多项式：乘法公式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

乘法公式是整式乘法中具有规律性的等式，可快速简化多项式相乘运算，核心包括平方差公式、完全平方公式，延伸公式有立方和/差公式、三数和的完全平方公式等。

所有公式均基于“多项式乘多项式法则”（\((a+b)(m+n)=am+an+bm+bn\)）推导，需理解本质。

平方差公式：\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)

文字描述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。

根据多项式乘多项式法则展开：\((a + b)(a - b) = a \cdot a - a \cdot b + b \cdot a - b \cdot b\)

中间两项\(-ab\)与\(+ab\)抵消，最终得：\(a^2 - b^2\)。

两数和的完全平方公式：\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

文字描述：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍。

两数差的完全平方公式：\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

文字描述：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和减去这两个数乘积的2倍。

推导过程（以和为例）

\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + 2ab + b^2\)（中间两项\(ab + ab = 2ab\)）。

右边是“三项式”，而非“两项式”（避免漏写中间的\(2ab\)项，如错写\((a+b)^2 = a^2 + b^2\)）；

中间项的符号：两数“和”的平方中间项为“+”，两数“差”的平方中间项为“-”；

中间项系数是“2”，且等于两数乘积的2倍（如\((2x + 3y)^2\)的中间项是\(2 \cdot 2x \cdot 3y = 12xy\)）。

立方和公式：\((a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\)

（左边：一次二项式×二次三项式，右边：两数立方和）

立方差公式：\((a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3\)

（注意右边是“立方差”，左边二次三项式中\(ab\)项符号为“+”）

三数和的完全平方公式：\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\)

（右边：三个数的平方和，加上每两个数乘积的2倍）

平方差公式逆用（因式分解）\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

例题1：已知\(a + b = 5\)，\(ab = 3\)，求\(a^2 + b^2\)的值。

思路：逆用完全平方公式，将\(a^2 + b^2\)变形为\((a + b)^2 - 2ab\)（由\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)推导）。

解：

\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 \times 3 = 25 - 6 = 19\)。

例题2：已知\(x - \frac{1}{x} = 2\)，求\(x^2 + \frac{1}{x^2}\)的值。

思路：将\(x\)看作\(a\)，\(\frac{1}{x}\)看作\(b\)，逆用\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，得\(a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab\)。

解：

\(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6\)。

例题3：计算\(2025^2 - 2024^2\)。

思路：逆用平方差公式，将\(a^2 - b^2\)拆为\((a + b)(a - b)\)，简化大数运算。

解：

\(2025^2 - 2024^2 = (2025 + 2024)(2025 - 2024) = 4049 \times 1 = 4049\)。

例题4：已知\(a^2 + b^2 = 10\)，\(ab = -2\)，求\((a - b)^2\)的值。

思路：正向展开完全平方公式，\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 = (a^2 + b^2) - 2ab\)，代入已知条件。

解：

\((a - b)^2 = 10 - 2 \times (-2) = 10 + 4 = 14\)。

例题5：计算\((x + 2y)^2 - (x - 2y)^2\)。

思路：方法1：分别展开两个完全平方再相减；方法2：逆用平方差公式（将\((x+2y)\)看作\(a\)，\((x-2y)\)看作\(b\)，则原式为\(a^2 - b^2\)）。

解（方法2更简便）：

原式\(= [(x + 2y) + (x - 2y)][(x + 2y) - (x - 2y)] = (2x)(4y) = 8xy\)。

例题6：计算\((3m - 2n + 1)(3m + 2n - 1)\)。

思路：将“\(-2n + 1\)”与“\(+2n - 1\)”看作整体，构造平方差公式的“相反项”：

原式可变形为\([3m - (2n - 1)][3m + (2n - 1)]\)，其中\(3m\)是“相同项”，\((2n - 1)\)是“相反项”。

解：

原式\(= [3m - (2n - 1)][3m + (2n - 1)] = (3m)^2 - (2n - 1)^2\)

再展开\((2n - 1)^2\)：\(9m^2 - (4n^2 - 4n + 1) = 9m^2 - 4n^2 + 4n - 1\)。

例题7：计算\((a - b - c)^2\)。

思路：将“\(-b - c\)”看作一个整体，用两数差的完全平方公式：\([a - (b + c)]^2\)，再展开。

解：

原式\(= [a - (b + c)]^2 = a^2 - 2a(b + c) + (b + c)^2\)

继续展开：\(a^2 - 2ab - 2ac + b^2 + 2bc + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac + 2bc\)。

例题8：计算\((2x^2 + 3y)(-2x^2 + 3y)\)。

思路：识别“相同项”与“相反项”：\(3y\)是相同项，\(2x^2\)与\(-2x^2\)是相反项，逆序应用平方差公式（公式中\(a\)可在后，\(b\)可在前）。

解：

原式\(= (3y + 2x^2)(3y - 2x^2) = (3y)^2 - (2x^2)^2 = 9y^2 - 4x^4\)（注意\((2x^2)^2 = 4x^4\)，不是\(2x^4\)）。

例题9：计算\((x + 1)(x - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)\)。

思路：多次逆用平方差公式，逐步简化：先算前两个，得\((x^2 - 1)\)；再与\((x^2 + 1)\)相乘，得\((x^4 - 1)\)；最后与\((x^4 + 1)\)相乘。

解：

原式\(= [(x + 1)(x - 1)](x^2 + 1)(x^4 + 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)\)

\(= (x^4 - 1)(x^4 + 1) = x^8 - 1\)。

例题10：计算\((a + 2b - 3c)(a - 2b + 3c)\)。

思路：与例题6类似，将“\(-2b + 3c\)”看作整体，构造平方差：\([a + (2b - 3c)][a - (2b - 3c)]\)。

解：

原式\(= [a + (2b - 3c)][a - (2b - 3c)] = a^2 - (2b - 3c)^2\)

展开\((2b - 3c)^2\)：\(a^2 - (4b^2 - 12bc + 9c^2) = a^2 - 4b^2 + 12bc - 9c^2\)。

例题11：计算\((2x - 3)^2 - (x + 4)(x - 4) - 3x(x - 1)\)。

思路：分三步计算：①展开完全平方；②展开平方差；③展开单项式乘多项式；最后合并同类项。

解：

①\((2x - 3)^2 = 4x^2 - 12x + 9\)

②\((x + 4)(x - 4) = x^2 - 16\)，注意前面有“-”，故为\(-(x^2 - 16) = -x^2 + 16\)

③\(3x(x - 1) = 3x^2 - 3x\)，前面有“-”，故为\(-3x^2 + 3x\)

合并同类项：\(4x^2 - 12x + 9 - x^2 + 16 - 3x^2 + 3x = (-9x) + 25 = -9x + 25\)。

例题12：计算\((x + y)(x - y) + (x - y)^2 - 2x(x + y)\)。

思路：分别展开三个部分，注意符号，再合并同类项。

解：

①\((x + y)(x - y) = x^2 - y^2\)

②\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)

③\(2x(x + y) = 2x^2 + 2xy\)，前面有“-”，故为\(-2x^2 - 2xy\)

合并：\(x^2 - y^2 + x^2 - 2xy + y^2 - 2x^2 - 2xy = -4xy\)（\(x^2\)、\(-y^2\)均抵消）。

例题13：化简\((a + 3b)^2 - 2(a + 3b)(a - 3b) + (a - 3b)^2\)。

思路：将“\((a + 3b)\)”看作\(m\)，“\((a - 3b)\)”看作\(n\)，原式变形为\(m^2 - 2mn + n^2\)，逆用完全平方公式得\((m - n)^2\)，简化运算。

解：

设\(m = a + 3b\)，\(n = a - 3b\)，则原式\(= m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2\)

代入\(m\)、\(n\)：\([(a + 3b) - (a - 3b)]^2 = (6b)^2 = 36b^2\)。

例题14：计算\((2a - b + 1)(2a - b - 1) - (2a - 2b)^2\)。

思路：第一步用平方差公式（将\((2a - b)\)看作整体），第二步展开完全平方，再合并。

解：

第一步：\([(2a - b) + 1][(2a - b) - 1] = (2a - b)^2 - 1^2 = 4a^2 - 4ab + b^2 - 1\)

第二步：\((2a - 2b)^2 = 4a^2 - 8ab + 4b^2\)，前面有“-”，故为\(-4a^2 + 8ab - 4b^2\)

合并：\(4a^2 - 4ab + b^2 - 1 - 4a^2 + 8ab - 4b^2 = 4ab - 3b^2 - 1\)。

例题15：化简\((x + 2)(x - 2) - (x - 1)(x + 3)\)，并求当\(x = \frac{1}{2}\)时的值。

思路：先化简表达式，再代入\(x\)的值（避免直接代入大数运算）。

解：

化简：\((x^2 - 4) - (x^2 + 3x - x - 3) = x^2 - 4 - x^2 - 2x + 3 = -2x - 1\)

代入\(x = \frac{1}{2}\)：\(-2 \times \frac{1}{2} - 1 = -1 - 1 = -2\)。

第四类：立方和/差与复杂变形（突破“高阶公式”）

例题16：计算\((2x + 3y)(4x^2 - 6xy + 9y^2)\)。

思路：识别立方和公式：\((a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3\)，其中\(a = 2x\)，\(b = 3y\)（注意\(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\)，\(ab = 2x \cdot 3y = 6xy\)，\(b^2 = 9y^2\)）。

解：

原式\(=(2x)^3 + (3y)^3 = 8x^3 + 27y^3\)。

例题17：计算\((x - 1)(x^2 + x + 1)(x^3 + 1)\)。

思路：先算前两个，用立方差公式得\(x^3 - 1\)，再与\((x^3 + 1)\)用平方差公式。

解：

原式\(= [(x - 1)(x^2 + x + 1)](x^3 + 1) = (x^3 - 1)(x^3 + 1) = (x^3)^2 - 1^2 = x^6 - 1\)。

例题18：已知\(a + b = 3\)，\(ab = 2\)，求\(a^3 + b^3\)的值。

思路：逆用立方和公式：\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)，再结合\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab\)变形。

解：

先求\(a^2 - ab + b^2 = (a^2 + b^2) - ab = (a + b)^2 - 2ab - ab = (a + b)^2 - 3ab\)

代入已知：\(3^2 - 3 \times 2 = 9 - 6 = 3\)

故\(a^3 + b^3 = (a + b) \times 3 = 3 \times 3 = 9\)。

例题19：计算\((3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) - (3x + 1)^3\)。

思路：第一步用立方差公式算前两个，第二步展开完全立方（\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)），再合并。

解：

第一步：\((3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) = (3x)^3 - 2^3 = 27x^3 - 8\)（立方差公式）

第二步：\((3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2 \cdot 1 + 3(3x) \cdot 1^2 + 1^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1\)

原式\(= (27x^3 - 8) - (27x^3 + 27x^2 + 9x + 1) = -27x^2 - 9x - 9\)。

例题20：已知\(a - b = 2\)，\(a^3 - b^3 = 26\)，求\(a^2 + b^2\)的值。

思路：逆用立方差公式\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)，代入已知\(a - b = 2\)和\(a^3 - b^3 = 26\)，先求\(a^2 + ab + b^2\)，再结合\(a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab\)联立求解。

解：

①由立方差公式：\(26 = 2(a^2 + ab + b^2)\)，得\(a^2 + ab + b^2 = 13\)；

②由\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)，得\(a^2 + b^2 = (a - b)^2 + 2ab = 4 + 2ab\)；

③将②代入①：\((4 + 2ab) + ab = 13\)，即\(4 + 3ab = 13\)，解得\(ab = 3\)；

④代入②：\(a^2 + b^2 = 4 + 2 \times 3 = 10\)。

数学基础 : 小学数学、初中数学、高中数学、高等数学