初等数论：分数化小数与小数化分数

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分数化小数

分数是表示一个数是另一个数的几分之几，而小数是实数的一种特殊的表现形式。将分数化为小数，就是用分子除以分母，得到的商就是对应的小数形式。

真分数和假分数化小数

能整除的情况：当分子能被分母整除时，商是有限小数。例如，分数\(\frac{4}{2}\)，计算\(4\div2 = 2\)，得到有限小数\(2.0\)。

不能整除的情况：

有限小数：如果分母分解质因数后，只含有质因数\(2\)和\(5\)，那么这个分数可以化成有限小数。例如，\(\frac{3}{20}\)，分母\(20 = 2\times2\times5\)，计算\(3\div20 = 0.15\)，得到有限小数。

无限循环小数：如果分母分解质因数后，含有\(2\)和\(5\)以外的质因数，那么这个分数化成的小数是无限循环小数。例如，\(\frac{4}{7}\)，计算\(4\div7 = 0.571428571428\cdots\)，它是一个无限循环小数，循环节是\(571428\)。

带分数化小数

先把带分数的整数部分保留，然后将分数部分化为小数，再把两部分相加。例如，对于带分数\(3\frac{1}{4}\)，先将分数部分\(\frac{1}{4}\)化为小数，\(1\div4 = 0.25\)，再加上整数部分\(3\)，得到\(3.25\)。

以分数\(\frac{7}{8}\)为例，将其化为小数：

用分子\(7\)除以分母\(8\)，即\(7\div8 = 0.875\)，得到有限小数\(0.875\)。

再以分数\(\frac{5}{11}\)为例：

计算\(5\div11 = 0.454545\cdots\)，得到无限循环小数，循环节是\(45\)。可以用简便记法表示为\(0.\dot{4}\dot{5}\)。

小数化分数

1. 有限小数化分数

步骤：

看小数的位数，将小数写成分母是\(10\)、\(100\)、\(1000\cdots\)的分数，原来小数的小数点后的数字作为分子。

然后将分数化简为最简分数。

举例：

对于\(0.3\)，它是一位小数，可写成\(\frac{3}{10}\)，\(\frac{3}{10}\)已经是最简分数。

对于\(0.25\)，它是两位小数，写成\(\frac{25}{100}\)，然后化简，分子分母同时除以\(25\)，得到\(\frac{1}{4}\)。

对于\(0.125\)，它是三位小数，写成\(\frac{125}{1000}\)，分子分母同时除以\(125\)，化简为\(\frac{1}{8}\)。

2. 无限循环小数化分数

纯循环小数（从小数点后第一位开始循环）化分数

步骤：

设这个纯循环小数为\(x\)，循环节有\(n\)位数字。

将\(x\)扩大\(10^n\)倍（\(n\)为循环节的位数），得到\(10^n x\)。

用\(10^n x - x\)，消去循环节，然后求解\(x\)得到分数形式。

举例：

对于\(0.\dot{3}\)，设\(x = 0.\dot{3}\)，循环节是\(1\)位数字，将\(x\)扩大\(10\)倍，得到\(10x = 3.\dot{3}\)。

用\(10x - x = 3.\dot{3}-0.\dot{3}\)，即\(9x = 3\)，解得\(x=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)。

再如\(0.\dot{2}\dot{7}\)，设\(x = 0.\dot{2}\dot{7}\)，循环节是\(2\)位数字，将\(x\)扩大\(100\)倍，得到\(100x = 27.\dot{2}\dot{7}\)。

用\(100x - x = 27.\dot{2}\dot{7}-0.\dot{2}\dot{7}\)，即\(99x = 27\)，解得\(x = \frac{27}{99}=\frac{3}{11}\)。

混循环小数（不是从小数点后第一位开始循环）化分数

步骤：

设这个混循环小数为\(x\)，不循环部分有\(m\)位数字，循环节有\(n\)位数字。

将\(x\)扩大\(10^m\times(10^n - 1)\)倍，得到一个新的数。

用这个新的数减去\(x\)乘以\(10^m\)，消去循环节，然后求解\(x\)得到分数形式。

举例：

对于\(0.2\dot{3}\)，设\(x = 0.2\dot{3}\)，不循环部分\(1\)位数字，循环节\(1\)位数字。

将\(x\)扩大\(10\times(10 - 1)=90\)倍，得到\(90x = 20.7\dot{3}\)，\(10x = 2.\dot{3}\)。

用\(90x-10x = 20.7\dot{3}-2.\dot{3}\)，即\(80x = 18.4\)，解得\(x=\frac{18.4}{80}\)，化简为\(\frac{23}{100}\)。

再如\(0.12\dot{3}\dot{4}\)，设\(x = 0.12\dot{3}\dot{4}\)，不循环部分\(2\)位数字，循环节\(2\)位数字。

将\(x\)扩大\(100\times(100 - 1)=9900\)倍，得到\(9900x = 1222.1\dot{3}\dot{4}\)，\(100x = 12.\dot{3}\dot{4}\)。

用\(9900x - 100x = 1222.1\dot{3}\dot{4}-12.\dot{3}\dot{4}\)，即\(9800x = 1210\)，解得\(x=\frac{1210}{9800}\)，化简为\(\frac{121}{980}\)。

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