函数的单调性：增函数、减函数

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函数单调性是描述函数在定义域区间内“上升”或“下降”趋势的核心性质，不仅需掌握其定义与判定方法，更要理解单调性的运算性质（即单调函数经四则运算、复合运算后的单调性规律），这是解决复杂函数单调性问题的关键。

一、函数单调性的核心定义

单调性是区间性质（需绑定具体定义域区间，而非整体性质），分为单调递增和单调递减两类，核心是“任意性”判断（对区间内所有\(x_1 < x_2\)均满足函数值大小关系）。

1. 单调递增函数

设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)，区间\(I \subseteq D\)。若对任意\(x_1, x_2 \in I\)，当\(x_1 < x_2\)时，恒有\(f(x_1) < f(x_2)\)，则称\(f(x)\)在区间\(I\)上为单调递增函数（简称“增函数”），\(I\)称为\(f(x)\)的“单调递增区间”。

2. 单调递减函数

设函数\(y=f(x)\)的定义域为\(D\)，区间\(I \subseteq D\)。若对任意\(x_1, x_2 \in I\)，当\(x_1 < x_2\)时，恒有\(f(x_1) > f(x_2)\)，则称\(f(x)\)在区间\(I\)上为单调递减函数（简称“减函数”），\(I\)称为\(f(x)\)的“单调递减区间”。

关键注意点

不可用“特殊值”替代“任意性”：如\(f(x)=x^2\)，取\(x_1=-1, x_2=1\)时\(x_1 < x_2\)且\(f(x_1)=f(x_2)\)，但不能直接判定其不单调，需结合区间（如在\((-\infty,0]\)递减，\([0,+\infty)\)递增）。

区间端点的“可含性”：单调性与区间端点是否包含无关（如\(f(x)=2x\)在\([1,2]\)和\((1,2)\)上均递增），只需保证端点在定义域内即可。

二、函数单调性的判定方法

1. 定义法（基础方法，适用于所有函数）

步骤：

1. 任取：取\(x_1, x_2 \in\) 目标区间，且\(x_1 < x_2\)；

2. 作差：计算\(f(x_1) - f(x_2)\)；

3. 变形：对差值因式分解、配方、通分或有理化，简化后判断正负；若\(f(x_1) - f(x_2) < 0\)，则\(f(x)\)在区间上递增；若\(f(x_1) - f(x_2) > 0\)，则\(f(x)\)在区间上递减；

4. 下结论：根据差值正负确定单调性。

2. 导数法（适用于可导函数，高效便捷）

设函数\(f(x)\)在区间\(I\)内可导（即\(f'(x)\)在\(I\)内存在）：

若对任意\(x \in I\)，\(f'(x) > 0\)，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递增；

若对任意\(x \in I\)，\(f'(x) < 0\)，则\(f(x)\)在\(I\)上单调递减；

特殊情况：若\(f'(x) \geq 0\)（或\(\leq 0\)），且等号仅在孤立点（如\(f(x)=x^3\)中\(x=0\)）成立，则函数仍单调（\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上递增）。

3. 基本初等函数单调性（直接记忆，快速应用）

一次函数\(y=kx+b\)（\(k \neq 0\)）：\(k > 0\)时\(\mathbb{R}\)递增，\(k < 0\)时\(\mathbb{R}\)递减；

二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a \neq 0\)）：\(a > 0\)时，在\((-\infty, -\frac{b}{2a}]\)递减、\([-\frac{b}{2a}, +\infty)\)递增；\(a < 0\)时相反；

反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)）：\(k > 0\)时，在\((-\infty, 0)\)和\((0, +\infty)\)分别递减；\(k < 0\)时相反；

指数函数\(y=a^x\)（\(a > 0, a \neq 1\)）：\(a > 1\)时\(\mathbb{R}\)递增，\(0 < a < 1\)时\(\mathbb{R}\)递减；

对数函数\(y=\log_a x\)（\(a > 0, a \neq 1\)）：\(a > 1\)时\((0, +\infty)\)递增，\(0 < a < 1\)时\((0, +\infty)\)递减；

幂函数\(y=x^\alpha\)：需根据\(\alpha\)判断（如\(\alpha=1\)时\(\mathbb{R}\)递增，\(\alpha=-1\)时\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)递减）。

三、函数单调性的运算性质（核心规律）

单调函数经四则运算、复合运算后，单调性遵循固定规律，需注意“定义域交集”（运算后函数的定义域为原函数定义域的交集）。

1. 四则运算性质

设\(f(x)\)、\(g(x)\)在区间\(I\)上均单调，且定义域交集为\(I\)：

加法运算：

若\(f(x)\)递增、\(g(x)\)递增，则\(f(x) + g(x)\)在\(I\)上递增；

若\(f(x)\)递减、\(g(x)\)递减，则\(f(x) + g(x)\)在\(I\)上递减；

若\(f(x)\)递增、\(g(x)\)递减，则\(f(x) + g(x)\)单调性不确定（需具体分析，如\(f(x)=x\)递增，\(g(x)=-x\)递减，\(f(x)+g(x)=0\)为常函数，无单调性）。

乘法运算（需考虑函数值符号）：

若\(f(x)\)递增、\(g(x)\)递增，且\(f(x) > 0, g(x) > 0\)（或均小于0），则\(f(x) \cdot g(x)\)在\(I\)上递增；

若\(f(x)\)递增、\(g(x)\)递增，且\(f(x) < 0, g(x) > 0\)（或反之），则\(f(x) \cdot g(x)\)在\(I\)上递减；

例：\(f(x)=x\)（\((0, +\infty)\)递增），\(g(x)=x\)（\((0, +\infty)\)递增），则\(f(x) \cdot g(x)=x^2\)在\((0, +\infty)\)递增；若\(f(x)=-x\)（\((0, +\infty)\)递减），\(g(x)=x\)（\((0, +\infty)\)递增），则\(f(x) \cdot g(x)=-x^2\)在\((0, +\infty)\)递减。

负函数运算：

若\(f(x)\)在\(I\)上递增，则\(-f(x)\)在\(I\)上递减；

若\(f(x)\)在\(I\)上递减，则\(-f(x)\)在\(I\)上递增（即“变号反单调”）。

倒数运算（需保证\(f(x) \neq 0\)）：

若\(f(x)\)在\(I\)上递增，且\(f(x) > 0\)（或均小于0），则\(\frac{1}{f(x)}\)在\(I\)上递减；

若\(f(x)\)在\(I\)上递减，且\(f(x) > 0\)（或均小于0），则\(\frac{1}{f(x)}\)在\(I\)上递增（即“同号反单调”，异号无固定规律）。

2. 复合函数运算性质（“同增异减”法则）

设复合函数\(y=f[g(x)]\)，内层函数\(u=g(x)\)（定义域\(D_g\)，值域\(R_g\)），外层函数\(y=f(u)\)（定义域\(D_f\)，需满足\(R_g \subseteq D_f\)）：

若\(u=g(x)\)在区间\(I \subseteq D_g\)上递增，且\(y=f(u)\)在\(u \in R_g\)上递增，则\(y=f[g(x)]\)在\(I\)上递增；

若\(u=g(x)\)在区间\(I \subseteq D_g\)上递增，且\(y=f(u)\)在\(u \in R_g\)上递减，则\(y=f[g(x)]\)在\(I\)上递减；

若\(u=g(x)\)在区间\(I \subseteq D_g\)上递减，且\(y=f(u)\)在\(u \in R_g\)上递增，则\(y=f[g(x)]\)在\(I\)上递减；

若\(u=g(x)\)在区间\(I \subseteq D_g\)上递减，且\(y=f(u)\)在\(u \in R_g\)上递减，则\(y=f[g(x)]\)在\(I\)上递增；

核心：内层与外层单调性“相同则增，相反则减”，需先确定内层函数的定义域和值域（保证外层函数有意义）。

例题1：定义法证明一次函数单调性：证明：函数\(f(x)=3x - 2\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增。

解析：

1. 任取\(x_1, x_2 \in \mathbb{R}\)，且\(x_1 < x_2\)；

2. 作差：\(f(x_1) - f(x_2) = (3x_1 - 2) - (3x_2 - 2) = 3(x_1 - x_2)\)；

3. 判号：因\(x_1 < x_2\)，故\(x_1 - x_2 < 0\)，则\(3(x_1 - x_2) < 0\)，即\(f(x_1) - f(x_2) < 0\)；

4. 结论：当\(x_1 < x_2\)时，\(f(x_1) < f(x_2)\)，故\(f(x)=3x - 2\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增。

例题2：定义法证明二次函数单调性：证明：函数\(f(x)=-x^2 + 2x + 3\)在\([1, +\infty)\)上单调递减。

解析：

1. 任取\(x_1, x_2 \in [1, +\infty)\)，且\(x_1 < x_2\)；

2. 作差：\(f(x_1) - f(x_2) = (-x_1^2 + 2x_1 + 3) - (-x_2^2 + 2x_2 + 3)\)

\(= -x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 - 2x_2\)

\(= (x_2^2 - x_1^2) + 2(x_1 - x_2)\)

\(= (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) - 2(x_2 - x_1)\)

\(= (x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 2)\)；

3. 判号：因\(x_1 < x_2\)，故\(x_2 - x_1 > 0\)；又\(x_1, x_2 \geq 1\)且\(x_1 < x_2\)，故\(x_1 + x_2 > 1 + 1 = 2\)，即\(x_1 + x_2 - 2 > 0\)；

4. 结论：\((x_2 - x_1)(x_1 + x_2 - 2) > 0\)，即\(f(x_1) - f(x_2) > 0\)，故\(f(x)\)在\([1, +\infty)\)上单调递减。

例题3：导数法求三次函数的单调区间：求函数\(f(x)=x^3 - 3x^2 + 2\)的单调递增区间和单调递减区间。

解析：

1. 求定义域：\(f(x)\)为三次函数，定义域为\(\mathbb{R}\)；

2. 求导数：\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)；

3. 分析导数正负：

令\(f'(x) > 0\)，即\(3x(x - 2) > 0\)，解得\(x < 0\)或\(x > 2\)；

令\(f'(x) < 0\)，即\(3x(x - 2) < 0\)，解得\(0 < x < 2\)；

4. 结论：\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty, 0)\)和\((2, +\infty)\)，单调递减区间为\((0, 2)\)。

例题4：利用加法运算性质判断单调性：已知\(f(x)=x + \log_2 x\)，判断\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)上的单调性。

解析：

1. 拆分函数：\(f(x) = g(x) + h(x)\)，其中\(g(x)=x\)，\(h(x)=\log_2 x\)；

2. 分别判断单调性：

\(g(x)=x\)是一次函数，\(k=1 > 0\)，故在\((0, +\infty)\)上单调递增；

\(h(x)=\log_2 x\)是对数函数，\(a=2 > 1\)，故在\((0, +\infty)\)上单调递增；

3. 应用加法运算性质：“增函数 + 增函数 = 增函数”；

4. 结论：\(f(x)=x + \log_2 x\)在\((0, +\infty)\)上单调递增。

例题5：利用负函数运算性质判断单调性：已知\(f(x)=2^x\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增，判断\(g(x)=-2^x + 1\)在\(\mathbb{R}\)上的单调性。

解析：

1. 拆分函数：\(g(x) = -f(x) + 1\)，其中\(f(x)=2^x\)；

2. 应用负函数运算性质：因\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上递增，故\(-f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上递减；

3. 常数项不影响单调性：\(g(x) = -f(x) + 1\)是\(-f(x)\)向上平移1个单位，单调性不变；

4. 结论：\(g(x)=-2^x + 1\)在\(\mathbb{R}\)上单调递减。

例题6：利用倒数运算性质判断单调性：已知\(f(x)=x - 1\)在\((1, +\infty)\)上单调递增，判断\(h(x)=\frac{1}{f(x)} = \frac{1}{x - 1}\)在\((1, +\infty)\)上的单调性。

解析：

1. 分析\(f(x)\)的符号：在\((1, +\infty)\)上，\(x - 1 > 0\)，即\(f(x) > 0\)；

2. 应用倒数运算性质：“正的增函数的倒数是减函数”；

3. 验证（可选）：任取\(x_1, x_2 \in (1, +\infty)\)且\(x_1 < x_2\)，则\(h(x_1) - h(x_2) = \frac{1}{x_1 - 1} - \frac{1}{x_2 - 1} = \frac{x_2 - x_1}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)}\)，因\(x_2 - x_1 > 0\)，\((x_1 - 1)(x_2 - 1) > 0\)，故\(h(x_1) - h(x_2) > 0\)，即\(h(x)\)递减；

4. 结论：\(h(x)=\frac{1}{x - 1}\)在\((1, +\infty)\)上单调递减。

例题7：复合函数单调性（“同增异减”）求函数\(f(x)=\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 3)\)的单调递增区间。

解析：

1. 确定复合结构：令\(u = g(x) = x^2 - 4x + 3\)（内层函数），则\(f(x) = \log_{\frac{1}{2}} u\)（外层函数）；

2. 求定义域（关键）：外层函数\(\log_{\frac{1}{2}} u\)要求\(u > 0\)，即\(x^2 - 4x + 3 > 0\)，解得\(x < 1\)或\(x > 3\)，故定义域为\((-\infty, 1) \cup (3, +\infty)\)；

3. 分别判断内外层单调性：

内层\(u = x^2 - 4x + 3\)：开口向上，对称轴为\(x = 2\)，故在\((-\infty, 2)\)上递减，在\((2, +\infty)\)上递增；结合定义域，内层在\((-\infty, 1)\)上递减，在\((3, +\infty)\)上递增；

外层\(f(u) = \log_{\frac{1}{2}} u\)：\(a = \frac{1}{2} < 1\)，故在\((0, +\infty)\)上单调递减；

4. 应用“同增异减”：外层递减，需内层递减时，复合函数递增；内层在\((-\infty, 1)\)上递减，且此区间在定义域内；

5. 结论：\(f(x)\)的单调递增区间为\((-\infty, 1)\)。

例题8：复合函数单调性（含幂函数内层）求函数\(f(x)=(x^2 - 2x)^2\)的单调递减区间。

解析：

1. 确定复合结构：令\(u = g(x) = x^2 - 2x\)（内层），则\(f(x) = u^2\)（外层）；

2. 求定义域：\(u = x^2 - 2x\)对任意\(x \in \mathbb{R}\)有意义，故定义域为\(\mathbb{R}\)；

3. 分析内外层单调性：

内层\(u = x^2 - 2x\)：开口向上，对称轴\(x = 1\)，故在\((-\infty, 1)\)上递减，在\((1, +\infty)\)上递增；同时求\(u\)的符号：令\(u = 0\)，得\(x = 0\)或\(x = 2\)，故\(u\)在\((-\infty, 0)\)和\((2, +\infty)\)上为正，在\((0, 2)\)上为负；

外层\(f(u) = u^2\)：开口向上，对称轴\(u = 0\)，故在\((-\infty, 0)\)上递减，在\((0, +\infty)\)上递增；

4. 分区间应用“同增异减”：

当\(x \in (-\infty, 0)\)：内层\(u\)递减（\(x < 1\)）且\(u > 0\)，外层\(u^2\)在\(u > 0\)时递增→“减 + 增 = 减”，故\(f(x)\)递减；

当\(x \in (0, 1)\)：内层\(u\)递减（\(x < 1\)）且\(u < 0\)，外层\(u^2\)在\(u < 0\)时递减→“减 + 减 = 增”，故\(f(x)\)递增；

当\(x \in (1, 2)\)：内层\(u\)递增（\(x > 1\)）且\(u < 0\)，外层\(u^2\)在\(u < 0\)时递减→“增 + 减 = 减”，故\(f(x)\)递减；

当\(x \in (2, +\infty)\)：内层\(u\)递增（\(x > 1\)）且\(u > 0\)，外层\(u^2\)在\(u > 0\)时递增→“增 + 增 = 增”，故\(f(x)\)递增；

5. 结论：\(f(x)\)的单调递减区间为\((-\infty, 0)\)和\((1, 2)\)。

例题9：单调性求参数范围（一次函数）已知函数\(f(x)=(m - 2)x + 1\)在\(\mathbb{R}\)上单调递减，求实数\(m\)的取值范围。

解析：

1. 一次函数单调性规律：\(y = kx + b\)，\(k < 0\)时递减；

2. 对应系数：\(f(x)\)中\(k = m - 2\)，故需\(m - 2 < 0\)；

3. 解不等式：\(m < 2\)；

4. 结论：\(m\)的取值范围为\((-\infty, 2)\)。

例题10：单调性求参数范围（二次函数）已知函数\(f(x)=x^2 - 2mx + m^2 + 1\)在\([2, +\infty)\)上单调递增，求实数\(m\)的取值范围。

解析：

1. 二次函数单调性规律：\(y = ax^2 + bx + c\)（\(a > 0\)），在\([-\frac{b}{2a}, +\infty)\)上递增；

2. 计算对称轴：\(f(x)\)中\(a = 1 > 0\)，\(b = -2m\)，故对称轴为\(x = -\frac{-2m}{2 \times 1} = m\)；

3. 结合条件：需\([2, +\infty) \subseteq [m, +\infty)\)（即对称轴在\(2\)左侧或重合），故\(m \leq 2\)；

4. 结论：\(m\)的取值范围为\((-\infty, 2]\)。

例题11：单调性求参数范围（复合函数）已知函数\(f(x)=\log_a (x^2 - 2x - 3)\)（\(a > 0, a \neq 1\)）在\((3, +\infty)\)上单调递增，求实数\(a\)的取值范围。

解析：

1. 确定复合结构：令\(u = x^2 - 2x - 3\)（内层），\(f(x) = \log_a u\)（外层）；

2. 分析内层单调性：\(u = x^2 - 2x - 3\)开口向上，对称轴\(x = 1\)，故在\((3, +\infty)\)上单调递增；且在\((3, +\infty)\)上，\(u > 3^2 - 2 \times 3 - 3 = 0\)，满足外层定义域；

3. 应用“同增异减”：内层递增，需外层也递增，复合函数才递增；

4. 外层对数函数单调性：\(\log_a u\)递增需\(a > 1\)；

5. 结论：\(a\)的取值范围为\((1, +\infty)\)。

例题12：单调性比较函数值大小（具体函数）已知\(f(x)=x^3 + 2x\)，比较\(f(-1)\)与\(f(2)\)的大小。

解析：

1. 判断\(f(x)\)的单调性：\(f'(x) = 3x^2 + 2\)，因\(3x^2 \geq 0\)，故\(f'(x) \geq 2 > 0\)，即\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上单调递增；

2. 比较自变量大小：\(-1 < 2\)；

3. 应用单调性：增函数中“自变量小则函数值小”，故\(f(-1) < f(2)\)；

4. 验证（可选）：\(f(-1) = (-1)^3 + 2 \times (-1) = -3\)，\(f(2) = 8 + 4 = 12\)，显然\(-3 < 12\)；

5. 结论：\(f(-1) < f(2)\)。

例题13：单调性比较函数值大小（抽象函数）已知函数\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上单调递减，且\(a > b\)，比较\(f(a)\)与\(f(b)\)的大小。

解析：

1. 抽象函数单调性定义：减函数中，若\(x_1 > x_2\)，则\(f(x_1) < f(x_2)\)；

2. 对应条件：\(a > b\)（即\(x_1 = a\)，\(x_2 = b\)），故\(f(a) < f(b)\)；

3. 结论：\(f(a) < f(b)\)。

例题14：单调性解不等式（具体函数）已知\(f(x)=x^2 - 4x + 3\)，解不等式\(f(x) > f(5)\)。

解析：

1. 分析\(f(x)\)的单调性：\(f(x)\)是开口向上的二次函数，对称轴\(x = 2\)，故在\((-\infty, 2]\)上递减，在\([2, +\infty)\)上递增；

2. 计算\(f(5)\)：\(f(5) = 25 - 20 + 3 = 8\)，不等式化为\(x^2 - 4x + 3 > 8\)，即\(x^2 - 4x - 5 > 0\)；

3. 因式分解求解：\((x - 5)(x + 1) > 0\)，解得\(x < -1\)或\(x > 5\)；

4. 结合单调性验证（可选）：

\(x < -1 < 2\)：\(f(x)\)递减，\(x < -1\)则\(f(x) > f(-1) = 8\)，符合；

\(x > 5 > 2\)：\(f(x)\)递增，\(x > 5\)则\(f(x) > f(5) = 8\)，符合；

5. 结论：不等式的解集为\((-\infty, -1) \cup (5, +\infty)\)。

例题15：单调性解不等式（抽象函数）已知函数\(f(x)\)是定义在\((-1, 1)\)上的单调递增函数，且\(f(1 - m) < f(m^2 - 1)\)，求实数\(m\)的取值范围。

解析：

1. 抽象函数不等式需满足两个条件：① 自变量在定义域内；② 利用单调性转化不等式；

2. 列不等式组：

定义域条件：\(\begin{cases}-1 < 1 - m < 1 \\ -1 < m^2 - 1 < 1\end{cases}\)；

单调性条件（递增）：\(1 - m < m^2 - 1\)；

3. 解定义域条件：

解\(-1 < 1 - m < 1\)：左半部分\(-1 < 1 - m \Rightarrow m < 2\)；右半部分\(1 - m < 1 \Rightarrow m > 0\)，故\(0 < m < 2\)；

解\(-1 < m^2 - 1 < 1\)：左半部分\(-1 < m^2 - 1 \Rightarrow m^2 > 0 \Rightarrow m \neq 0\)；右半部分\(m^2 - 1 < 1 \Rightarrow m^2 < 2 \Rightarrow -\sqrt{2} < m < \sqrt{2}\)，故\(-\sqrt{2} < m < 0\)或\(0 < m < \sqrt{2}\)；

定义域交集：\(0 < m < \sqrt{2}\)；

4. 解单调性条件：\(1 - m < m^2 - 1 \Rightarrow m^2 + m - 2 > 0 \Rightarrow (m + 2)(m - 1) > 0\)，解得\(m < -2\)或\(m > 1\)；

5. 求总交集：\(0 < m < \sqrt{2}\)与\(m < -2\)或\(m > 1\)的交集为\(1 < m < \sqrt{2}\)；

6. 结论：\(m\)的取值范围为\((1, \sqrt{2})\)。

例题16：单调性求函数最值（具体区间）求函数\(f(x)=2x + \log_3 x\)在区间\([1, 9]\)上的最大值和最小值。

解析：

1. 判断\(f(x)\)的单调性：\(f(x) = 2x + \log_3 x\)，其中\(2x\)在\((0, +\infty)\)上递增，\(\log_3 x\)在\((0, +\infty)\)上递增，故\(f(x)\)在\((0, +\infty)\)上递增；

2. 确定区间内单调性：\([1, 9] \subseteq (0, +\infty)\)，故\(f(x)\)在\([1, 9]\)上递增；

3. 求最值：增函数在区间左端点取最小值，右端点取最大值；

最小值：\(f(1) = 2 \times 1 + \log_3 1 = 2 + 0 = 2\)；

最大值：\(f(9) = 2 \times 9 + \log_3 9 = 18 + 2 = 20\)；

4. 结论：最大值为\(20\)，最小值为\(2\)。

例题17：单调性求函数最值（含参数区间）已知函数\(f(x)=x^2 - 2x\)，求\(f(x)\)在区间\([t, t + 1]\)（\(t \in \mathbb{R}\)）上的最小值。

解析：

1. 分析\(f(x)\)的单调性：\(f(x)\)是开口向上的二次函数，对称轴\(x = 1\)，故在\((-\infty, 1]\)上递减，在\([1, +\infty)\)上递增；

2. 分三种情况讨论区间与对称轴的位置关系：

情况1：区间在对称轴左侧（\(t + 1 \leq 1\)，即\(t \leq 0\)）：\(f(x)\)在\([t, t + 1]\)上递减，最小值为\(f(t + 1) = (t + 1)^2 - 2(t + 1) = t^2 + 2t + 1 - 2t - 2 = t^2 - 1\)；

情况2：区间包含对称轴（\(t \leq 1 \leq t + 1\)，即\(0 < t \leq 1\)）：\(f(x)\)在对称轴处取最小值，最小值为\(f(1) = 1 - 2 = -1\)；

情况3：区间在对称轴右侧（\(t > 1\)）：\(f(x)\)在\([t, t + 1]\)上递增，最小值为\(f(t) = t^2 - 2t\)；

3. 结论：最小值为\(\begin{cases}t^2 - 1, & t \leq 0 \\ -1, & 0 < t \leq 1 \\ t^2 - 2t, & t > 1\end{cases}\)。

例题18：单调性与奇偶性综合（判断单调性）已知函数\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的偶函数，且在\([0, +\infty)\)上单调递增，判断\(f(x)\)在\((-\infty, 0]\)上的单调性。

解析：

1. 偶函数定义：\(f(-x) = f(x)\)；

2. 用定义法证明：任取\(x_1, x_2 \in (-\infty, 0]\)，且\(x_1 < x_2\)，则\(-x_1 > -x_2 \geq 0\)；

3. 利用\([0, +\infty)\)上的单调性：因\(f(x)\)在\([0, +\infty)\)上递增，故\(f(-x_1) > f(-x_2)\)；

4. 结合偶函数性质：\(f(-x_1) = f(x_1)\)，\(f(-x_2) = f(x_2)\)，故\(f(x_1) > f(x_2)\)；

5. 结论：\(f(x)\)在\((-\infty, 0]\)上单调递减。

例题19：单调性与奇偶性综合（解不等式）已知函数\(f(x)\)是定义在\(\mathbb{R}\)上的奇函数，且在\([0, +\infty)\)上单调递减，解不等式\(f(x - 2) + f(x) > 0\)。

解析：

1. 利用奇偶性转化不等式：奇函数满足\(f(-x) = -f(x)\)，故\(f(x) = -f(-x)\)，代入不等式得：

\(f(x - 2) - f(-x) > 0 \Rightarrow f(x - 2) > f(-x)\)；

2. 判断\(f(x)\)的整体单调性：

\(f(x)\)在\([0, +\infty)\)上递减；任取\(x_1 < x_2 < 0\)，则\(-x_1 > -x_2 > 0\)，故\(f(-x_1) < f(-x_2)\)，即\(-f(x_1) < -f(x_2) \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\)，故\(f(x)\)在\((-\infty, 0)\)上也递减；

又\(f(0) = 0\)（奇函数性质），故\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上单调递减；

3. 利用单调性解不等式：递减函数中“\(f(A) > f(B)\)”等价于“\(A < B\)”，故\(x - 2 < -x\)；

4. 解不等式：\(2x < 2 \Rightarrow x < 1\)；

5. 结论：不等式的解集为\((-\infty, 1)\)。