基于“全等三角形”的辅助线

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全等三角形的判定依赖“边、角对应相等”，但很多几何问题中，直接可用的对应边、对应角往往不明显。此时，辅助线的核心作用是“构造满足全等条件的图形”——通过添加线段，补充缺失的边或角，将分散的条件集中到两个三角形中，使其满足SSS、SAS、ASA、AAS、HL等判定定理。以下按辅助线的功能分类，详细讲解所有基于全等三角形的辅助线作法、原理、适用场景及示例。

一、“倍长中线”类辅助线：构造SAS全等，转移线段与角

“中线”是三角形中连接顶点与对边中点的线段，其核心特点是“中点分线段相等”（如AD是△ABC的中线，则BD=CD）。“倍长中线”的思路是延长中线至两倍长度，使延长后的线段与原中线构成对顶角相等，结合中点的“BD=CD”，构造SAS全等三角形，进而将原三角形的一边（如AB）转移到新三角形中，实现“线段或角的转移”。

作法

在△ABC中，AD是BC边上的中线（D为BC中点，BD=CD），延长AD至点E，使DE=AD，连接BE（或CE），形成△CDE与△BDA（或△BDE与△CDA）。

原理

已知AD是中线→BD=CD（中点定义）；

延长AD使DE=AD→AD=DE（构造的相等线段）；

对顶角相等→∠ADC=∠EDB（或∠ADB=∠EDC）；

满足SAS判定→△ADC≌△EDB（或△ADB≌△EDC）；

全等性质→AC=BE（或AB=CE），∠C=∠EBD（或∠B=∠ECD）——实现“线段AC（或AB）的转移”和“角C（或角B）的转移”。

适用场景

题目中明确给出“中线”（或隐含“中点”，如某线段被一点平分）；

需证明“某线段等于另一条线段的两倍”（如证明AB=2AD，可通过倍长AD构造全等，将2AD转化为AE，再证明AE=AB）；

需转移分散的角或线段（如将△ABC中AC边的条件转移到△EBD中，与AB边集中）。

示例

已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=5，AC=3，求AD的取值范围。

作法：延长AD至E，使DE=AD，连接BE。

因AD是中线，故BD=CD；又AD=DE，∠ADC=∠EDB（对顶角），故△ADC≌△EDB（SAS）；

由全等得BE=AC=3（线段转移）；

在△ABE中，根据三角形三边关系：AB-BE < AE < AB+BE，即5-3 < 2AD < 5+3（因AE=AD+DE=2AD）；

化简得1 < AD < 4，即AD的取值范围为1<AD<4。

二、“截长补短”类辅助线：构造SAS/ASA全等，解决“和差关系”问题

当题目中出现“某线段等于另外两条线段之和（如AB=CD+EF）”或“某线段等于另外两条线段之差（如AB=CD-EF）”时，直接证明难以入手。“截长”与“补短”的核心思路是将“和差关系”转化为“线段相等”，再构造全等三角形证明。

1. 截长法：在长线段上截取一段等于短线段，构造全等

作法

已知需证明“AB=CD+EF”（AB为长线段，CD、EF为短线段），在AB上截取AG=CD，再证明剩余部分GB=EF（需构造△AGX≌△CDY，进而推导GB=EF）。

原理

截取AG=CD（构造的相等线段）；

结合题目已知条件（如角相等、公共边），证明△AGM≌△CDN（如SAS：AG=CD，∠A=∠C，AM=CN）；

由全等得GM=DN（或∠AGM=∠CDN），再利用这些结论证明△GBM≌△EFN（如ASA：∠GBM=∠EFN，∠GMB=∠ENF，GM=DN），最终得GB=EF；

因此AB=AG+GB=CD+EF，完成“和差”证明。

适用场景

长线段的一个端点与某短线段的端点有公共角（便于构造SAS/ASA全等）；

需证明“线段和”，且长线段可直接截取短线段。

2. 补短法：将短线段延长至与长线段相等，构造全等

作法

已知需证明“AB=CD+EF”（AB为长线段），延长CD至点H，使DH=EF，再证明CH=AB（需构造△CHM≌△ABN）。

原理

延长CD至H，使DH=EF（构造的相等线段）；

结合已知条件，证明△DHM≌△EFM（如AAS：∠HDM=∠FEM，∠DHM=∠EFM，DH=EF），得HM=FM（或∠H=∠F）；

再证明△CHM≌△ABN（如SSS：CH=AB，CM=AN，HM=BN；或SAS：CH=AB，∠C=∠A，CM=AN）；

由全等得CH=AB，而CH=CD+DH=CD+EF，故AB=CD+EF。

适用场景

短线段延长后，可与长线段形成明显的对应角或公共边；

需证明“线段差”（如AB-CD=EF，可转化为AB=CD+EF，再用补短法）。

示例

已知：在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，交BC于D，证明AB+BD=AC。

作法（截长法）：在AC上截取AE=AB，连接DE。

因AD平分∠BAC，故∠BAD=∠EAD；

又AB=AE，AD=AD（公共边），故△BAD≌△EAD（SAS）；

由全等得BD=ED，∠B=∠AED（转移角和线段）；

已知∠B=2∠C，故∠AED=2∠C；

又∠AED=∠C+∠EDC（三角形外角性质），故2∠C=∠C+∠EDC→∠C=∠EDC；

因此ED=EC（等角对等边），而ED=BD，故BD=EC；

最终AC=AE+EC=AB+BD，得证。

三、“作垂线”类辅助线：构造HL/AAS全等，利用直角条件

当题目中出现“角平分线”“直角”“线段垂直”等条件时，“作垂线”可直接构造直角三角形，利用HL（直角三角形专属）或AAS（直角+一组角+一组边）证明全等，核心是“通过垂直得到相等的直角（∠90°）”，补充全等所需的角条件。

1. 角平分线上作垂线：构造AAS全等（角平分线性质）

作法

已知OC是∠AOB的平分线，过OC上一点P，作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，形成Rt△PDO与Rt△PEO。

原理

角平分线定义→∠POD=∠POE；

作垂线→∠PDO=∠PEO=90°（直角相等）；

公共边→PO=PO；

满足AAS判定→Rt△PDO≌Rt△PEO；

全等性质→PD=PE（角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等），OD=OE（转移线段）。

适用场景

题目中存在“角平分线”，需证明“点到角两边的距离相等”；

需利用角平分线转移线段（如OD=OE）或角（如∠OPD=∠OPE）。

2. 线段两端作垂线：构造HL/AAS全等（直角+边相等）

作法

已知线段AB，过A作AC⊥AD于A，过B作BD⊥AD于D，或过AB两侧的点C、D分别作AB的垂线，形成Rt△ACB与Rt△DBA。

原理

作垂线→∠CAB=∠DBA=90°（直角相等）；

若已知AC=BD，AB=BA（公共边），则满足HL→Rt△ACB≌Rt△DBA；

若已知∠C=∠D，AB=BA，则满足AAS→Rt△ACB≌Rt△DBA；

全等性质→BC=AD（转移线段），∠ABC=∠BAD（转移角）。

适用场景

需证明“两条线段相等”，且这两条线段分别在两个直角三角形中（可通过作垂线构造直角）；

题目中隐含“直角”条件（如矩形、正方形的内角，或垂直关系），需补充直角三角形的全等条件。

示例

已知：在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，证明AB=AC。

作法：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

因AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，故DE=DF（角平分线性质），且∠DEB=∠DFC=90°；

已知BD=CD，故Rt△DEB≌Rt△DFC（HL，直角边DE=DF，斜边BD=CD）；

由全等得∠B=∠C（转移角）；

因此AB=AC（等角对等边），得证。

四、“平移、旋转、对称”类辅助线：构造全等，转移图形位置

这类辅助线的核心是利用图形变换的性质（平移、旋转、对称后，对应边、对应角相等），将一个三角形“移动”到与另一个三角形重合的位置，直接构造全等。适用于图形中存在“相等的边”“固定的角”（如60°、90°）或“对称关系”的场景。

1. 平移构造全等：利用“平移后对应边平行且相等”

作法

在△ABC中，若需将AB边平移至DE位置，过D作DE∥AB且DE=AB，连接BE、CE，形成△ABC与△EDC。

原理

平移性质→AB∥DE且AB=DE，故四边形ABED是平行四边形（两组对边平行且相等）；

平行四边形性质→AD∥BE且AD=BE（转移线段）；

若已知BC=DC，∠ABC=∠EDC（由AB∥DE得内错角相等），则满足SAS→△ABC≌△EDC；

全等性质→AC=EC（转移线段），∠ACB=∠ECD（转移角）。

适用场景

需将分散的边（如AB与DC）集中到同一三角形中，且两边平行或可构造平行；

题目中存在“平行线”条件，可通过平移补充全等所需的边或角。

2. 旋转构造全等：利用“旋转后对应边、对应角相等”

作法

已知△ABC中，AB=AD，∠BAD=60°（或90°），将△ABC绕点A旋转60°（或90°），使AB与AD重合，得到△ADE，形成△ABC≌△ADE。

原理

旋转定义→旋转角相等（∠BAC=∠DAE），对应边相等（AB=AD，AC=AE，BC=DE）；

若旋转角为60°，则△ABD为等边三角形（AB=AD，∠BAD=60°），得BD=AB（补充边相等）；

结合已知条件（如∠B=∠D），可满足SAS/ASA→△ABC≌△ADE；

全等性质→BC=DE（转移线段），∠ACB=∠AED（转移角）。

适用场景

题目中存在“相等的线段”（如AB=AD），且线段夹角为特殊角（60°、90°，便于构造等边/等腰直角三角形）；

需将某条线段（如BC）绕固定点旋转后与另一条线段（如DE）重合，集中条件。

示例

已知：在正方形ABCD中，E是BC上一点，F是CD上一点，且∠EAF=45°，证明EF=BE+DF。

作法（旋转法）：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，得到△ABG（此时G在CB的延长线上）。

旋转性质→△ADF≌△ABG，故DF=BG，AF=AG，∠DAF=∠BAG；

正方形中∠DAB=90°，∠EAF=45°，故∠DAF+∠BAE=45°→∠BAG+∠BAE=45°，即∠EAG=∠EAF=45°；

又AE=AE（公共边），故△AEF≌△AEG（SAS：AF=AG，∠EAF=∠EAG，AE=AE）；

由全等得EF=EG，而EG=BE+BG=BE+DF，故EF=BE+DF，得证。

3. 对称构造全等：利用“轴对称后对应边、对应角相等”

作法

已知直线l是△ABC的对称轴，作△ABC关于l的对称图形△A'B'C'，则△ABC≌△A'B'C'。

原理

轴对称性质→对应点连线被对称轴垂直平分（如AA'⊥l，且l平分AA'），对应边相等（AB=A'B'，BC=B'C'），对应角相等（∠A=∠A'，∠B=∠B'）；

若l是BC的垂直平分线，则AB=AC（等腰三角形），可构造△ABD≌△ACD（SSS：AB=AC，AD=AD，BD=CD）；

全等性质→∠BAD=∠CAD（角平分线），∠ADB=∠ADC=90°（垂直）。

适用场景

题目中存在“垂直平分线”“角平分线”或“等腰三角形”（等腰三角形的顶角平分线是对称轴）；

需证明“线段相等”或“角相等”，且图形具有对称潜力（如两边对称）。

五、“构造公共边/公共角”类辅助线：补充SSS/SAS/ASA条件

很多题目中，两个三角形缺少的全等条件是“公共边”或“公共角”，此时添加辅助线的核心是“创造一条公共边”或“构造一个公共角”，使分散的边、角集中到两个三角形中，满足全等判定。

1. 构造公共边：补充SSS或SAS条件

作法

已知线段AB，点C、D在AB两侧，连接CD，使CD与AB交于点O，或直接连接AC、AD，构造△ABC与△ABD（公共边AB）。

原理

构造公共边→AB=AB（或CD=CD）；

若已知AC=AD，BC=BD，则满足SSS→△ABC≌△ABD；

若已知AC=AD，∠CAB=∠DAB，则满足SAS→△ABC≌△ABD；

全等性质→∠C=∠D（转移角），BC=BD（转移线段）。

适用场景

两个三角形有一组边相等（如AC=AD），但缺少公共边，需通过连接线段构造公共边；

需证明“两条线段相等”（如BC=BD），且这两条线段分别在两个三角形中，可通过公共边关联。

2. 构造公共角：补充ASA或AAS条件

作法

已知∠A，在∠A的两边上取点B、C和D、E，使AB=AD，AC=AE，连接BE、CD，构造△ABE与△ADC（公共角∠A）。

原理

构造公共角→∠BAE=∠DAC（同一角或对顶角，视为公共角）；

若已知AB=AD，AC=AE，则满足SAS→△ABE≌△ADC；

若已知∠B=∠D，AB=AD，则满足ASA→△ABE≌△ADC；

全等性质→BE=CD（转移线段），∠AEB=∠ACD（转移角）。

适用场景

两个三角形有一组角相等（或可构造相等角），但缺少公共角，需通过调整线段位置构造公共角；

需证明“两条线段相等”（如BE=CD），且这两条线段对应的角可通过公共角关联。

示例

已知：AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，证明BC=DE。

作法：连接BC、DE（构造△ABC与△ADE）。

因∠BAD=∠CAE，故∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC（等式性质），即∠BAC=∠DAE（构造公共角的等角）；

已知AB=AD，AC=AE，故△ABC≌△ADE（SAS）；

由全等得BC=DE，得证。

六、基于全等三角形的辅助线核心原则与总结

全等三角形辅助线的本质是“补全全等条件”——题目中若缺少SSS、SAS、ASA、AAS、HL中的某一个条件，辅助线就针对性补充该条件，核心原则如下：

1. 见中线，倍延长（造SAS）：中线的“中点分线段相等”+“倍长后的线段相等”+“对顶角相等”，直接满足SAS，是转移线段的首选；

2. 见和差，截或补（造SAS/ASA）：线段和差需转化为“单一线段相等”，截长法在长线段上取短线段，补短法延长短线段至长线段，再用SAS/ASA证明全等；

3. 见角分线，作垂线（造AAS/HL）：角平分线+垂线→点到两边距离相等，构造直角三角形，用AAS（角+直角+公共边）或HL（直角边+斜边）证明全等；

4. 见等线段，旋或移（造全等）：相等线段可作为旋转的“对应边”，旋转后对应角相等，或平移后对应边平行，快速构造全等；

5. 缺公共边/角，巧构造（补条件）：通过连接线段造公共边（补SSS/SAS），或通过等式性质造公共角（补ASA/AAS），填补全等的缺失条件。

实际解题中，需先观察“现有条件能满足全等的哪几个条件”（如已有一边一角，缺另一边或另一角），再根据上述原则选择辅助线，将分散的边、角集中到两个三角形中，最终通过全等性质推导所需结论。

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