多项式：分解定理

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1. 多项式的定义

在数学中，多项式是由变量（通常用\(x\)、\(y\)等表示）和常数通过有限次“加、减、乘”运算（不包含除法中除数含变量的情况，如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x}{x+1}\)不属于多项式）组成的代数式。

单变量多项式（以\(x\)为变量）的标准形式：\(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\)

其中：

\(n\)是非负整数（表示多项式的次数），当\(a_n \neq 0\)时，\(n\)称为多项式\(f(x)\)的次数，记为\(\deg f(x) = n\)；

\(a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0\)是常数，称为多项式的系数，\(a_n\)是首项系数，\(a_0\)是常数项；

每一项\(a_kx^k\)（\(k=0,1,\dots,n\)）称为多项式的“项”，如\(3x^2\)、\(-5x\)、\(2\)都是多项式\(3x^2 - 5x + 2\)的项。

特殊多项式：

次数为0的多项式（\(n=0\)，且\(a_0 \neq 0\)）：常数多项式，如\(f(x)=5\)；

次数为1的多项式：一次多项式（线性多项式），如\(f(x)=2x + 3\)；

次数为2的多项式：二次多项式（二次三项式/二项式），如\(f(x)=x^2 - 4x + 4\)；

所有系数均为0的多项式：零多项式，记为\(f(x)=0\)，零多项式不定义次数。

2. 多项式的基本性质

（1）次数性质

设\(f(x)\)、\(g(x)\)是两个非零多项式，\(\deg f(x) = m\)，\(\deg g(x) = n\)，则：

1. \(\deg(f(x) + g(x)) \leq \max\{m, n\}\)（和的次数不超过次数较高的多项式的次数，当\(m \neq n\)时取等号，当\(m = n\)且首项系数互为相反数时，次数会降低，如\(f(x)=3x^2 + 2x\)，\(g(x)=-3x^2 + 5\)，则\(f(x)+g(x)=2x + 5\)，次数从2降为1）；

2. \(\deg(f(x) \cdot g(x)) = m + n\)（积的次数等于两个多项式次数之和，首项系数为\(a_m \cdot b_n\)，如\(f(x)=2x^2 + 1\)（\(m=2\)），\(g(x)=3x - 2\)（\(n=1\)），则\(f(x)g(x)=6x^3 - 4x^2 + 3x - 2\)，次数为\(2+1=3\)）。

（2）多项式的根与因式关系（因式定理）

若\(f(a) = 0\)（即当\(x=a\)时，多项式的值为0），则称\(a\)是多项式\(f(x)\)的根（或零点）。此时，\((x - a)\)是\(f(x)\)的一个因式，即存在多项式\(q(x)\)，使得\(f(x) = (x - a)q(x)\)（反之亦然，若\((x - a)\)是\(f(x)\)的因式，则\(a\)是\(f(x)\)的根）。

（3）多项式的整除性

若存在多项式\(q(x)\)，使得\(f(x) = g(x)q(x)\)，则称\(g(x)\)整除\(f(x)\)，记为\(g(x) \mid f(x)\)，\(g(x)\)是\(f(x)\)的因式，\(f(x)\)是\(g(x)\)的倍式。例如，\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)，则\((x - 2) \mid (x^2 - 4)\)，\((x + 2) \mid (x^2 - 4)\)。

（4）多项式的唯一性（多项式恒等定理）

若两个多项式\(f(x) = a_nx^n + \dots + a_0\)和\(g(x) = b_nx^n + \dots + b_0\)对所有\(x\)的值都相等（即\(f(x) \equiv g(x)\)），则它们对应的系数相等：\(a_k = b_k\)（\(k=0,1,\dots,n\)）。例如，若\(x^2 + ax + b \equiv (x + 1)(x - 2)\)，展开右边得\(x^2 - x - 2\)，则\(a=-1\)，\(b=-2\)。

3. 多项式分解定理（因式分解基本定理）

（1）定理内容

在复数域（包含所有实数和虚数的数域）中，任何次数\(n \geq 1\)的多项式\(f(x)\)，都可以唯一分解为一次因式的乘积：

\(f(x) = a_n(x - \alpha_1)(x - \alpha_2)\dots(x - \alpha_n)\)

其中\(a_n\)是\(f(x)\)的首项系数，\(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\)是\(f(x)\)的根（可能有重复，重复的根称为重根，如\(f(x)=(x - 2)^2(x + 1)\)中，2是二重根，-1是单根）。

在实数域中，由于虚根总是成对出现（即若\(a + bi\)是根，则\(a - bi\)也是根，称为共轭虚根），因此任何次数\(n \geq 1\)的实系数多项式，都可以唯一分解为“一次因式”和“不可约二次因式”（即判别式\(\Delta = b^2 - 4ac < 0\)，无法再分解为两个实系数一次因式的乘积）的乘积：

\(f(x) = a_n(x - \alpha_1)\dots(x - \alpha_k)(x^2 + p_1x + q_1)\dots(x^2 + p_mx + q_m)\)

其中\(\alpha_1, \dots, \alpha_k\)是实根，\(x^2 + p_ix + q_i\)（\(i=1,\dots,m\)）是不可约二次因式（\(p_i^2 - 4q_i < 0\)），且\(k + 2m = n\)。

（2）分解的“不可约性”

多项式分解的核心是“分解到不能再分”，即分解后的因式都是“不可约多项式”：

复数域中，一次多项式是唯一的不可约多项式（任何二次及以上多项式都能分解为一次因式）；

实数域中，不可约多项式只有一次多项式和判别式小于0的二次多项式（如\(x^2 + 1\)在实数域不可约，在复数域可分解为\((x - i)(x + i)\)）；

有理数域中，不可约多项式的形式更丰富（如\(x^3 - 2\)在有理数域不可约，在实数域可分解为\((x - \sqrt[3]{2})(x^2 + \sqrt[3]{2}x + (\sqrt[3]{2})^2)\)）。

类型1：多项式的次数与系数问题（利用多项式恒等定理）

例题1：已知多项式\(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\)满足\(f(1)=0\)，\(f(-1)=4\)，\(f(2)=3\)，求\(a\)、\(b\)、\(c\)的值及\(f(x)\)的表达式。

解：

根据多项式值的定义，代入已知条件得方程组：

① \(1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 0\) → \(1 + a + b + c = 0\)

② \((-1)^3 + a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + c = 4\) → \(-1 + a - b + c = 4\)

③ \(2^3 + a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 3\) → \(8 + 4a + 2b + c = 3\)

化简方程组：

① - ②：\((1 + a + b + c) - (-1 + a - b + c) = 0 - 4\) → \(2 + 2b = -4\) → \(b = -3\)

将\(b=-3\)代入①：\(1 + a - 3 + c = 0\) → \(a + c = 2\)（记为④）

将\(b=-3\)代入③：\(8 + 4a - 6 + c = 3\) → \(4a + c = 1\)（记为⑤）

⑤ - ④：\(3a = -1\) → \(a = -\frac{1}{3}\)

代入④：\(-\frac{1}{3} + c = 2\) → \(c = \frac{7}{3}\)

因此，\(a=-\frac{1}{3}\)，\(b=-3\)，\(c=\frac{7}{3}\)，\(f(x)=x^3 - \frac{1}{3}x^2 - 3x + \frac{7}{3}\)（或整理为\(3x^3 - x^2 - 9x + 7\)）。

例题2：若多项式\(f(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 - 2x + c)\)展开后不含\(x^3\)项和\(x\)项，求\(a\)、\(c\)的值及常数项\(b\)的取值范围（\(b\)为实数）。

解：

先展开多项式：

\(f(x) = x^2(x^2 - 2x + c) + ax(x^2 - 2x + c) + b(x^2 - 2x + c)\)

\(= x^4 - 2x^3 + cx^2 + ax^3 - 2ax^2 + acx + bx^2 - 2bx + bc\)

合并同类项（按\(x\)的次数降幂）：

\(f(x) = x^4 + (a - 2)x^3 + (c - 2a + b)x^2 + (ac - 2b)x + bc\)

由“不含\(x^3\)项和\(x\)项”可知，对应项系数为0：

\(x^3\)项系数：\(a - 2 = 0\) → \(a = 2\)

\(x\)项系数：\(ac - 2b = 0\)，代入\(a=2\)得\(2c - 2b = 0\) → \(c = b\)

常数项为\(bc = b^2\)，由于\(b\)为实数，\(b^2 \geq 0\)，故常数项取值范围是\([0, +\infty)\)。最终\(a=2\)，\(c=b\)（\(b\)为任意实数）。

例题3：设多项式\(f(x)\)满足\(f(x + 1) - f(x) = 2x + 3\)，且\(\deg f(x) = 2\)，求\(f(x)\)的一般形式。

解：

设二次多项式\(f(x) = ax^2 + bx + c\)（\(a \neq 0\)），计算\(f(x + 1)\)：

\(f(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)\)

代入\(f(x + 1) - f(x) = 2x + 3\)：

\([ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)] - [ax^2 + bx + c] = 2x + 3\)

化简左边：\(2ax + a + b\)

由多项式恒等定理，对应系数相等：

\(x\)项系数：\(2a = 2\) → \(a = 1\)

常数项：\(a + b = 3\)，代入\(a=1\)得\(b = 2\)

二次项系数\(a=1\)，一次项系数\(b=2\)，常数项\(c\)可任意取值（无约束条件）。因此，\(f(x) = x^2 + 2x + c\)（\(c\)为任意常数）。

类型2：多项式的根与因式分解（利用因式定理、分解定理）

例题4：已知\(f(x)=x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 20x - 24\)的根为2、3，求所有根及因式分解。

解：

\((x-2)(x-3)=x^2-5x+6\)，用\(f(x)\)除以\(x^2-5x+6\)：

长除法得商式\(x^2 - 4\)，故\(f(x)=(x^2-5x+6)(x^2-4)=(x-2)(x-3)(x-2)(x+2)\)。

根为\(x=2\)（二重根）、\(x=3\)、\(x=-2\)，复数域因式分解为\((x-2)^2(x-3)(x+2)\)。

例题5：在实数域中分解多项式\(f(x) = x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 + x - 1\)。

解：

先试根（有理根定理：可能有理根为\(\pm1\)）：

\(f(1)=1 - 1 - 2 + 2 + 1 - 1 = 0\)，故\((x-1)\)是因式；

用多项式除法将\(f(x)\)除以\(x-1\)：

得商式\(x^4 - 0x^3 - 2x^2 + 0x + 1 = x^4 - 2x^2 + 1\)；

分解\(x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 = [(x-1)(x+1)]^2 = (x-1)^2(x+1)^2\)；

因此，\(f(x)=(x-1) \cdot (x-1)^2(x+1)^2 = (x-1)^3(x+1)^2\)（均为一次因式，实数域分解完成）。

例题6：在实数域中分解\(f(x) = x^4 + 2x^2 + 9\)（提示：拆项补项）。

解：

无法直接用常规方法分解，采用“拆项补项”：

原式\(= x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = (x^2 + 3)^2 - (2x)^2\)（将\(2x^2\)拆为\(6x^2 - 4x^2\)，构成平方差）；

由平方差公式\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)，得：

\((x^2 + 3 - 2x)(x^2 + 3 + 2x) = (x^2 - 2x + 3)(x^2 + 2x + 3)\)；

验证两个二次因式的判别式：

\(x^2 - 2x + 3\)：\(\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4 - 12 = -8 < 0\)（不可约）；

\(x^2 + 2x + 3\)：\(\Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 3 = 4 - 12 = -8 < 0\)（不可约）；

因此，实数域分解结果为\((x^2 - 2x + 3)(x^2 + 2x + 3)\)。

例题7：已知多项式\(f(x) = x^3 + px^2 + qx + r\)的三个根成等差数列，且根的和为3，积为-8，求\(p\)、\(q\)、\(r\)的值。

解：

设三个根为等差数列，设中间根为\(a\)，公差为\(d\)，则三根为\(a - d\)、\(a\)、\(a + d\)。

由韦达定理（多项式根与系数关系）：

三根之和：\((a - d) + a + (a + d) = 3a = 3\) → \(a = 1\)；

三根之积：\((a - d) \cdot a \cdot (a + d) = a(a^2 - d^2) = 1 \times (1 - d^2) = -8\) → \(1 - d^2 = -8\) → \(d^2 = 9\) → \(d = \pm 3\)；

当\(d=3\)时，三根为\(-2\)、\(1\)、\(4\)；当\(d=-3\)时，三根为\(4\)、\(1\)、\(-2\)（相同）。

由韦达定理，三次多项式\(x^3 + px^2 + qx + r = (x - (a - d))(x - a)(x - (a + d))\)，展开得：

\(x^3 - [(a - d) + a + (a + d)]x^2 + [(a - d)a + a(a + d) + (a - d)(a + d)]x - (a - d)a(a + d)\)

对比系数：

\(p = -[(a - d) + a + (a + d)] = -3a = -3\)；

\(q = (a - d)a + a(a + d) + (a - d)(a + d) = a^2 - ad + a^2 + ad + a^2 - d^2 = 3a^2 - d^2 = 3 \times 1 - 9 = -6\)；

\(r = - (a - d)a(a + d) = 8\)（因积为-8，故负号后为8）；

因此，\(p=-3\)，\(q=-6\)，\(r=8\)。

类型3：多项式的整除与不可约性（利用整除定义、 Eisenstein判别法）

例题8：证明多项式\(f(x) = x^3 - 3x + 1\)在有理数域上不可约（提示：用Eisenstein判别法或试根法）。

解：

方法1：试根法（有理根定理）：

可能的有理根为\(\pm1\)，代入验证：

\(f(1)=1 - 3 + 1 = -1 \neq 0\)；

\(f(-1)=-1 + 3 + 1 = 3 \neq 0\)；

三次多项式若在有理数域可约，则必存在一次因式（即有理根），但此处无有理根，故\(f(x)\)在有理数域不可约。

方法2：Eisenstein判别法（需构造变量替换）：

令\(x = y + 1\)，则\(f(x) = (y + 1)^3 - 3(y + 1) + 1 = y^3 + 3y^2 + 3y + 1 - 3y - 3 + 1 = y^3 + 3y^2 - 1\)；

对\(g(y) = y^3 + 3y^2 - 1\)，取素数\(p=3\)，满足：

\(p\)整除除首项外的系数（3整除3，3整除-1？不，-1不能被3整除，换\(x = y + 2\)）：

\(f(x)=(y+2)^3 - 3(y+2)+1 = y^3 + 6y^2 + 12y + 8 - 3y - 6 + 1 = y^3 + 6y^2 + 9y + 3\)；

取\(p=3\)，满足：

3整除6、9、3（除首项系数1外的所有系数）；

\(3^2=9\)不整除常数项3；

首项系数1不被3整除；

由Eisenstein判别法，\(g(y)\)在有理数域不可约，故\(f(x)\)在有理数域不可约。

例题9：设多项式\(f(x)\)满足\(x \mid f(x)\)（\(x\)整除\(f(x)\)）且\(x - 1 \mid f(x)\)，证明\(x(x - 1) \mid f(x)\)。

解：

由\(x \mid f(x)\)，存在多项式\(g(x)\)，使得\(f(x) = xg(x)\)；

又由\(x - 1 \mid f(x)\)，即\(x - 1 \mid xg(x)\)；

由于\(x - 1\)与\(x\)是互素多项式（最大公因式为1），根据多项式整除的“互素性质”：若\(d(x) \mid ab(x)\)且\(\gcd(d(x), a(x))=1\)，则\(d(x) \mid b(x)\)；

此处\(d(x)=x - 1\)，\(a(x)=x\)，\(\gcd(x - 1, x)=1\)，故\(x - 1 \mid g(x)\)；

因此，存在多项式\(h(x)\)，使得\(g(x) = (x - 1)h(x)\)；

代入\(f(x) = xg(x)\)得\(f(x) = x(x - 1)h(x)\)，即\(x(x - 1) \mid f(x)\)。

例题10：求所有整数\(k\)，使得\(x - 2 \mid x^3 + kx^2 + 3x + 2\)。

解：

由因式定理，\(x=2\)是根，故\(f(2)=8 + 4k + 6 + 2 = 16 + 4k = 0\) → \(4k = -16\) → \(k=-4\)。

类型4：多项式的高阶应用（重根、导数、恒等变形）

例题11：求多项式\(f(x) = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x\)的重根及重数（提示：利用导数判断重根，若\(a\)是\(f(x)\)的\(k\)重根，则\(a\)是\(f'(x)\)的\(k-1\)重根）。

解：

第一步：求导\(f'(x)\)：

\(f'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 24x - 8\)；

第二步：求\(f(x)\)与\(f'(x)\)的最大公因式\(\gcd(f(x), f'(x))\)（用辗转相除法）：

1. 用\(f(x)\)除以\(f'(x)\)：\(x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x = (4x^3 - 18x^2 + 24x - 8) \times \frac{1}{4}x + (-\frac{3}{2}x^3 + 6x^2 - 6x)\)；

2. 取余式\(r_1(x) = -\frac{3}{2}x^3 + 6x^2 - 6x = -\frac{3}{2}(x^3 - 4x^2 + 4x)\)，求\(\gcd(f'(x), r_1(x))\)，即\(\gcd(4x^3 - 18x^2 + 24x - 8, x^3 - 4x^2 + 4x)\)；

3. 用\(4x^3 - 18x^2 + 24x - 8\)除以\(x^3 - 4x^2 + 4x\)：商4，余式\(-2x^2 + 8x - 8 = -2(x^2 - 4x + 4) = -2(x - 2)^2\)；

4. 求\(\gcd(x^3 - 4x^2 + 4x, (x - 2)^2)\)，\(x^3 - 4x^2 + 4x = x(x - 2)^2\)，故\(\gcd = (x - 2)^2\)；

因此，\(\gcd(f(x), f'(x)) = (x - 2)^2\)，说明\(x=2\)是\(f(x)\)的3重根（因最大公因式是\((x - 2)^2\)，重数为2，故原多项式重数为\(2 + 1 = 3\)）；

验证\(f(x) = x(x - 2)^3\)，展开得\(x(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = x^4 - 6x^3 + 12x^2 - 8x\)，正确，故\(x=2\)是3重根，\(x=0\)是单根。

例题12：证明多项式\(f(x) = x^n - 1\)在复数域的因式分解为\((x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2)\dots(x - \omega^{n-1})\)，其中\(\omega = e^{\frac{2\pi i}{n}} = \cos\frac{2\pi}{n} + i\sin\frac{2\pi}{n}\)（\(n\)次单位根），并求\(x^5 - 1\)的分解式。

解：

第一步：证明\(\omega^k\)（\(k=0,1,\dots,n-1\)）是\(f(x)=x^n - 1\)的根：

由欧拉公式\(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\)，\(\omega^n = (e^{\frac{2\pi i}{n}})^n = e^{2\pi i} = \cos2\pi + i\sin2\pi = 1\)，故\((\omega^k)^n = (\omega^n)^k = 1^k = 1\)，即\(f(\omega^k) = (\omega^k)^n - 1 = 0\)，因此\(\omega^k\)是根；

第二步：因\(f(x)\)是\(n\)次多项式，在复数域有\(n\)个根（重根按重数计），且\(\omega^0=1\)、\(\omega^1=\omega\)、…、\(\omega^{n-1}\)互不相等（若\(\omega^k = \omega^m\)，则\(\omega^{k - m} = 1\)，即\(\frac{2\pi i(k - m)}{n} = 2\pi i t\)，\(t\)为整数，故\(k - m = nt\)，因\(0 \leq k,m < n\)，故\(k=m\)），因此这些根互不相同，故因式分解为\((x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2)\dots(x - \omega^{n-1})\)；

第三步：分解\(x^5 - 1\)：

\(n=5\)，\(\omega = e^{\frac{2\pi i}{5}} = \cos\frac{2\pi}{5} + i\sin\frac{2\pi}{5}\)，根为\(1\)、\(\omega\)、\(\omega^2\)、\(\omega^3\)、\(\omega^4\)，其中\(\omega^3 = \overline{\omega^2}\)（共轭虚根），\(\omega^4 = \overline{\omega}\)（共轭虚根），故实数域分解为：

\(x^5 - 1 = (x - 1)(x^2 - 2\cos\frac{2\pi}{5}x + 1)(x^2 - 2\cos\frac{4\pi}{5}x + 1)\)，复数域分解为\((x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2)(x - \omega^3)(x - \omega^4)\)。

例题13：设多项式\(f(x)\)满足\(f(x^2) = f(x)f(x + 1)\)，且\(f(x)\)是次数大于0的多项式，求\(f(x)\)的表达式（提示：分析根的性质）。

解：

第一步：设\(a\)是\(f(x)\)的根，即\(f(a) = 0\)，代入等式得\(f(a^2) = f(a)f(a + 1) = 0\)，故\(a^2\)也是\(f(x)\)的根；

第二步：同理，\((a^2)^2 = a^4\)、\(a^8\)、…也是\(f(x)\)的根，由于多项式的根的个数有限（次数有限），故存在正整数\(k < m\)，使得\(a^{2^k} = a^{2^m}\)，即\(a^{2^k}(a^{2^m - 2^k} - 1) = 0\)；

第三步：若\(a \neq 0\)，则\(a^{2^m - 2^k} = 1\)，即\(a\)是单位根；若\(a = 0\)，则\(0\)是根；

第四步：假设\(f(x)\)有根\(1\)，则\(f(1^2) = f(1)f(2)\) → \(f(1) = f(1)f(2)\)，若\(f(1) \neq 0\)，则\(f(2) = 1\)，但继续推导会导致根无限，故\(f(1) = 0\)，则\(1^2=1\)是根（重根）；

第五步：假设\(f(x) = x^n(x - 1)^m\)（\(n,m\)为正整数），代入等式验证：

左边\(f(x^2) = (x^2)^n(x^2 - 1)^m = x^{2n}(x - 1)^m(x + 1)^m\)；

右边\(f(x)f(x + 1) = x^n(x - 1)^m \cdot (x + 1)^n x^m = x^{n + m}(x - 1)^m(x + 1)^n\)；

等式两边相等，故对应因式的指数相等：

\(x\)的指数：\(2n = n + m\) → \(n = m\)；

\(x + 1\)的指数：\(m = n\)（已满足）；

因此，\(f(x) = x^n(x - 1)^n = [x(x - 1)]^n = (x^2 - x)^n\)（\(n\)为正整数）；

验证\(n=1\)：\(f(x)=x^2 - x\)，左边\(f(x^2)=x^4 - x^2\)，右边\(f(x)f(x+1)=(x^2 - x)(x^2 + 2x + 1 - x - 1)=(x^2 - x)(x^2 + x)=x^4 - x^2\)，相等，正确；

故\(f(x) = (x^2 - x)^n\)（\(n\)为正整数）。

类型5：多元多项式与特殊多项式（对称多项式、轮换多项式）

例题14：将对称多项式\(f(x, y, z) = x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y\)表示为基本对称多项式\(\sigma_1 = x + y + z\)、\(\sigma_2 = xy + yz + zx\)、\(\sigma_3 = xyz\)的多项式。

解：

对称多项式的基本定理：任何对称多项式都可唯一表示为基本对称多项式的多项式，按次数分析：

\(f(x,y,z)\)是3次齐次对称多项式（每一项次数为3），基本对称多项式中，3次齐次多项式的可能组合为\(\sigma_1 \sigma_2\)（\(\sigma_1\)1次，\(\sigma_2\)2次，乘积3次）和\(\sigma_3\)（3次），故设：

\(f(x,y,z) = A\sigma_1 \sigma_2 + B\sigma_3\)（\(A,B\)为常数）；

计算\(\sigma_1 \sigma_2\)：

\(\sigma_1 \sigma_2 = (x + y + z)(xy + yz + zx) = x^2y + xyz + x^2z + xy^2 + y^2z + xyz + xyz + yz^2 + xz^2 \)

\(= x^2y + x^2z + y^2x + y^2z + z^2x + z^2y + 3xyz = f(x,y,z) + 3\sigma_3\)；

因此，\(f(x,y,z) = \sigma_1 \sigma_2 - 3\sigma_3\)，对比假设式，得\(A=1\)，\(B=-3\)；

验证：取\(x=1,y=2,z=3\)，\(f=1^2 \times 2 + 1^2 \times 3 + 2^2 \times 1 + 2^2 \times 3 + 3^2 \times 1 + 3^2 \times 2 = 2 + 3 + 4 + 12 + 9 + 18 = 48\)；

\(\sigma_1=6\)，\(\sigma_2=11\)，\(\sigma_3=6\)，\(\sigma_1 \sigma_2 - 3\sigma_3 = 6 \times 11 - 3 \times 6 = 66 - 18 = 48\)，相等，正确。

例题15：分解轮换多项式\(f(x,y,z) = x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)\)（轮换多项式：将\(x\)换\(y\)、\(y\)换\(z\)、\(z\)换\(x\)，多项式不变）。

解：

轮换多项式通常先试根，假设\(x = y\)，代入得\(f(y,y,z) = y(y^2 - z^2) + y(z^2 - y^2) + z(y^2 - y^2) = 0 + 0 + 0 = 0\)，故\((x - y)\)是因式；

由轮换性，\((y - z)\)、\((z - x)\)也都是因式；

\(f(x,y,z)\)是3次多项式，\((x - y)(y - z)(z - x)\)也是3次多项式，故设\(f(x,y,z) = k(x - y)(y - z)(z - x)\)（\(k\)为常数）；

确定\(k\)：取\(x=1,y=0,z=-1\)，左边\(f=1(0 - 1) + 0(1 - 1) + (-1)(1 - 0) = -1 + 0 - 1 = -2\)；

右边\(k(1 - 0)(0 - (-1))(-1 - 1) = k \times 1 \times 1 \times (-2) = -2k\)；

故\(-2 = -2k\) → \(k=1\)；

因此，\(f(x,y,z) = (x - y)(y - z)(z - x)\)，展开验证：

\((x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)[y(z - x) - z(z - x)] = (x - y)(yz - xy - z^2 + xz) \)

\(= xyz - x^2y - xz^2 + x^2z - y^2z + xy^2 + yz^2 - xyz \)

\(= -x^2y - xz^2 + x^2z - y^2z + xy^2 + yz^2 = x(y^2 - z^2) + y(z^2 - x^2) + z(x^2 - y^2)\)，正确。

类型6：多项式的实际应用（方程求解、几何问题）

例题16：已知一个三次方程\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0\)的三个根分别对应一个三角形的三条边长，判断该三角形的形状（锐角、直角、钝角三角形）。

解：

第一步：求解三次方程的根，试根得\(x=1\)是根，故\((x - 1)\)是因式，除法得\(x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)\)，根为1、2、3；

第二步：验证三边能否构成三角形：\(1 + 2 = 3\)，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），修正方程为\(x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0\)，试根得\(x=1\)，除法得\((x - 1)(x^2 - 6x + 8) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)\)，\(1 + 2 < 4\)，仍不行，换\(x^3 - 8x^2 + 19x - 12 = 0\)，试根得\(x=1\)，除法得\((x - 1)(x^2 - 7x + 12) = (x - 1)(x - 3)(x - 4)\)，\(1 + 3 = 4\)，不行，换\(x^3 - 9x^2 + 26x - 24 = 0\)，试根得\(x=2\)，除法得\((x - 2)(x^2 - 7x + 12) = (x - 2)(x - 3)(x - 4)\)，根为2、3、4；

第三步：验证三边关系：\(2 + 3 > 4\)，\(2 + 4 > 3\)，\(3 + 4 > 2\)，可构成三角形；

第四步：判断三角形形状，用勾股定理：最长边为4，计算\(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\)，\(4^2 = 16\)，因\(13 < 16\)，故最长边对的角为钝角，该三角形为钝角三角形。

例题17：已知抛物线\(y = ax^2 + bx + c\)经过点\((1, 2)\)、\((2, 3)\)、\((3, 6)\)，求抛物线的解析式，并求其顶点坐标。

解：

第一步：代入三点坐标得方程组：

① \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 2\) → \(a + b + c = 2\)

② \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 3\) → \(4a + 2b + c = 3\)

③ \(a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 6\) → \(9a + 3b + c = 6\)

第二步：解方程组：

② - ①：\(3a + b = 1\)（记为④）

③ - ②：\(5a + b = 3\)（记为⑤）

⑤ - ④：\(2a = 2\) → \(a = 1\)

代入④：\(3 \times 1 + b = 1\) → \(b = -2\)

代入①：\(1 - 2 + c = 2\) → \(c = 3\)

第三步：抛物线解析式为\(y = x^2 - 2x + 3\)；

第四步：求顶点坐标，用配方法：\(y = x^2 - 2x + 1 + 2 = (x - 1)^2 + 2\)，顶点坐标为\((1, 2)\)（或用公式\(x = -\frac{b}{2a} = 1\)，\(y = f(1) = 2\)）。

类型7：多项式的竞赛级难点（构造多项式、余数定理进阶）

例题18：证明对任意整数\(n\)，\(n^5 - 5n^3 + 4n\)能被120整除（提示：分解多项式，分析因数）。

解：

第一步：分解多项式：

\(n^5 - 5n^3 + 4n = n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2)\)；

第二步：整理因式：\((n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)\)，即5个连续整数的乘积；

第三步：分析120的因数：\(120 = 8 \times 3 \times 5\)，需证明5个连续整数的乘积能被8、3、5整除：

能被5整除：5个连续整数中必有一个是5的倍数，故乘积能被5整除；

能被3整除：5个连续整数中必有一个是3的倍数，故乘积能被3整除；

能被8整除：5个连续整数中包含两个连续偶数，其中一个是4的倍数，故两个偶数的乘积为\(2 \times 4 = 8\)的倍数，故整体乘积能被8整除；

因8、3、5两两互素，故乘积能被\(8 \times 3 \times 5 = 120\)整除，即\(n^5 - 5n^3 + 4n\)能被120整除。

例题19：设多项式\(f(x)\)除以\(x - 1\)余2，除以\(x - 2\)余3，除以\(x - 3\)余4，求\(f(x)\)除以\((x - 1)(x - 2)(x - 3)\)的余数。

解：

由多项式余数定理，\(f(x)\)除以\((x - 1)(x - 2)(x - 3)\)的余数次数小于3，设余数为\(r(x) = ax^2 + bx + c\)（二次多项式，若次数更低则系数为0）；

根据题意，\(f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)q(x) + r(x)\)，故：

\(f(1) = r(1) = 2\) → \(a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 2\) → \(a + b + c = 2\)（①）

\(f(2) = r(2) = 3\) → \(a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 3\) → \(4a + 2b + c = 3\)（②）

\(f(3) = r(3) = 4\) → \(a \cdot 3^2 + b \cdot 3 + c = 4\) → \(9a + 3b + c = 4\)（③）

解方程组：

② - ①：\(3a + b = 1\)（④）

③ - ②：\(5a + b = 1\)（⑤）

⑤ - ④：\(2a = 0\) → \(a = 0\)

代入④：\(0 + b = 1\) → \(b = 1\)

代入①：\(0 + 1 + c = 2\) → \(c = 1\)

因此，余数\(r(x) = 0x^2 + 1x + 1 = x + 1\)，验证：\(r(1)=2\)，\(r(2)=3\)，\(r(3)=4\)，符合题意。

例题20：构造一个次数最低的实系数多项式\(f(x)\)，使其根包含\(2\)和\(1 + i\)，且\(f(0) = 12\)（提示：实系数多项式虚根成对出现）。

解：

第一步：由实系数多项式的性质，若\(1 + i\)是根，则其共轭虚根\(1 - i\)也是根；

第二步：根为\(2\)、\(1 + i\)、\(1 - i\)，故最低次数为3（三次多项式），设\(f(x) = a(x - 2)(x - (1 + i))(x - (1 - i))\)（\(a\)为实系数，首项系数）；

第三步：化简\((x - (1 + i))(x - (1 - i))\)：

该式为\((x - 1)^2 - (i)^2 = x^2 - 2x + 1 - (-1) = x^2 - 2x + 2\)；

第四步：故\(f(x) = a(x - 2)(x^2 - 2x + 2)\)，展开得\(f(x) = a(x^3 - 2x^2 + 2x - 2x^2 + 4x - 4) = a(x^3 - 4x^2 + 6x - 4)\)；

第五步：由\(f(0) = 12\)，代入\(x=0\)得\(f(0) = a(0 - 0 + 0 - 4) = -4a = 12\) → \(a = -3\)；

因此，最低次数的实系数多项式为\(f(x) = -3(x^3 - 4x^2 + 6x - 4) = -3x^3 + 12x^2 - 18x + 12\)，验证：根为2、1+i、1-i，\(f(0)=12\)，次数为3（最低），正确。

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