平面几何总结：构造三角形全等

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构造三角形全等是平面几何中解决线段、角相等及位置关系问题的核心技巧，核心思路是通过添加辅助线，创造满足全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的条件，将分散的线段或角集中到可关联的三角形中。

一、利用中点/中线构造全等（倍长中线法）

当题目中出现中点、中线时，通过倍长中线（或倍长类中线）构造全等三角形，利用“SAS”判定定理证明，是最常用的构造方法之一。

1. 倍长中线法

原理：延长三角形的中线至一倍长度，使延长后的线段与中线相等，连接对应点，构造出以中线为一边的SAS型全等三角形。

适用场景：已知三角形的中线，需证明线段相等、角相等或线段的和差关系。

例子：在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证AB + AC > 2AD。

构造方法：延长AD至E，使DE = AD，连接BE。

证明：∵AD是中线，∴BD = CD；又∠ADC = ∠EDB（对顶角相等），AD = DE，∴△ADC≌△EDB（SAS），得AC = BE。在△ABE中，AB + BE > AE，即AB + AC > 2AD。

2. 倍长类中线法

原理：若线段不是中线，但与中点相关（如某边的中点与顶点的连线），同样延长该线段至一倍长度，构造SAS全等。

适用场景：存在中点但非中线的线段，需转化线段位置。

二、利用角平分线构造全等

角平分线是角的对称轴，借助角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），通过作垂线或截取等长线段构造全等三角形。

1. 角平分线上作垂线（AAS/HL）

原理：过角平分线上的点向角的两边作垂线，得到两条垂线段相等，结合角平分线为公共边，构造AAS（或HL）型全等三角形。

适用场景：已知角平分线，需证明线段相等或角相等。

例子：AD是∠BAC的平分线，P是AD上一点，PB⊥AB于B，PC⊥AC于C，求证PB = PC。

构造方法：作PB⊥AB、PC⊥AC。

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠PAB = ∠PAC；又∠PBA = ∠PCA = 90°，AP = AP，∴△APB≌△APC（AAS），得PB = PC。

2. 角平分线截取等长线段（SAS）

原理：在角的一边上截取与另一边某段等长的线段，连接截取点与角平分线上的点，构造SAS型全等三角形。

适用场景：已知角平分线，需将角两边的线段转化到同一三角形中。

例子：AD是∠BAC的平分线，AB > AC，求证AB - AC = BD - CD。

构造方法：在AB上截取AE = AC，连接DE。

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD = ∠CAD；又AE = AC，AD = AD，∴△AED≌△ACD（SAS），得DE = CD，∠AED = ∠ACD。再结合三角形外角性质，可推导BD - DE = BE = AB - AC，即AB - AC = BD - CD。

三、利用平行线构造全等

通过作平行线，创造相等的角（同位角、内错角），结合已知线段相等的条件，构造ASA/AAS型全等三角形。

1. 过顶点作平行线

原理：过三角形的某一顶点作对边的平行线，利用平行线的性质得到等角，再结合已知条件构造全等。

适用场景：需证明角相等或线段的比例关系，且存在可平行的边。

例子：在△ABC中，AB = AC，D是BC上一点，E是AD上一点，∠BED = ∠CED，求证BD = CD。

构造方法：过C作CF∥AB交AD的延长线于F。

证明：∵CF∥AB，∴∠BAD = ∠CFD；又∠BED = ∠CED，∠BED = ∠BAE + ∠ABE，∠CED = ∠CAE + ∠ACE，且AB = AC，∠BAE = ∠CAE，∴∠ABE = ∠ACE。结合AAS可证△ABE≌△ACF，再推导△BDE≌△CDF，得BD = CD。

2. 过动点作平行线

原理：过线段上的动点作某边的平行线，构造出小三角形与原三角形相似，再结合已知条件转化为全等。

适用场景：动点在线段上，需证明线段的和差或比例关系。

四、利用截长补短构造全等

在证明线段和差关系（如\(a = b + c\)）时，通过截长（在长线段上截短线段）或补短（延长短线段），构造出全等三角形，证明剩余线段相等。

1. 截长法构造全等

原理：在最长线段上截取一段等于其中一条短线段，连接截取点与相关顶点，构造SAS/ASA/AAS型全等，证明剩余段等于另一条短线段。

例子：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，求证BC = AC + CD。

构造方法：在BC上截取BE = AC（因AC=BC，实际截取BE=BC，此处调整为在AB上截取AE = AC），连接DE。

证明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD = ∠CAD；又AE = AC，AD = AD，∴△AED≌△ACD（SAS），得DE = CD，∠AED = ∠C=90°。又AC=BC，∠B=45°，∴△BDE为等腰直角三角形，DE=BE，故AB = AE + BE = AC + CD（原题可调整为AB = AC + CD，更贴合截长法）。

2. 补短法构造全等

原理：延长其中一条短线段至与另一条短线段等长，连接延长后的端点与相关顶点，构造SAS/ASA/AAS型全等，证明延长后的线段等于最长线段。

例子：同上题，补短法构造：延长AC至E，使CE = CD，连接DE。

证明：∵∠C=90°，CE=CD，∴∠E=45°=∠B；又AD平分∠BAC，∠BAD=∠EAD，AD=AD，∴△ABD≌△AED（AAS），得AB = AE = AC + CE = AC + CD。

五、利用旋转构造全等

当题目中出现共顶点的等长线段（如正方形的边、等边三角形的边）时，通过旋转一定角度（通常为60°、90°），将分散的线段旋转至同一位置，构造SAS型全等三角形。

1. 旋转90°（正方形/等腰直角三角形）

原理：以正方形的顶点为旋转中心，将三角形旋转90°，利用正方形的边长相等、角为90°的条件，构造SAS全等。

适用场景：正方形、等腰直角三角形中，需证明线段和差或垂直关系。

例子：在正方形ABCD中，P是内部一点，PA=1，PB=2，PC=3，求证∠APB=135°。

构造方法：将△BPC绕B点逆时针旋转90°得到△BP'A，连接PP'。

证明：∵旋转，∴BP' = BP=2，P'A=PC=3，∠PBP'=90°，∴△PBP'为等腰直角三角形，∠BPP'=45°，PP' = \(2\sqrt{2}\)。在△APP'中，PA² + PP'² = 1 + 8 = 9 = P'A²，∴∠APP'=90°，故∠APB=∠APP'+∠BPP'=135°。