切线不等式（切线放缩）

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、切线放缩核心原理

1. 基本定义

对于函数 \(y=f(x)\)，在定点 \(x=x_0\) 处的切线方程：\(y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)

切线放缩本质：利用函数凹凸性，判断曲线全程在切线上方或下方，实现不等式放缩。

1. 若 \(f''(x)\ge0\)（\(f(x)\) 下凸 / 凸函数）：\(f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)，曲线恒在切线上方；

2. 若 \(f''(x)\le0\)（\(f(x)\) 上凸 / 凹函数）：\(f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\)，曲线恒在切线下方；

取等条件：\(x=x_0\)。

高中最常用定点：\(x_0=0、x_0=1\)，绝大多数放缩都围绕这两个切点。切线放缩多用于：证明含 \(e^x、\ln x\) 的不等式、求函数最值、参数范围、数列不等式。

2. 两大基础函数凹凸判定

\(y=e^x\)：\(f''(x)=e^x>0\)，全程凸函数，任意点切线在曲线下方；

\(y=\ln x\)：\(f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}<0(x>0)\)，全程凹函数，任意点切线上方压住曲线。

二、必考基础切线不等式（母式，所有结论源头）

母式 1：\(e^x\) 系列（切点 x=0）\(f(x)=e^x，f(0)=1,f'(0)=1\)，切线：\(y=x+1\)

核心：\(\boldsymbol{e^x \ge x+1,\ x\in R}\)，\(x=0\) 取等。

母式 2：\(\ln x\) 系列（切点 x=1）\(f(x)=\ln x，f(1)=0,f'(1)=1\)，切线：\(y=x-1\)

核心：\(\boldsymbol{\ln x \le x-1,\ x>0}\)，\(x=1\) 取等。

三、全套二级结论（全部由母式换元变形，考场直接背诵）

（一）\(e^x\) 衍生结论（换元、平移、缩放）

1. 令 \(x\rightarrow x-1\)：\(e^{x-1}\ge x \iff e^x\ge ex\)，\(x=1\) 取等；

2. 令 \(x\rightarrow -x\)：\(e^{-x}\ge -x+1 \implies e^x \le \dfrac1{1-x}(x<1)\)；

3. \(x>0\) 时，\(e^x \ge x^2+x+1\)（切点 0 高阶切线）；

4. \(x>0\)，\(e^x>x^2+1\)；

5. 指数分式放缩：\(x>0,\dfrac{e^x}{x}\ge e\)（由\(e^x\ge ex\)两边除以 x）；

6. \(x>0，e^x \ge \dfrac12x^2+x+1\)。

（二）\(\ln x\) 衍生结论（最高频）

1. 令 \(x\rightarrow \dfrac1x\)：\(\ln \dfrac1x \le \dfrac1x-1 \implies \boldsymbol{\ln x \ge 1-\dfrac1x，x>0}\)，\(x=1\)取等；

2. 令 \(x\rightarrow x+1\)：\(\ln(x+1)\le x，x>-1\)，\(x=0\)取等；

3. 令 \(x\rightarrow -x(x<1)\)：\(\ln(1-x)\le -x，x<1\)；

4. 双放缩捆绑（万能链）：\(x>0,1-\dfrac1x \le \ln x \le x-1\)；

5. \(\ln(x+1)\ge \dfrac{x}{x+1}(x>-1)\)，由\(\ln t\ge1-\dfrac1t，t=x+1\)换元；

6. \(x>0，\ln x \le \dfrac x2-\dfrac 1{2x}\)（切点 x=2 切线）；

7. 对数缩放：\(\ln x \le kx-\ln k-1\)（任意正数 k，通用切点放缩）。

（三）一次、三角函数补充切线放缩（常用）

1. \(\sin x\)：\(x\in R，\sin x \le x\)；\(x\ge0，\sin x\ge x-\dfrac{x^3}{6}\)；\(x\in[0,\dfrac{\pi}{2}],\sin x\ge \dfrac{2}{\pi}x\)；

2. \(\cos x\)：\(x\in R，\cos x\ge1-\dfrac{x^2}{2}\)；

3. \(\tan x\)：\(x\in(0,\dfrac{\pi}{2}),\tan x \ge x\)；

4. \(x>0，x-\dfrac1x-2\ln x\ge0\)（函数\(g(x)=x-\dfrac1x-2\ln x\)切点 x=1 切线放缩）。

（四）混合型二级结论（指数对数同放缩）

1. \(x>0,e^x-\ln x \ge2\)；由\(e^x\ge x+1，\ln x\le x-1 \Rightarrow e^x-\ln x\ge (x+1)-(x-1)=2\)；取等不能同时成立，是下界；

2. \(e^x+\ln x\ge x+1+1-\dfrac1x\)；

3. \(x>1，e^x>ex>\ln x+1\)；

4. \(0<x<1，\ln x<x-1<0<e^x-1\)。

（五）多切点灵活放缩结论（进阶）

1. 证明不等式需要紧边界：不要死用 x=0、x=1，可以自定义切点\(x=t\)求切线；

2. 若一边放缩过松，采用分段切线：x≥a 用切点 a，0<x<a 用切点 1；

3. 齐次处理：含\(e^{kx}、\ln(kx)\)先换元，还原成标准\(e^t、\ln t\)。

（六）倒数、分式专属变形

1. \(x>0,\dfrac{1}{e^x}\le \dfrac1{x+1}\)；

2. \(x>0,\dfrac{1}{\ln x}\ge \dfrac{x}{x-1}(x>1)\)；\(0<x<1\)时不等号反向；

3. \(\dfrac{e^x}{x+1}\ge1\)；\(\dfrac{\ln x}{x-1}\le1(x>0,x\neq1)\)。

四、切线放缩通用做题五步法

1. 识别函数：式子含\(e^x、\ln x、\sin x、\cos x\)优先切线；

2. 选切点：常规选 x=0、x=1；常规放缩太松就自定义切点；

3. 判断凹凸：凸函数≥切线，凹函数≤切线；

4. 整体代换放缩，化简证明；

5. 核验取等条件，确认两处取等可以同时成立（多放缩叠加必查）。

五、例题（基础 8 道 + 中档 6 道 + 拔高 6 道，全详细解答）

基础篇例题 1~8（只用 x=0，x=1 标准切线）

例题 1：求证：对任意实数\(x，e^x\ge x+1\)。

解：设\(f(x)=e^x-x-1\)，\(f'(x)=e^x-1\)，\(x=0\)是极小值点，\(f(x)_{\min}=0\)，故\(e^x\ge x+1\)。切线为 x=0 处\(y=x+1\)，凸函数曲线在切线上方。

例题 2：求证：\(x>0\)时，\(\ln x\le x-1\)。

解：\(g(x)=\ln x-x+1，g'(x)=\dfrac1x-1\)，\(x=1\)取最大值 0，凹函数，曲线全程在切线\(y=x-1\)下方，不等式成立。

例题 3：证明\(x>0，\ln x\ge 1-\dfrac1x\)。

解：对\(\ln t \le t-1\)，令\(t=\dfrac1x\)，\(\ln\dfrac1x\le \dfrac1x-1\)，\(-\ln x \le \dfrac{1-x}{x}\)，两边乘 - 1 变号：\(\ln x\ge 1-\dfrac1x\)，\(x=1\)取等。

例题 4：已知\(x>0\)，证明\(e^x \ge ex\)。

解：\(e^t\ge t+1\)，令\(t=x-1\)，\(e^{x-1}\ge x\)，两边乘\(e\)得\(e^x\ge ex\)，\(x=1\)取等。

例题 5：证明\(x>-1，\ln(x+1)\le x\)。

解：\(\ln u\le u-1\)，令\(u=x+1\)，\(\ln(x+1)\le x+1-1=x\)，\(x=0\)取等。

例题 6：\(x>0\)，求证\(\dfrac{e^x}{x}\ge e\)。

解：由\(e^x\ge ex\)，\(x>0\)两边除以正数 x，\(\dfrac{e^x}{x}\ge e\)，\(x=1\)等号成立。

例题 7：证明：\(x>0\)，\(e^x-\ln x>2\)。

解：\(e^x\ge x+1，-\ln x\ge -(x-1)=-x+1\)，两式相加：\(e^x-\ln x\ge x+1-x+1=2\)。\(e^x=x+1\)要求 x=0，\(\ln x=x-1\)要求 x=1，无法同时取等，故严格大于 2。

例题 8：证明\(x>1，\ln x<x-1<e^x-1\)。

解：\(\ln x<x-1\)是基础切线；\(e^x-1>x\)，而\(x>x-1\)，串联得\(\ln x<x-1<x<e^x-1\)。

中档综合篇例题 9~14（多步放缩、三角函数、双变量）

例题 9：求证\(x>0，\ln(x+1)\ge \dfrac{x}{x+1}\)。

解：使用\(\ln t\ge1-\dfrac1t\)，令\(t=x+1\)，\(\ln(x+1)\ge1-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x}{x+1}\)，\(x=0\)取等。

例题 10：\(x>0\)，证明\(\sin x\le x\)。

解：\(h(x)=\sin x-x，h'(x)=\cos x-1\le0\)，函数单调递减，\(h(0)=0\)，\(x>0，h(x)\le0\)，切线\(y=x\)在 x=0 压住正弦曲线。

例题 11：证明\(x\in R，\cos x \ge 1-\dfrac{x^2}{2}\)。

解：二阶导数\(y=cosx，y''=-cosx\)，在 x=0 处切线为二阶泰勒切线，凹凸放缩，构造\(F(x)=\cos x+\dfrac{x^2}{2}-1\)，最小值为 0，不等式恒成立。

例题 12：已知\(x>0\)，证明\(e^x+x\ge \ln x+2\)。

解：\(e^x\ge x+1，-\ln x\ge 1-x\)，相加：\(e^x-\ln x\ge 2\)，\(e^x+x-\ln x\ge2+x>2\)，得证。

例题 13：证明：\(x>0\)时，\(\ln x-\dfrac1x \le x-2\)。

解：整理\(\ln x \le x+\dfrac1x-2\)，右侧函数\(t(x)=x+\dfrac1x-2\)在 x=1 最小值 0；左侧\(\ln x\)切线 x=1：\(\ln x\le x-1\)，\(x-1\le x+\dfrac1x-2 \iff -1\le \dfrac1x-2 \iff x\le1\)；分段：\(x\ge1\)用\(\ln x\le x-1\)；\(0<x<1\)用\(\ln x\ge1-\dfrac1x\)变形可证。

例题 14：求证：\(x>0，e^{2x}\ge 2x+1\)。

解：基础公式\(e^t\ge t+1\)，令\(t=2x\)，\(e^{2x}\ge2x+1\)，\(x=0\)取等。

拔高竞赛 / 导数大题篇例题 15~20（自定义切点、分段放缩、数列、参数）

例题 15：证明：\(x>0，\ln x \le \dfrac x2-\dfrac1{2x}\)，切点 x=2。

解：设\(f(x)=\ln x\)，\(f(2)=\ln2，f'(2)=\dfrac12\)，切线\(y=\dfrac12(x-2)+\ln2=\dfrac x2-1+\ln2\)。

求证\(\ln x -\dfrac x2+\dfrac1{2x}\le0\)，求导得 x=2 为最大值点，代入等于 0；凹函数全程在切线下方，不等式成立，x=2 取等。

例题 16：已知\(x>0\)，证明\(\dfrac{e^x}{x^2}\ge \dfrac{e^2}{4}\)。

解：对\(e^t\ge et\)，令 t=x，\(e^x\ge ex\)，\(\dfrac{e^x}{x^2}\ge \dfrac{e}{x}\)，放缩偏松，改用切点 x=2：\(f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}\)，求导极值点 x=2，切线放缩可得最小值\(\dfrac{e^2}{4}\)。

例题 17：数列证明：\(n\in N^*\)，\(\ln(1+\dfrac1n)\le \dfrac1n\)。

解：套用\(\ln(x+1)\le x\)，令\(x=\dfrac1n>0\)，直接\(\ln(1+\dfrac{n+1}{n})=\ln(1+\dfrac1n)\le \dfrac1n\)，数列不等式得证。

例题 18：求证：\(x>0，e^x -ex \ge (x-1)^2\)。

解：左侧\(f(x)=e^x-ex\)，切点 x=1，\(f(1)=0,f'(1)=0\)，二阶切线展开，凸函数放缩：\(e^x\ge ex+(x-1)^2\)，移项即证。求导可验证 x=1 取等。

例题 19：证明当\(x>0\)时，\(\dfrac{\ln x}{x}\le \dfrac1e\)。

解：设\(g(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)，导数\(g'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)，极值点\(x=e\)。在\(x=e\)做切线：\(g(e)=\dfrac1e，g'(e)=0\)，切线\(y=\dfrac1e\)；函数在 x=e 处最大值为\(\dfrac1e\)，故\(\dfrac{\ln x}{x}\le\dfrac1e\)。