梯形的 5 类辅助线

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梯形是只有一组对边平行（称为“底”，平行的两边分别为上底和下底）、另一组对边不平行（称为“腰”）的四边形。

由于梯形的对边平行关系特殊，直接利用已知条件解题往往受限，因此辅助线是转化梯形问题的核心工具——通过添加辅助线，可将梯形转化为三角形、平行四边形、矩形等更易处理的基本图形，进而利用三角形全等/相似、平行四边形性质等知识求解。

一、“平移腰”类辅助线：转化腰与底的关系，构造平行四边形与三角形

平移腰是梯形中最基础的辅助线之一，核心思路是将梯形的一条腰（或两条腰）沿水平方向平移，使不平行的腰转化为三角形的边，同时构造平行四边形，将上底与下底的长度关系转化为三角形的边长。根据平移腰的数量，可分为“平移一腰”和“平移两腰”两种情况。

1. 平移一腰：单腰平移，构造“平行四边形+三角形”

作法

过梯形的一个顶点（通常是上底的一个端点），作另一条腰的平行线，与下底（或下底的延长线）相交，形成一个平行四边形和一个三角形。

例如：在梯形ABCD中，AD∥BC（AD为上底，BC为下底），AB、CD为腰。过点A作AE∥CD，交BC于点E。

原理

由AD∥BC、AE∥CD，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可得四边形AECD是平行四边形。

平行四边形性质：AE=CD（平移后，对应腰相等）、AD=EC（上底等于平行四边形的一组对边）。

剩余部分△ABE中，BE=BC-EC=BC-AD（下底与上底的差转化为三角形的一条边），AB为原梯形的另一条腰，AE=CD（原梯形的腰），因此△ABE的三边分别对应梯形的“两腰”和“下底-上底”。

适用场景

已知梯形的两腰长度、上底与下底的长度，求梯形的内角（如顶角、底角）。

已知梯形的一个底角、腰长，求上底与下底的长度差，或求梯形的高。

示例

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，CD=3，BC=10，AD=4，求∠B的度数。

作法：过A作AE∥CD交BC于E，则四边形AECD是平行四边形，故EC=AD=4，AE=CD=3。

此时BE=BC-EC=10-4=6，在△ABE中，AB=5、AE=3、BE=6，可通过余弦定理计算∠B：

cosB=(AB²+BE²-AE²)/(2×AB×BE)=(25+36-9)/(2×5×6)=52/60=13/15，故∠B=arccos(13/15)。

2. 平移两腰：双腰平移，构造“三角形+两个平行四边形”

作法

过梯形上底的两个端点，分别作两条腰的平行线，与下底相交，将下底分成三段，形成两个平行四边形和一个中间的三角形。

例如：在梯形ABCD中，AD∥BC，过A作AE∥CD交BC于E，过D作DF∥AB交BC于F。

原理

四边形ABFD和AECD均为平行四边形（两组对边分别平行），故AD=BF=EC（上底等于两段下底的部分），AE=CD、DF=AB（平移后腰相等）。

中间的△AEF中，EF=BC-BF-EC=BC-2AD（下底与两倍上底的差），AE=CD、DF=AB，因此△AEF的三边对应梯形的“两腰”和“下底-2×上底”。

若梯形为等腰梯形（AB=CD），则AE=DF，△AEF为等腰三角形，可进一步利用等腰三角形性质（底角相等、三线合一）。

适用场景

等腰梯形中，求底角、高或验证等腰梯形的对称性。

已知梯形两腰相等（等腰梯形），且已知上底、下底长度，求梯形的高或内角。

示例

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=4，AD=2，BC=6，求梯形的高。

作法：过A作AE∥CD交BC于E，过D作DF∥AB交BC于F，则BF=EC=AD=2，EF=BC-BF-EC=6-2-2=2。

因AB=CD，故DF=AE=AB=CD=4，△DFE为等腰三角形（DF=DE=4）。过D作DH⊥EF于H，由等腰三角形三线合一，EH=EF/2=1。

在Rt△DHE中，DH=√(DE²-EH²)=√(16-1)=√15，即梯形的高为√15。

二、“平移对角线”类辅助线：转化对角线关系，构造“平行四边形+三角形”

梯形的对角线不平行，且长度、夹角等关系不易直接利用，“平移对角线”的核心思路是将一条对角线沿梯形的底平移，使两条对角线集中到同一个三角形中，同时利用平行四边形性质转化对角线的长度和位置关系。

作法

过梯形的一个顶点（通常是上底的一个端点），作一条对角线的平行线，与下底的延长线相交，形成一个平行四边形和一个三角形。

例如：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD为对角线。过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E。

原理

由AD∥BC（即AD∥CE）、DE∥AC，可得四边形ACED是平行四边形（两组对边分别平行）。

平行四边形性质：DE=AC（平移后，对应对角线相等）、AD=CE（上底等于延长部分的长度）。

此时△BDE中，BE=BC+CE=BC+AD（下底与上底的和转化为三角形的一条边），BD为原梯形的另一条对角线，DE=AC（原梯形的对角线），因此△BDE的三边分别对应梯形的“两条对角线”和“上底+下底”。

若梯形的对角线垂直（AC⊥BD），则DE⊥BD，△BDE为直角三角形，可利用勾股定理；若对角线相等（等腰梯形，AC=BD），则DE=BD，△BDE为等腰三角形。

适用场景

已知梯形的两条对角线长度，求梯形的面积（利用△BDE的面积等于梯形面积，因平行四边形ACED与梯形同高，面积相等）。

已知梯形对角线的夹角（如垂直、60°角），求梯形的高或底边长。

等腰梯形中，验证对角线相等（转化为等腰三角形的腰相等）。

示例

在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=5，BD=12，AD=3，BC=9，且AC⊥BD，求梯形的面积。

作法：过D作DE∥AC交BC延长线于E，则四边形ACED是平行四边形，DE=AC=5，CE=AD=3，BE=BC+CE=12。

因AC⊥BD，故DE⊥BD，△BDE为直角三角形，其面积=1/2×BD×DE=1/2×12×5=30。

又因梯形ABCD的面积与△BDE的面积相等（同高，底分别为AD+BC和BE=AD+BC），故梯形面积=30。

三、“作高”类辅助线：转化为直角三角形与矩形，利用勾股定理

梯形的高是上下底之间的垂直距离，“作高”是将梯形转化为直角三角形和矩形的直接方法，核心思路是通过垂直关系，将梯形的腰、上底与下底的差转化为直角三角形的斜边和直角边，进而利用勾股定理求解。根据作高的数量，可分为“作一条高”和“作两条高”（最常用）。

1. 作两条高：双高垂直，构造“两个直角三角形+一个矩形”

作法

过梯形上底的两个端点，分别向下底作垂线，垂足分别为E、F，形成两个直角三角形（△ABE和△DCF）和一个矩形（AEFD）。

例如：在梯形ABCD中，AD∥BC，过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F。

原理

矩形AEFD的性质：AE=DF（梯形的高，两条高相等）、AD=EF（上底等于矩形的水平边）。

直角三角形△ABE中，AB为梯形的腰（斜边），AE为高（直角边），BE为下底的左段（直角边）；△DCF中，CD为腰（斜边），DF为高（直角边），CF为下底的右段（直角边）。

下底BC=BE+EF+CF=BE+AD+CF，因此BE+CF=BC-AD（上底与下底的差转化为两个直角三角形的水平直角边之和）。

若为等腰梯形（AB=CD），则△ABE≌△DCF（HL，AE=DF、AB=CD），故BE=CF=(BC-AD)/2（两段水平直角边相等），这是等腰梯形作高的核心结论。

适用场景

已知梯形的腰长、上底与下底的长度，求梯形的高（最常用场景）。

已知梯形的高、腰长，求上底或下底的长度。

等腰梯形中，求底角（利用直角三角形的三角函数，如sinB=高/AB）。

示例

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=5，AD=4，BC=10，求梯形的高。

作法：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，则EF=AD=4，BE=CF=(BC-EF)/2=(10-4)/2=3。

在Rt△ABE中，AE为高，由勾股定理得：AE=√(AB²-BE²)=√(25-9)=√16=4，故梯形的高为4。

2. 作一条高：单高垂直，构造“一个直角三角形+一个直角梯形”

作法

过梯形上底的一个端点（或下底的一个端点），作一条高，与对边（或对边的延长线）垂直，形成一个直角三角形和一个直角梯形。

例如：在梯形ABCD中，AD∥BC，过A作AE⊥BC于E，仅构造Rt△ABE和直角梯形AECD。

原理

直角梯形AECD中，AD∥EC，AE⊥EC，可进一步通过其他辅助线（如平移腰）转化，但单高作法通常需结合其他条件（如已知一个底角）。

适用场景较窄，多在仅需利用一个腰与高的关系时使用（如已知∠B和AB，求高AE=AB×sinB）。

四、“延长两腰”类辅助线：转化为相似三角形，利用比例关系

梯形的两腰不平行，延长后必相交于一点，“延长两腰”的核心思路是将梯形转化为两个相似三角形（原梯形的两腰延长后形成的大三角形，与上底为底的小三角形），利用相似三角形的“对应边成比例”“面积比等于相似比的平方”等性质求解。

作法

延长梯形的两条腰，使它们相交于一点，形成一个大三角形和一个小三角形（以上底为底）。

例如：在梯形ABCD中，AD∥BC，延长AB和DC，相交于点P，形成△PAD和△PBC。

原理

由AD∥BC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”，可得△PAD∽△PBC（AA相似，∠P为公共角，∠PAD=∠PBC、∠PDA=∠PCB）。

相似三角形性质：①对应边成比例：PA/PB=PD/PC=AD/BC=k（k为相似比）；②面积比=k²；③对应高的比=k（△PAD的高与△PBC的高之比等于相似比）。

梯形ABCD的面积=△PBC的面积-△PAD的面积，可通过相似比计算面积差。

适用场景

已知梯形的上底、下底长度，求两腰延长后交点到上底、下底的距离（高的比例）。

已知梯形的两腰延长线的交点位置（如PA、PB的长度），求上底或下底的长度。

利用相似三角形的比例关系，求梯形腰上某点分腰的比例（如中点、定比分点）。

示例

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=6，延长AB、DC交于点P，且△PAD的面积为4，求梯形ABCD的面积。

由AD∥BC，得△PAD∽△PBC，相似比k=AD/BC=2/6=1/3。

相似三角形面积比=k²=(1/3)²=1/9，设△PBC的面积为S，则4/S=1/9，解得S=36。

因此梯形ABCD的面积=△PBC的面积-△PAD的面积=36-4=32。

五、“连接一腰中点与顶点”类辅助线：构造全等三角形，转化底边长

当梯形中出现“腰的中点”时，连接中点与对底的顶点（或延长后相交），可构造全等三角形，将梯形的上底与下底转化为同一条直线上的线段，核心思路是“利用中点的对称性，转移线段长度”。

作法

在梯形ABCD中，AD∥BC，E为腰CD的中点，连接AE并延长，与BC的延长线相交于点F，形成△ADE和△FCE。

原理

由AD∥BC（即AD∥CF），得∠DAE=∠CFE、∠ADE=∠FCE（内错角相等）。

因E为CD中点，故DE=CE（中点定义），因此△ADE≌△FCE（AAS全等）。

全等三角形性质：AD=CF（上底转化为延长部分的长度）、AE=EF（E为AF中点）。

此时△ABF中，BF=BC+CF=BC+AD（上底与下底的和转化为三角形的一条边），且AE=EF（E为AF中点），若连接BE，则BE为△ABF的中线，可利用“三角形中线平分面积”（△ABE的面积=△BEF的面积，且△BEF的面积=梯形ABCD的面积，因△ADE≌△FCE）。

适用场景

已知梯形的腰中点，求梯形的面积（转化为三角形面积）。

已知梯形的上底、下底长度，证明腰中点与另一腰端点的连线平分梯形面积。

已知梯形的一个底角，结合中点求腰长或高。

示例

在梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，AD=3，BC=7，且△ABE的面积为20，求梯形ABCD的面积。

作法：延长AE交BC延长线于F，由△ADE≌△FCE，得AD=CF=3，AE=EF，故BF=BC+CF=10。

因AE=EF，△ABE与△BEF等底（AE=EF）同高（从B到AF的高），故△BEF的面积=△ABE的面积=20。

又因△ADE≌△FCE，故梯形ABCD的面积=△ABF的面积=△ABE的面积+△BEF的面积=20+20=40。

六、辅助线添加的核心原则与总结

梯形辅助线的本质是“转化”——将梯形的“非平行关系”（腰、对角线）转化为三角形、平行四边形的“已知关系”（全等、相似、勾股定理、平行性质）。添加时需遵循以下原则：

1. 看已知条件定辅助线：

已知腰长、底角→优先“作高”或“平移腰”；

已知对角线长度、夹角→优先“平移对角线”；

已知两腰延长线关系→优先“延长两腰”；

已知腰的中点→优先“连接中点并延长”。

2. 看目标需求定辅助线：

求面积→优先“平移对角线”（转化为三角形面积）或“连接中点”（转化为三角形面积）；

求高→优先“作高”（勾股定理）或“平移腰”（转化为三角形高）；

求角度→优先“平移腰”（转化为三角形内角）或“作高”（直角三角形三角函数）。

所有辅助线的最终目的是“消除梯形的特殊性”，将其转化为更熟悉的基本图形，因此需结合具体题目中的已知条件与目标，灵活选择最简洁的辅助线作法。

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