有 \( x \) 成立，但任意点两侧凹凸性无变化（均为直线），故无拐点；

结论：\( f(x) = 2x + 3 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上非凹非凸，无拐点。

例题2：二次函数的凹凸性（开口向上）判断函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) 的凹凸性及拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)；

2. 求导：\( f'(x) = 2x - 4 \)，\( f''(x) = 2 \)；

3. 凹凸性判断：对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，\( f''(x) = 2 > 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上是凹函数；

4. 拐点判断：\( f''(x) = 2 \neq 0 \)，无二阶导数零点，故无拐点；

结论：\( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上为凹函数，无拐点。

例题3：二次函数的凹凸性（开口向下）判断函数 \( f(x) = -2x^2 + 3x - 1 \) 的凹凸性及拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)；

2. 求导：\( f'(x) = -4x + 3 \)，\( f''(x) = -4 \)；

3. 凹凸性判断：对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，\( f''(x) = -4 < 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上是凸函数；

4. 拐点判断：\( f''(x) = -4 \neq 0 \)，无二阶导数零点，故无拐点；

结论：\( f(x) = -2x^2 + 3x - 1 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上为凸函数，无拐点。

例题4：三次函数的凹凸性与拐点。判断函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 \) 的凹凸性，并求其拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)；

2. 求导：\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)，\( f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1) \)；

3. 找潜在拐点：解方程 \( f''(x) = 0 \)，得 \( x = 1 \)（无二阶不可导点）；

4. 划分区间并判断凹凸性：

当 \( x < 1 \) 时，\( f''(x) = 6(x - 1) < 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, 1) \) 上是凸函数；

当 \( x > 1 \) 时，\( f''(x) = 6(x - 1) > 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 上是凹函数；

5. 确定拐点：\( x = 1 \) 两侧凹凸性变化，计算 \( f(1) = 1 - 3 + 2 + 1 = 1 \)，故拐点为 \( (1, 1) \)；

结论：\( f(x) \) 在 \( (-\infty, 1) \) 上凸，在 \( (1, +\infty) \) 上凹，拐点为 \( (1, 1) \)。

例题5：幂函数的凹凸性（高次幂）判断函数 \( f(x) = x^4 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上的凹凸性及拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)；

2. 求导：\( f'(x) = 4x^3 \)，\( f''(x) = 12x^2 \)；

3. 找潜在拐点：解方程 \( f''(x) = 0 \)，得 \( x = 0 \)（无二阶不可导点）；

4. 划分区间并判断凹凸性：

当 \( x < 0 \) 时，\( f''(x) = 12x^2 > 0 \)（平方恒正），故 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 上是凹函数；

当 \( x > 0 \) 时，\( f''(x) = 12x^2 > 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上是凹函数；

5. 确定拐点：\( x = 0 \) 两侧凹凸性无变化（均为凹），故无拐点；

结论：\( f(x) = x^4 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上全程为凹函数，无拐点。

例题6：幂函数的凹凸性（分数幂）判断函数 \( f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \) 的凹凸性及拐点（定义域 \( x \geq 0 \)）。

解析：

1. 定义域：\( [0, +\infty) \)；

2. 求导：\( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)（\( x > 0 \) 时可导，\( x = 0 \) 处导数不存在）；

\( f''(x) = \frac{1}{2} \times \left( -\frac{1}{2} \right)x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}} \)（\( x > 0 \) 时可导，\( x = 0 \) 处二阶导数不存在）；

3. 找潜在拐点：\( f''(x) = -\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}} < 0 \)（\( x > 0 \) 时恒负），无二阶导数零点；仅 \( x = 0 \) 是二阶不可导点；

4. 划分区间并判断凹凸性：

当 \( x > 0 \) 时，\( f''(x) < 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上是凸函数；

\( x = 0 \) 是端点，不讨论区间内凹凸性；

5. 确定拐点：\( x = 0 \) 是端点，且右侧（\( x > 0 \)）均为凸，无凹凸性变化，故无拐点；

结论：\( f(x) = \sqrt{x} \) 在 \( (0, +\infty) \) 上为凸函数，无拐点。

例题7：反比例函数的凹凸性。判断函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 的凹凸性及拐点（定义域 \( x \neq 0 \)）。

解析：

1. 定义域：\( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)（需分两个区间讨论，因 \( x = 0 \) 处无定义）；

2. 求导：\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)，\( f''(x) = \frac{2}{x^3} \)；

3. 找潜在拐点：解方程 \( f''(x) = 0 \)，无实根（分子为2≠0）；无二阶不可导点（除 \( x = 0 \) 外均二阶可导）；

4. 划分区间并判断凹凸性：

当 \( x < 0 \) 时，\( f''(x) = \frac{2}{x^3} < 0 \)（分母负），故 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 上是凸函数；

当 \( x > 0 \) 时，\( f''(x) = \frac{2}{x^3} > 0 \)（分母正），故 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上是凹函数；

5. 确定拐点：\( x = 0 \) 处无定义，不是函数上的点，故无拐点；

结论：\( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( (-\infty, 0) \) 上凸，在 \( (0, +\infty) \) 上凹，无拐点。

例题8：指数函数的凹凸性。判断函数 \( f(x) = e^x \) 的凹凸性及拐点（\( e \) 为自然常数，\( e \approx 2.718 \)）。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)；

2. 求导：指数函数的导数等于自身，故 \( f'(x) = e^x \)，\( f''(x) = e^x \)；

3. 凹凸性判断：对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，\( e^x > 0 \)（指数函数恒正），故 \( f''(x) > 0 \)，\( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上是凹函数；

4. 拐点判断：\( f''(x) = e^x \neq 0 \)，无二阶导数零点，故无拐点；

结论：\( f(x) = e^x \) 在 \( \mathbb{R} \) 上全程为凹函数，无拐点。

例题9：对数函数的凹凸性。判断函数 \( f(x) = \ln x \) 的凹凸性及拐点（定义域 \( x > 0 \)）。

解析：

1. 定义域：\( (0, +\infty) \)；

2. 求导：\( f'(x) = \frac{1}{x} \)，\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \)；

3. 凹凸性判断：对任意 \( x > 0 \)，\( x^2 > 0 \)，故 \( f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \)，\( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上是凸函数；

4. 拐点判断：\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \neq 0 \)，无二阶导数零点，故无拐点；

结论：\( f(x) = \ln x \) 在 \( (0, +\infty) \) 上全程为凸函数，无拐点。

例题10：三角函数的凹凸性（正弦函数）判断函数 \( f(x) = \sin x \) 在区间 \( [0, 2\pi] \) 内的凹凸性及拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)，限定讨论区间 \( [0, 2\pi] \)；

2. 求导：\( f'(x) = \cos x \)，\( f''(x) = -\sin x \)；

3. 找潜在拐点：解方程 \( f''(x) = 0 \)，即 \( -\sin x = 0 \)，在 \( [0, 2\pi] \) 内得 \( x = 0, \pi, 2\pi \)（无二阶不可导点）；

4. 划分区间并判断凹凸性：

当 \( x \in (0, \pi) \) 时，\( \sin x > 0 \)，故 \( f''(x) = -\sin x < 0 \)，\( f(x) \) 在 \( (0, \pi) \) 上是凸函数；

当 \( x \in (\pi, 2\pi) \) 时，\( \sin x < 0 \)，故 \( f''(x) = -\sin x > 0 \)，\( f(x) \) 在 \( (\pi, 2\pi) \) 上是凹函数；

5. 确定拐点：

\( x = 0 \) 和 \( x = 2\pi \) 是区间端点，不视为区间内拐点；

\( x = \pi \) 两侧凹凸性变化（凸变凹），计算 \( f(\pi) = \sin \pi = 0 \)，故拐点为 \( (\pi, 0) \)；

结论：\( f(x) = \sin x \) 在 \( (0, \pi) \) 上凸，在 \( (\pi, 2\pi) \) 上凹，区间内拐点为 \( (\pi, 0) \)。

例题11：三角函数的凹凸性（余弦函数）判断函数 \( f(x) = \cos x \) 在区间 \( [-\pi, \pi] \) 内的凹凸性及拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)，限定讨论区间 \( [-\pi, \pi] \)；

2. 求导：\( f'(x) = -\sin x \)，\( f''(x) = -\cos x \)；

3. 找潜在拐点：解方程 \( f''(x) = 0 \)，即 \( -\cos x = 0 \)，在 \( [-\pi, \pi] \) 内得 \( x = -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \)（无二阶不可导点）；

4. 划分区间并判断凹凸性：

当 \( x \in \left( -\pi, -\frac{\pi}{2} \right) \) 时，\( \cos x < 0 \)，故 \( f''(x) = -\cos x > 0 \)，\( f(x) \) 在该区间上是凹函数；

当 \( x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) 时，\( \cos x > 0 \)，故 \( f''(x) = -\cos x < 0 \)，\( f(x) \) 在该区间上是凸函数；

当 \( x \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \) 时，\( \cos x < 0 \)，故 \( f''(x) = -\cos x > 0 \)，\( f(x) \) 在该区间上是凹函数；

5. 确定拐点：

\( x = -\frac{\pi}{2} \) 两侧凹凸性变化（凹变凸），\( f\left( -\frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0 \)，拐点为 \( \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \)；

\( x = \frac{\pi}{2} \) 两侧凹凸性变化（凸变凹），\( f\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0 \)，拐点为 \( \left( \frac{\pi}{2}, 0 \right) \)；

结论：\( f(x) = \cos x \) 在 \( \left( -\pi, -\frac{\pi}{2} \right) \) 和 \( \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \) 上凹，在 \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) 上凸，拐点为 \( \left( -\frac{\pi}{2}, 0 \right) \) 和 \( \left( \frac{\pi}{2}, 0 \right) \)。

例题12：含绝对值函数的凹凸性（二阶不可导点）判断函数 \( f(x) = |x^3| \) 的凹凸性及拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)，先去绝对值：\( f(x) = \begin{cases} x^3, & x \geq 0 \\ -x^3, & x < 0 \end{cases} \)；

2. 分段求导（注意 \( x = 0 \) 处的可导性）：

当 \( x > 0 \) 时：\( f'(x) = 3x^2 \)，\( f''(x) = 6x \)；

当 \( x < 0 \) 时：\( f'(x) = -3x^2 \)，\( f''(x) = -6x \)；

当 \( x = 0 \) 时：一阶导数 \( f'(0) = 0 \)（左右导数均为0），二阶导数需验证：

左二阶导数：\( \lim_{x \to 0^-} \frac{f'(x) - f'(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-3x^2}{x} = 0 \)；

右二阶导数：\( \lim_{x \to 0^+} \frac{f'(x) - f'(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{3x^2}{x} = 0 \)；

故 \( f''(0) = 0 \)（二阶可导）；

3. 找潜在拐点：解方程 \( f''(x) = 0 \)，得 \( x = 0 \)（无其他零点）；

4. 划分区间并判断凹凸性：

当 \( x < 0 \) 时，\( f''(x) = -6x > 0 \)（\( x \) 负，负负得正），故 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, 0) \) 上是凹函数；

当 \( x > 0 \) 时，\( f''(x) = 6x > 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上是凹函数；

5. 确定拐点：\( x = 0 \) 两侧均为凹，凹凸性无变化，故无拐点；

结论：\( f(x) = |x^3| \) 在 \( \mathbb{R} \) 上全程为凹函数，无拐点。

例题13：分段函数的凹凸性。判断分段函数 \( f(x) = \begin{cases} x^2, & x \leq 1 \\ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} \) 的凹凸性及拐点。

解析：

1. 定义域：\( \mathbb{R} \)，先验证函数在 \( x = 1 \) 处的连续性与可导性（确保函数光滑）：

连续性：\( f(1^-) = 1^2 = 1 \)，\( f(1^+) = 2 \times 1 - 1 = 1 \)，\( f(1) = 1 \)，故连续；

一阶可导性：\( f'(1^-) = 2 \times 1 = 2 \)，\( f'(1^+) = 2 \)，故 \( f'(1) = 2 \)，一阶可导；

2. 分段求二阶导数：

当 \( x < 1 \) 时：\( f'(x) = 2x \)，\( f''(x) = 2 > 0 \)；

当 \( x > 1 \) 时：\( f'(x) = 2 \)（常数），\( f''(x) = 0 \)；

当 \( x = 1 \) 时：二阶导数需验证：

左二阶导数：\( \lim_{x \to 1^-} \frac{f'(x) - f'(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x - 2}{x - 1} = 2 \)；

右二阶导数：\( \lim_{x \to 1^+} \frac{f'(x) - f'(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} \frac{2 - 2}{x - 1} = 0 \)；

左右二阶导数不相等，故 \( f''(1) \) 不存在；

3. 找潜在拐点：\( x = 1 \) 是二阶不可导点，无其他潜在拐点；

4. 划分区间并判断凹凸性：

当 \( x < 1 \) 时，\( f''(x) = 2 > 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, 1) \) 上是凹函数；

当 \( x > 1 \) 时，\( f''(x) = 0 \)，故 \( f(x) \) 在 \( (1, +\infty) \) 上非凹非凸（直线段）；

5. 确定拐点：\( x = 1 \) 左侧是凹，右侧是非凹非凸，凹凸性未“从凹变凸”或“从凸变凹”，故无拐点；

结论：\( f(x) \) 在 \( (-\infty, 1) \) 上为凹函数，在 \( (1, +\infty) \) 上非凹非凸，无拐点。

例题14：利用凹凸性证明不等式（基础）利用函数的凹凸性证明：对任意实数 \( a, b \)，有 \( \frac{e^a + e^b}{2} \geq e^{\frac{a + b}{2}} \)，当且仅当 \( a = b \) 时等号成立。

解析：

1. 选择函数：不等式左边是 \( \frac{f(a) + f(b)}{2} \)，右边是 \( f\left( \frac{a + b}{2} \right) \)，符合凹函数的几何定义，故选择 \( f(x) = e^x \)；

2. 判断 \( f(x) = e^x \) 的凹凸性：由例题8知，\( f''(x) = e^x > 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 成立，故 \( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上是凹函数；

3. 应用凹函数定义：对任意 \( a, b \in \mathbb{R} \)，根据凹函数的代数定义，有 \( \frac{f(a) + f(b)}{2} \geq f\left( \frac{a + b}{2} \right) \)；

4. 代入函数得：\( \frac{e^a + e^b}{2} \geq e^{\frac{a + b}{2}} \)；

5. 等号条件：凹函数定义中，等号当且仅当 \( a = b \) 时成立（此时两点重合，弦退化为点，与曲线重合）；

结论：不等式成立，当且仅当 \( a = b \) 时等号成立。

例题15：利用凹凸性证明不等式（进阶）利用函数的凹凸性证明：对任意正实数 \( x, y, z \)，有 \( x \ln x + y \ln y + z \ln z \geq (x + y + z) \ln \frac{x + y + z}{3} \)，当且仅当 \( x = y = z \) 时等号成立。

解析：

1. 选择函数：不等式左边是 \( f(x) + f(y) + f(z) \)（需扩展到三点），右边是 \( 3f\left( \frac{x + y + z}{3} \right) \)，故选择 \( f(t) = t \ln t \)（定义域 \( t > 0 \)）；

2. 判断 \( f(t) = t \ln t \) 的凹凸性：

求导：\( f'(t) = \ln t + 1 \)，\( f''(t) = \frac{1}{t} \)；

凹凸性：对任意 \( t > 0 \)，\( f''(t) = \frac{1}{t} > 0 \)，故 \( f(t) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上是凹函数；

3. 扩展凹函数定义到三点：对凹函数，有 \( \frac{f(t_1) + f(t_2) + f(t_3)}{3} \geq f\left( \frac{t_1 + t_2 + t_3}{3} \right) \)（加权平均，权重均为 \( \frac{1}{3} \)）；

4. 代入 \( t_1 = x, t_2 = y, t_3 = z \)：

\( \frac{x \ln x + y \ln y + z \ln z}{3} \geq \frac{x + y + z}{3} \ln \frac{x + y + z}{3} \)；

两边同乘3（正数，不等号方向不变），得 \( x \ln x + y \ln y + z \ln z \geq (x + y + z) \ln \frac{x + y + z}{3} \)；

5. 等号条件：当且仅当 \( x = y = z \) 时，三点重合，等号成立；

结论：不等式成立，当且仅当 \( x = y = z \) 时等号成立。

例题16：已知凹凸性求参数范围（基础）已知函数 \( f(x) = x^3 + ax^2 + 3x + 1 \) 在 \( \mathbb{R} \) 上是凸函数，求实数 \( a \) 的取值范围。

解析：

1. 凹凸性与二阶导数的关系：凸函数要求对任意 \( x \in \mathbb{R} \)，\( f''(x) < 0 \)；

2. 求二阶导数：\( f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3 \)，\( f''(x) = 6x + 2a \)；

3. 分析 \( f''(x) < 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 成立的条件：

\( f''(x) = 6x + 2a \) 是一次函数（斜率为6 > 0），当 \( x \to +\infty \) 时，\( f''(x) \to +\infty \)，无法满足对所有 \( x \) 有 \( f''(x) < 0 \)；

矛盾：说明不存在这样的 \( a \)，使 \( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上全程为凸函数；

（补充：若题目改为“在某区间内是凸函数”，可通过解 \( f''(x) < 0 \) 得区间，但本题是 \( \mathbb{R} \)，故无解）；

结论：不存在实数 \( a \)，使 \( f(x) \) 在 \( \mathbb{R} \) 上是凸函数（或说 \( a \) 的取值范围为空集 \( \varnothing \)）。

例题17：已知凹凸性求参数范围（进阶）已知函数 \( f(x) = \ln x + \frac{k}{x} \)（\( x > 0 \)）在 \( (0, +\infty) \) 上是凹函数，求实数 \( k \) 的取值范围。

解析：

1. 凹凸性与二阶导数的关系：凹函数要求对任意 \( x > 0 \)，\( f''(x) > 0 \)；

2. 求二阶导数：

一阶导数：\( f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{k}{x^2} \)；

二阶导数：\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2k}{x^3} = \frac{-x + 2k}{x^3} \)（通分后化简）；

3. 分析 \( f''(x) > 0 \) 对任意 \( x > 0 \) 成立的条件：

分母 \( x^3 > 0 \)（因 \( x > 0 \)），故不等式等价于分子 \( -x + 2k > 0 \) 对任意 \( x > 0 \) 成立；

即 \( 2k > x \) 对任意 \( x > 0 \) 成立：\( x \) 可取任意正数（无上限），故 \( 2k \) 需大于 \( x \) 的最大值，但 \( x \to +\infty \) 时 \( x \) 无最大值，因此需调整思路——题目是否为“在某区间内凹”？

（修正：若题目为“在 \( [1, +\infty) \) 上凹”，则 \( 2k > x \) 对 \( x \geq 1 \) 成立，需 \( 2k > 1 \)，即 \( k > \frac{1}{2} \)；但原题是 \( (0, +\infty) \)，故需重新检查）；

重新检查二阶导数：\( f''(x) = \frac{2k - x}{x^3} \)，若要求 \( f''(x) > 0 \) 对所有 \( x > 0 \) 成立，需 \( 2k - x > 0 \) 对所有 \( x > 0 \) 成立，即 \( k > \frac{x}{2} \) 对所有 \( x > 0 \) 成立，但 \( \frac{x}{2} \) 可无限大，故无解；

（补充：若题目改为“存在区间使 \( f(x) \) 凹”，则 \( 2k - x > 0 \) 有解，即 \( x < 2k \)，需 \( 2k > 0 \)，即 \( k > 0 \)）；

结论：若要求 \( f(x) \) 在 \( (0, +\infty) \) 上全程为凹函数，\( k \) 的取值范围为空集 \( \varnothing \)；若存在区间凹，则 \( k > 0 \)（需结合题目原意，此处按全程凹解答）。

例题18：已知拐点求参数。已知函数 \( f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d \) 的拐点为 \( (1, -2) \)，求实数 \( b, c, d \) 的值（需补充一个条件，此处假设 \( f(0) = 1 \)）。

解析：

1. 拐点的必要条件：\( f''(1) = 0 \)，且 \( f(1) = -2 \)；

2. 求二阶导数：\( f'(x) = 3x^2 + 2bx + c \)，\( f''(x) = 6x + 2b \)；

3. 用拐点横坐标求 \( b \)：由 \( f''(1) = 0 \)，得 \( 6 \times 1 + 2b = 0 \)，解得 \( b = -3 \)；

4. 用拐点纵坐标求 \( c, d \)：\( f(1) = 1^3 + b \times 1^2 + c \times 1 + d = 1 + b + c + d = -2 \)，代入 \( b = -3 \)：

\( 1 - 3 + c + d = -2 \)，化简得 \( c + d = 0 \)（方程1）；

5. 用补充条件 \( f(0) = 1 \)：\( f(0) = 0 + 0 + 0 + d = 1 \)，解得 \( d = 1 \)；

6. 代入方程1求 \( c \)：\( c + 1 = 0 \)，解得 \( c = -1 \)；

7. 验证拐点：\( f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1) \)，\( x = 1 \) 两侧 \( f''(x) \) 变号（左负右正），确为拐点；

结论：\( b = -3 \)，\( c = -1 \)，\( d = 1 \)。

例题19：凹凸性与切线的关系。已知函数 \( f(x) = e^x \) 是凹函数，证明：对任意 \( x_0 \in \mathbb{R} \)，函数 \( f(x) \) 在 \( x_0 \) 处的切线始终在曲线下方（即 \( f(x) \geq f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \)）。

解析：

1. 求切线方程：函数在 \( x_0 \) 处的切线方程为 \( y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) \)；

对 \( f(x) = e^x \)，\( f'(x_0) = e^{x_0} \)，故切线方程为 \( y = e^{x_0}(x - x_0) + e^{x_0} = e^{x_0}x - x_0e^{x_0} + e^{x_0} \)；

2. 需证明 \( e^x \geq e^{x_0}x - x_0e^{x_0} + e^{x_0} \)，即 \( e^x - e^{x_0}x + x_0e^{x_0} - e^{x_0} \geq 0 \)；

3. 构造辅助函数：令 \( g(x) = e^x - e^{x_0}x + x_0e^{x_0} - e^{x_0} \)，需证明 \( g(x) \geq 0 \) 对任意 \( x \in \mathbb{R} \) 成立；

4. 分析 \( g(x) \) 的极值：\( g'(x) = e^x - e^{x_0} \)，令 \( g'(x) = 0 \)，得 \( x = x_0 \)；

\( g''(x) = e^x > 0 \)，故 \( x = x_0 \) 是 \( g(x) \) 的极小值点（也是最小值点）；

5. 计算最小值：\( g(x_0) = e^{x_0} - e^{x_0} \cdot x_0 + x_0e^{x_0} - e^{x_0} = 0 \)；

故 \( g(x) \geq g(x_0) = 0 \)，即 \( e^x \geq \) 切线方程；

结论：凹函数 \( f(x) = e^x \) 的切线始终在曲线下方，等式当且仅当 \( x = x_0 \) 时成立。

例题20：凹凸性与函数图像的匹配

已知四个函数的图像特征如下：

① 图像全程向上弯，无拐点；

② 图像先向下弯，再向上弯，有一个拐点；

③ 图像全程向下弯，无拐点；

④ 图像先向上弯，再向下弯，再向上弯，有两个拐点；

对应的函数分别为：A. \( f(x) = x^2 \)；B. \( f(x) = x^3 - 3x \)；C. \( f(x) = -\ln x \)；D. \( f(x) = x^4 - 2x^2 \)。请匹配图像与函数。

解析：

1. 分析函数A：\( f(x) = x^2 \)，\( f''(x) = 2 > 0 \)，全程凹（向上弯），无拐点→匹配①；

2. 分析函数B：\( f(x) = x^3 - 3x \)，\( f''(x) = 6x \)，\( x < 0 \) 时 \( f''(x) < 0 \)（向下弯，凸），\( x > 0 \) 时 \( f''(x) > 0 \)（向上弯，凹），有一个拐点 \( (0, 0) \)→匹配②；

3. 分析函数C：\( f(x) = -\ln x \)（定义域 \( x > 0 \)），\( f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0 \)，全程凹（向上弯）？不对，重新计算：

\( f'(x) = -\frac{1}{x} \)，\( f''(x) = \frac{1}{x^2} > 0 \)，故全程凹（向上弯），但选项③是“全程向下弯”，可能函数C应为 \( f(x) = \ln x \)（\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 \)，全程凸，向下弯）→假设题目中C是 \( \ln x \)，则C匹配③；

4. 分析函数D：\( f(x) = x^4 - 2x^2 \)，\( f'(x) = 4x^3 - 4x \)，\( f''(x) = 12x^2 - 4 = 4(3x^2 - 1) \)；

解方程 \( f''(x) = 0 \)，得 \( x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} \)，两个拐点；

\( x < -\frac{\sqrt{3}}{3} \) 时，\( f''(x) > 0 \)（向上弯，凹）；

\( -\frac{\sqrt{3}}{3} < x < \frac{\sqrt{3}}{3} \) 时，\( f''(x) < 0 \)（向下弯，凸）；

\( x > \frac{\sqrt{3}}{3} \) 时，\( f''(x) > 0 \)（向上弯，凹）；

故图像“先上弯、再下弯、再上弯”，有两个拐点→匹配④；

结论：①→A，②→B，③→C（修正后），④→D。