函数的解析式：f(x)

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函数解析式是描述函数“对应法则”的核心形式，即通过数学表达式明确自变量\(x\)与因变量\(y\)的关系（如\(y = f(x)\)）。求解函数解析式的核心思路是：根据已知条件（如函数类型、函数值、函数性质、图像特征等），通过代数变形、代换、方程求解等手段，推导出\(f(x)\)的具体表达式，同时需注意定义域的隐含限制（如分母不为零、根号下非负、对数真数大于零等）。

一、待定系数法求函数解析式

适用场景：已知函数类型（如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数等），只需确定解析式中未知的“系数”。

解题核心：根据函数类型设出标准解析式，再利用已知条件（如函数过某点、函数值、最值等）列方程（组），求解未知系数。

常见函数的标准形式：

一次函数：设\(f(x) = ax + b\)（\(a \neq 0\)，需确定\(a, b\)）；

二次函数：

①一般式\(f(x) = ax^2 + bx + c\)（\(a \neq 0\)）；

②顶点式\(f(x) = a(x - h)^2 + k\)（\((h,k)\)为顶点，已知顶点时优先用）；

③零点式\(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)（\(x_1,x_2\)为零点，已知与\(x\)轴交点时用）；

反比例函数：设\(f(x) = \frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)）；

指数函数：设\(f(x) = a^x\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)）；

对数函数：设\(f(x) = \log_a x\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)）。

解题步骤：

1. 根据函数类型设出标准解析式；

2. 代入已知条件（如“\(f(1) = 2\)”“函数过点\((2,3)\)”），列出关于未知系数的方程（组）；

3. 解方程组，确定系数的值；

4. 验证解析式是否满足所有已知条件（避免计算错误）。

例题1：一次函数：已知\(f(x)\)是一次函数，且满足\(f(f(x)) = 4x + 3\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 设一次函数\(f(x) = ax + b\)（\(a \neq 0\)）；

2. 计算复合函数\(f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b\)；

3. 由\(f(f(x)) = 4x + 3\)，对比系数得方程组：

\(\begin{cases} a^2 = 4 \\ ab + b = 3 \end{cases}\)

4. 解方程组：

若\(a = 2\)，则\(2b + b = 3 \implies b = 1\)，此时\(f(x) = 2x + 1\)；

若\(a = -2\)，则\(-2b + b = 3 \implies b = -3\)，此时\(f(x) = -2x - 3\)；

5. 验证：两种情况均满足\(f(f(x)) = 4x + 3\)，故\(f(x) = 2x + 1\)或\(f(x) = -2x - 3\)。

例题2：二次函数（一般式）已知二次函数\(f(x)\)满足\(f(0) = 1\)，\(f(1) = 2\)，\(f(2) = 5\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 设二次函数\(f(x) = ax^2 + bx + c\)（\(a \neq 0\)）；

2. 代入已知条件：

\(f(0) = c = 1\)；

\(f(1) = a + b + c = 2\)，代入\(c = 1\)得\(a + b = 1\)；

\(f(2) = 4a + 2b + c = 5\)，代入\(c = 1\)得\(4a + 2b = 4\)（化简为\(2a + b = 2\)）；

3. 解方程组\(\begin{cases} a + b = 1 \\ 2a + b = 2 \end{cases}\)，得\(a = 1\)，\(b = 0\)；

4. 故\(f(x) = x^2 + 1\)（验证：\(f(0)=1\)，\(f(1)=2\)，\(f(2)=5\)，均满足）。

例题3：二次函数（顶点式）已知二次函数\(f(x)\)的顶点为\((1, -2)\)，且过点\((2, 1)\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 顶点为\((1, -2)\)，设顶点式\(f(x) = a(x - 1)^2 - 2\)（\(a \neq 0\)）；

2. 代入点\((2, 1)\)：\(f(2) = a(2 - 1)^2 - 2 = a - 2 = 1 \implies a = 3\)；

3. 展开得\(f(x) = 3(x^2 - 2x + 1) - 2 = 3x^2 - 6x + 1\)；

4. 验证：顶点横坐标\(-\frac{b}{2a} = \frac{6}{6} = 1\)，纵坐标\(f(1) = 3 - 6 + 1 = -2\)，过点\((2,1)\)，满足条件。

例题4：反比例函数：已知反比例函数\(f(x)\)过点\((-3, 2)\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 设反比例函数\(f(x) = \frac{k}{x}\)（\(k \neq 0\)）；

2. 代入点\((-3, 2)\)：\(f(-3) = \frac{k}{-3} = 2 \implies k = -6\)；

3. 故\(f(x) = -\frac{6}{x}\)（定义域\(x \neq 0\)）。

二、代入法（直接代入法）求函数解析式

适用场景：已知\(f(x)\)的解析式，求复合函数\(f(g(x))\)（即“内函数\(g(x)\)代入外函数\(f(x)\)”）的解析式。

解题核心：将\(f(x)\)中所有的\(x\)替换为\(g(x)\)，再进行代数化简（注意保持\(f(x)\)的结构不变，仅替换自变量符号）。

解题步骤：

1. 明确外函数\(f(t)\)的表达式（将\(f(x)\)中的\(x\)改为\(t\)，避免与内函数的\(x\)混淆）；

2. 将\(t = g(x)\)代入\(f(t)\)，即把\(f(t)\)中所有\(t\)替换为\(g(x)\)；

3. 对替换后的表达式进行化简（去括号、合并同类项等），得到\(f(g(x))\)的解析式；

4. 标注定义域（复合函数定义域需满足内函数\(g(x)\)的取值在\(f(x)\)的定义域内）。

例题5：简单复合函数：已知\(f(x) = x^2 - 2x + 3\)，求\(f(x + 1)\)的解析式。

解：

1. 将\(f(x)\)中所有\(x\)替换为\(x + 1\)；

2. \(f(x + 1) = (x + 1)^2 - 2(x + 1) + 3\)；

3. 化简：\((x^2 + 2x + 1) - 2x - 2 + 3 = x^2 + 2\)；

4. 定义域：\(x + 1\)无限制，故\(f(x + 1) = x^2 + 2\)（\(x \in \mathbb{R}\)）。

例题6：含根号的复合函数：已知\(f(x) = \sqrt{x} + 2x\)，求\(f(x^2)\)的解析式。

解：

1. 将\(f(x)\)中所有\(x\)替换为\(x^2\)；

2. \(f(x^2) = \sqrt{x^2} + 2x^2\)；

3. 化简：\(\sqrt{x^2} = |x|\)，故\(f(x^2) = |x| + 2x^2\)；

4. 定义域：\(x^2 \geq 0\)（根号下非负），即\(x \in \mathbb{R}\)，故\(f(x^2) = 2x^2 + |x|\)（\(x \in \mathbb{R}\)）。

例题7：分式复合函数：已知\(f(x) = \frac{1}{x - 1}\)（\(x \neq 1\)），求\(f\left(\frac{1}{x}\right)\)的解析式。

解：

1. 将\(f(x)\)中所有\(x\)替换为\(\frac{1}{x}\)；

2. \(f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 1}\)；

3. 化简：分母通分\(\frac{1 - x}{x}\)，故\(f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x}{1 - x}\)；

4. 定义域：需满足①\(\frac{1}{x}\)有意义（\(x \neq 0\)）；②\(\frac{1}{x} \neq 1\)（\(f(x)\)的定义域），即\(x \neq 1\)；

故\(f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{x}{1 - x}\)（\(x \neq 0\)且\(x \neq 1\)）。

三、换元法（整体代换法）求函数解析式

适用场景：已知复合函数\(f(g(x))\)的解析式，求原函数\(f(x)\)的解析式（即“剥离内函数，还原外函数”），且\(g(x)\)是“可反解”的函数（如一次式、根号式等）。

解题核心：令\(t = g(x)\)，将复合函数转化为关于\(t\)的表达式，再解出\(f(t)\)，最后将\(t\)换回\(x\)（注意\(t\)的取值范围，即\(f(x)\)的定义域）。

解题步骤：

1. 令\(t = g(x)\)，根据\(g(x)\)的表达式反解出\(x = h(t)\)（用\(t\)表示\(x\)）；

2. 确定\(t\)的取值范围（即\(g(x)\)的值域，也是\(f(x)\)的定义域）；

3. 将\(x = h(t)\)代入\(f(g(x))\)的解析式，得到\(f(t)\)的表达式；

4. 将\(t\)替换为\(x\)，并标注\(f(x)\)的定义域（即步骤2中\(t\)的范围）。

例题8：根号型复合函数：已知\(f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x}\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 令\(t = \sqrt{x} + 1\)，则\(t \geq 1\)（因\(\sqrt{x} \geq 0\)）；

2. 反解\(x\)：\(\sqrt{x} = t - 1\)，两边平方得\(x = (t - 1)^2\)（\(t \geq 1\)）；

3. 代入已知式：\(f(t) = (t - 1)^2 + 2(t - 1)\)；

4. 化简：\((t^2 - 2t + 1) + 2t - 2 = t^2 - 1\)；

5. 将\(t\)换回\(x\)，结合\(t \geq 1\)，故\(f(x) = x^2 - 1\)（\(x \geq 1\)）。

例题9：一次型复合函数：已知\(f(2x - 3) = 4x + 5\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 令\(t = 2x - 3\)，则\(t \in \mathbb{R}\)（一次函数值域为\(\mathbb{R}\)）；

2. 反解\(x\)：\(x = \frac{t + 3}{2}\)；

3. 代入已知式：\(f(t) = 4 \cdot \frac{t + 3}{2} + 5 = 2(t + 3) + 5 = 2t + 6 + 5 = 2t + 11\)；

4. 将\(t\)换回\(x\)，故\(f(x) = 2x + 11\)（\(x \in \mathbb{R}\)）。

例题10：分式型复合函数：已知\(f\left(\frac{x + 1}{x}\right) = \frac{x^2 + 1}{x^2} + \frac{1}{x}\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 先化简已知式：\(\frac{x^2 + 1}{x^2} + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}\)；

2. 令\(t = \frac{x + 1}{x} = 1 + \frac{1}{x}\)，则\(\frac{1}{x} = t - 1\)，且\(t \neq 1\)（因\(\frac{1}{x} \neq 0\)）；

3. 代入化简后的式子：\(1 + (t - 1)^2 + (t - 1) = 1 + (t^2 - 2t + 1) + t - 1 = t^2 - t + 1\)；

4. 故\(f(t) = t^2 - t + 1\)（\(t \neq 1\)），换回\(x\)得\(f(x) = x^2 - x + 1\)（\(x \neq 1\)）。

例题11：指数型复合函数：已知\(f(2^x) = x^2 - 2x\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 令\(t = 2^x\)，则\(t > 0\)（指数函数值域为\((0, +\infty)\)）；

2. 反解\(x\)：两边取以2为底的对数，得\(x = \log_2 t\)；

3. 代入已知式：\(f(t) = (\log_2 t)^2 - 2\log_2 t\)；

4. 换回\(x\)，故\(f(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x\)（\(x > 0\)）。

四、消元法（解方程组法）求函数解析式

适用场景：已知函数满足“对称或循环”的关系式（如\(f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = x\)、\(f(x) - f(-x) = 2x\)等），通过构造多个方程消去其他形式的函数（如\(f\left(\frac{1}{x}\right)\)、\(f(-x)\)），从而解出\(f(x)\)。

解题核心：根据已知关系式的结构，用“替换自变量”的方式（如将\(x\)换为\(\frac{1}{x}\)、\(-x\)、\(x + 1\)等）构造第二个方程，再将两个方程视为关于\(f(x)\)和“其他函数”的方程组，通过加减消元求解\(f(x)\)。

解题步骤：

1. 设已知关系式为方程①（如\(f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x\)）；

2. 根据关系式的结构，替换自变量（如将\(x\)换为\(\frac{1}{x}\)），得到方程②（如\(f\left(\frac{1}{x}\right) + 2f(x) = \frac{3}{x}\)）；

3. 将方程①和②组成方程组，消去“其他函数”（如\(f\left(\frac{1}{x}\right)\)）；

4. 解方程组得到\(f(x)\)的表达式，并标注定义域（需满足原关系式中所有自变量的限制）。

例题12：\(f(x)\)与\(f\left(\frac{1}{x}\right)\)的关系

已知\(f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x\)（\(x \neq 0\)），求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 设原式为方程①：\(f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right) = 3x\)；

2. 将\(x\)换为\(\frac{1}{x}\)，得方程②：\(f\left(\frac{1}{x}\right) + 2f(x) = \frac{3}{x}\)；

3. 消去\(f\left(\frac{1}{x}\right)\)：方程②×2 - 方程①，得：

\(2\left[f\left(\frac{1}{x}\right) + 2f(x)\right] - \left[f(x) + 2f\left(\frac{1}{x}\right)\right] = 2 \cdot \frac{3}{x} - 3x\)

化简：\(2f\left(\frac{1}{x}\right) + 4f(x) - f(x) - 2f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{6}{x} - 3x\)

即\(3f(x) = \frac{6}{x} - 3x \implies f(x) = \frac{2}{x} - x\)；

4. 定义域：\(x \neq 0\)，故\(f(x) = \frac{2}{x} - x\)（\(x \neq 0\)）。

例题13：\(f(x)\)与\(f(-x)\)的关系（非奇偶函数）

已知\(f(x) - f(-x) = 2x\)，且\(f(x) + f(-x) = 4x^2\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 设方程①：\(f(x) - f(-x) = 2x\)；方程②：\(f(x) + f(-x) = 4x^2\)；

2. 消去\(f(-x)\)：方程① + 方程②，得：

\(2f(x) = 4x^2 + 2x \implies f(x) = 2x^2 + x\)；

3. 验证：\(f(-x) = 2x^2 - x\)，则\(f(x) - f(-x) = 2x\)，\(f(x) + f(-x) = 4x^2\)，均满足；

故\(f(x) = 2x^2 + x\)（\(x \in \mathbb{R}\)）。

例题14：\(f(x)\)与\(f(x + 1)\)的关系

已知\(f(x + 1) = 2f(x) + 1\)，且\(f(1) = 1\)，求\(f(x)\)的解析式（\(x\)为正整数，可推广到实数）。

解：

1. 设方程①：\(f(x + 1) = 2f(x) + 1\)；

2. 构造递推关系（正整数情况）：

\(f(2) = 2f(1) + 1 = 3\)；

\(f(3) = 2f(2) + 1 = 7\)；

推测\(f(x) = 2^x - 1\)（验证：\(f(1)=2^1 -1=1\)，\(f(2)=2^2 -1=3\)，符合）；

3. 实数情况：方程①变形为\(f(x + 1) + 1 = 2(f(x) + 1)\)，令\(g(x) = f(x) + 1\)，则\(g(x + 1) = 2g(x)\)（指数函数特征）；

由\(f(1)=1\)得\(g(1)=2\)，故\(g(x)=2^x\)，因此\(f(x)=2^x -1\)；

4. 故\(f(x)=2^x -1\)（\(x \in \mathbb{R}\)）。

例题15：\(f(x)\)与\(f\left(\frac{x - 1}{x}\right)\)的关系

已知\(f(x) = 2f\left(\frac{x - 1}{x}\right) + x\)（\(x \neq 0,1\)），求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 设方程①：\(f(x) = 2f\left(\frac{x - 1}{x}\right) + x\)；

2. 将\(x\)换为\(\frac{x - 1}{x}\)，得方程②：\(f\left(\frac{x - 1}{x}\right) = 2f\left(\frac{\frac{x - 1}{x} - 1}{\frac{x - 1}{x}}\right) + \frac{x - 1}{x}\)；

化简分母内的表达式：\(\frac{\frac{x - 1 - x}{x}}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{-1}{x - 1} = \frac{1}{1 - x}\)，故方程②为：\(f\left(\frac{x - 1}{x}\right) = 2f\left(\frac{1}{1 - x}\right) + \frac{x - 1}{x}\)；

3. 再将\(x\)换为\(\frac{1}{1 - x}\)，得方程③：\(f\left(\frac{1}{1 - x}\right) = 2f\left(\frac{\frac{1}{1 - x} - 1}{\frac{1}{1 - x}}\right) + \frac{1}{1 - x}\)；

化简分母内的表达式：\(\frac{\frac{1 - (1 - x)}{1 - x}}{\frac{1}{1 - x}} = x\)，故方程③为：\(f\left(\frac{1}{1 - x}\right) = 2f(x) + \frac{1}{1 - x}\)；

4. 将方程③代入方程②，再代入方程①，消去\(f\left(\frac{x - 1}{x}\right)\)和\(f\left(\frac{1}{1 - x}\right)\)：

方程②变为\(f\left(\frac{x - 1}{x}\right) = 2\left[2f(x) + \frac{1}{1 - x}\right] + \frac{x - 1}{x} = 4f(x) + \frac{2}{1 - x} + \frac{x - 1}{x}\)；

代入方程①：\(f(x) = 2\left[4f(x) + \frac{2}{1 - x} + \frac{x - 1}{x}\right] + x\)；

展开化简：\(f(x) = 8f(x) + \frac{4}{1 - x} + \frac{2(x - 1)}{x} + x\)；

移项得：\(-7f(x) = \frac{4}{1 - x} + \frac{2x - 2}{x} + x\)；

通分右边：\(\frac{-4x + (2x - 2)(1 - x) + x^2(1 - x)}{x(1 - x)} = \frac{-7x^2 + 4x - 2}{x(1 - x)}\)；

故\(f(x) = \frac{7x^2 - 4x + 2}{7x(x - 1)}\)（\(x \neq 0,1\)）。

五、赋值法求函数解析式

适用场景：已知函数满足抽象的“恒等式”（如\(f(x + y) = f(x) + f(y)\)、\(f(xy) = f(x) + f(y)\)），且需求具体表达式（通常结合函数类型，如一次函数、对数函数），通过给自变量赋“特殊值”（如\(x = 0\)、\(x = 1\)、\(y = -x\)等）推导\(f(x)\)。

解题核心：利用特殊值（如\(x = 0\)求\(f(0)\)，\(x = 1\)求\(f(1)\)，\(y = -x\)推导奇偶性等）简化恒等式，逐步逼近\(f(x)\)的表达式，最后验证是否满足原恒等式。

解题步骤：

1. 给自变量赋特殊值（如\(x = 0\)，\(y = 0\)），代入恒等式求\(f(0)\)、\(f(1)\)等特殊点的函数值；

2. 结合函数可能的类型（如由\(f(x + y) = f(x) + f(y)\)推测为一次函数），设出解析式（如\(f(x) = kx\)）；

3. 代入恒等式验证，确定系数（如将\(f(x) = kx\)代入\(f(x + y) = f(x) + f(y)\)，得\(k(x + y) = kx + ky\)，恒成立，再结合其他条件求\(k\)）；

4. 确认解析式满足所有已知条件，标注定义域。

例题16：抽象一次函数（\(f(x + y) = f(x) + f(y)\)）

已知函数\(f(x)\)对任意实数\(x, y\)满足\(f(x + y) = f(x) + f(y)\)，且\(f(1) = 2\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 赋值\(x = 0\)，\(y = 0\)：\(f(0 + 0) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 0\)；

2. 赋值\(y = -x\)：\(f(x + (-x)) = f(x) + f(-x) \implies f(0) = f(x) + f(-x) \implies f(-x) = -f(x)\)，即\(f(x)\)是奇函数；

3. 推测\(f(x)\)是一次函数（因\(f(x + y) = f(x) + f(y)\)是线性恒等式），设\(f(x) = kx\)；

4. 代入\(f(1) = 2\)：\(k \cdot 1 = 2 \implies k = 2\)，故\(f(x) = 2x\)；

5. 验证：\(f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y)\)，满足恒等式；

故\(f(x) = 2x\)（\(x \in \mathbb{R}\)）。

例题17：抽象对数函数（\(f(xy) = f(x) + f(y)\)）

已知函数\(f(x)\)对任意正实数\(x, y\)满足\(f(xy) = f(x) + f(y)\)，且\(f(2) = 1\)，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 赋值\(x = 1\)，\(y = 1\)：\(f(1 \cdot 1) = f(1) + f(1) \implies f(1) = 0\)；

2. 推测\(f(x)\)是对数函数（因\(f(xy) = f(x) + f(y)\)是对数函数的性质），设\(f(x) = \log_a x\)（\(a > 0\)且\(a \neq 1\)）；

3. 代入\(f(2) = 1\)：\(\log_a 2 = 1 \implies a = 2\)，故\(f(x) = \log_2 x\)；

4. 验证：\(f(xy) = \log_2(xy) = \log_2 x + \log_2 y = f(x) + f(y)\)，满足恒等式；

故\(f(x) = \log_2 x\)（\(x > 0\)）。

六、图像法求函数解析式

适用场景：已知函数的图像特征（如图像过某点、与坐标轴的交点、顶点、单调性、奇偶性等），通过图像对应的函数类型或几何意义推导解析式。

解题核心：先根据图像形状判断函数类型（如直线对应一次函数、抛物线对应二次函数、双曲线对应反比例函数），再结合图像上的关键点（如顶点、交点）用“待定系数法”求解析式。

解题步骤：

1. 观察图像形状，确定函数类型（如抛物线开口向上，判断为二次函数）；

2. 选取图像上的关键点点（如二次函数需3个点，一次函数需2个点），记录其坐标\((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)等；

3. 设出对应函数的标准解析式，代入关键点坐标列方程（组）；

4. 解方程组确定系数，得到解析式，再验证是否与图像其他特征（如单调性、最值）一致。

例题18：二次函数图像

已知二次函数\(f(x)\)的图像过点\((-1, 0)\)、\((3, 0)\)，且最大值为4，求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 图像过\((-1, 0)\)和\((3, 0)\)，故零点为\(x_1 = -1\)，\(x_2 = 3\)，设零点式\(f(x) = a(x + 1)(x - 3)\)（\(a \neq 0\)）；

2. 求顶点：二次函数的对称轴为\(x = \frac{-1 + 3}{2} = 1\)，最大值在\(x = 1\)处，即\(f(1) = 4\)；

3. 代入\(x = 1\)：\(f(1) = a(1 + 1)(1 - 3) = a \cdot 2 \cdot (-2) = -4a = 4 \implies a = -1\)；

4. 展开解析式：\(f(x) = -1 \cdot (x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3\)；

5. 验证：最大值为\(f(1) = -1 + 2 + 3 = 4\)，过\((-1,0)\)和\((3,0)\)，满足条件；

故\(f(x) = -x^2 + 2x + 3\)（\(x \in \mathbb{R}\)）。

七、分段函数解析式法

适用场景：已知函数在不同“定义域区间”上的对应法则不同（即分段函数），需分别求每个区间上的解析式，再整合为分段形式。

解题核心：针对每个定义域子区间，根据该区间的已知条件（如函数类型、过某点、与另一区间的衔接关系）求解析式，注意“分段点”的函数值需满足“不重不漏”（即分段点在哪个区间，就用哪个区间的解析式计算，且左右极限需符合函数连续性要求，若题目未说明连续，则只需保证各区间内解析式正确）。

解题步骤：

1. 明确分段函数的定义域划分（如\(x < 0\)、\(x = 0\)、\(x > 0\)）；

2. 对每个子区间（如\(x > 0\)），根据已知条件（如“\(x > 0\)时，\(f(x)\)是一次函数且过点\((1,2)\)”）求该区间的解析式；

3. 处理分段点（如\(x = 0\)），若已知\(f(0)\)的值，直接标注；若未知，需根据函数连续性（若题目隐含）推导；

4. 将各区间的解析式整合为分段函数形式，标注完整定义域。

例题19：分段函数（已知各区间性质）

已知函数\(f(x)\)是分段函数：①当\(x > 0\)时，\(f(x)\)是一次函数，且过点\((1, 3)\)、\((2, 5)\)；②当\(x = 0\)时，\(f(0) = 2\)；③当\(x < 0\)时，\(f(x) = -f(-x)\)（奇函数在负区间的性质）。求\(f(x)\)的解析式。

解：

1. 求\(x > 0\)时的解析式：

设一次函数\(f(x) = ax + b\)（\(a \neq 0\)），代入\((1,3)\)、\((2,5)\)：

\(\begin{cases} a + b = 3 \\ 2a + b = 5 \end{cases}\)，解得\(a = 2\)，\(b = 1\)，故\(x > 0\)时，\(f(x) = 2x + 1\)；

2. \(x = 0\)时，已知\(f(0) = 2\)；

3. 求\(x < 0\)时的解析式：

取\(x < 0\)，则\(-x > 0\)，由①得\(f(-x) = 2(-x) + 1 = -2x + 1\)；

由③\(f(x) = -f(-x)\)，得\(f(x) = -(-2x + 1) = 2x - 1\)；

4. 整合为分段函数：

\(f(x) = \begin{cases}2x + 1 & (x > 0) \\2 & (x = 0) \\2x - 1 & (x < 0)\end{cases}\)

八、利用函数性质法求函数解析式

适用场景：已知函数的某类性质（如奇偶性、单调性、周期性），结合部分区间的解析式，求另一区间的解析式（常见于奇偶函数：已知\(x > 0\)时的解析式，求\(x < 0\)时的解析式）。

解题核心：利用性质建立“已知区间”与“未知区间”的函数值关系（如奇函数\(f(-x) = -f(x)\)，偶函数\(f(-x) = f(x)\)），通过“自变量替换”（如将\(x < 0\)转化为\(-x > 0\)，利用\(x > 0\)的解析式求\(f(-x)\)，再结合奇偶性求\(f(x)\)）。

解题步骤：

1. 明确已知的函数性质（如奇函数\(f(-x) = -f(x)\)）和已知区间的解析式（如\(x > 0\)时，\(f(x) = x^2 - 2x\)）；

2. 取未知区间内的任意\(x\)（如求\(x < 0\)时的解析式，取\(x < 0\)，则\(-x > 0\)，属于已知区间）；

3. 利用已知区间的解析式求\(f(-x)\)（如\(f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x\)）；

4. 结合函数性质推导未知区间的解析式（如奇函数\(f(x) = -f(-x) = -x^2 - 2x\)）；

5. 处理分段点（如\(x = 0\)，奇函数满足\(f(0) = 0\)），整合为完整解析式。