小学数学：配方法

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一、配方法的定义与核心思想

配方法是一种通过代数式恒等变形，将多项式表示为完全平方形式与常数项之和的方法。其核心思想是利用恒等变形，将二次型或高次多项式转化为易于分析的标准形式，本质是对代数表达式进行“构造性重组”。

二、常见配方法分类及详解

（一）一元二次多项式配方法

适用范围：形如 \( ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）的二次函数或方程。

基本步骤：

1. 提取二次项系数 \( a \)：\( a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \)；

2. 对括号内配方：加上并减去一次项系数一半的平方，即 \( a\left[(x + \frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2\right] + c \)；

3. 整理为完全平方形式：\( a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a} \)。

例1：配方 \( f(x) = 2x^2 + 8x + 3 \)

步骤：

\( 2(x^2 + 4x) + 3 = 2[(x+2)^2 - 4] + 3 = 2(x+2)^2 - 5 \)

用途：求值域（最小值为 \(-5\)）。

例2：解方程 \( x^2 - 6x + 7 = 0 \)

配方：\( (x-3)^2 - 9 + 7 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 = 2 \)

解：\( x = 3 \pm \sqrt{2} \)。

例3：分析抛物线 \( y = -x^2 + 4x - 1 \) 的顶点

配方：\( -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3 \)

顶点坐标：\((2, 3)\)。

例4：化简根式 \( \sqrt{x^2 + 2x + 5} \)

配方：\( \sqrt{(x+1)^2 + 4} \)，便于分析值域（最小值为 \(2\)）。

例5：证明不等式 \( x^2 + 2x + 3 \geq 2 \)

配方：\( (x+1)^2 + 2 \geq 2 \)，当 \(x=-1\) 时取等号。

（二）多元二次多项式配方法（二次型配方）

适用范围：含多个变量的二次多项式，如 \( ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f \)。

核心技巧：按变量分组，逐一组配方，注意交叉项处理。

例1：配方 \( f(x,y) = x^2 + 4y^2 + 2xy + 2x + 8y + 5 \)

步骤：

\( x^2 + 2xy + y^2 + 3y^2 + 2x + 8y + 5 = (x+y)^2 + 3(y^2 + \frac{8}{3}y) + 2x + 5 \)

\( = (x+y)^2 + 3\left[(y + \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{9}\right] + 2x + 5 \)

\( = (x+y)^2 + 3(y + \frac{4}{3})^2 + 2x - \frac{16}{3} + 5 \)

（注：若需完全配方，可进一步按 \(x\) 整理，此处以展示分组技巧为主）。

例2：化简二次型 \( x^2 + y^2 - 2xy + 4x - 4y + 1 \)

配方：\( (x-y)^2 + 4(x-y) + 1 = (x-y+2)^2 - 4 + 1 = (x-y+2)^2 - 3 \)。

例3：求 \( f(x,y) = 2x^2 + 3y^2 - 4xy + 2x - 4y + 5 \) 的最小值

分组：

\( 2(x^2 - 2xy) + 3y^2 + 2x - 4y + 5 = 2[(x-y)^2 - y^2] + 3y^2 + 2x - 4y + 5 \)

\( = 2(x-y)^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 \)

再对 \( y \) 和 \( x \) 整理：

\( 2(x-y)^2 + (y^2 - 4y + 4) + 2x + 1 = 2(x-y)^2 + (y-2)^2 + 2x + 1 \)

（进一步按 \(x\) 配方需设 \(x = y + t\)，此处略，最小值可通过偏导数求得，但配方思想是基础）。

例4：证明 \( x^2 + 5y^2 + z^2 - 2xy - 4yz \geq 0 \)

配方：

\( (x^2 - 2xy + y^2) + (4y^2 - 4yz + z^2) = (x-y)^2 + (2y-z)^2 \geq 0 \)。

例5：将 \( xy + x + y + 1 \) 配方（可视为二次型）

变形：\( xy + x + y + 1 = (x+1)(y+1) \)，本质是双线性式的因式分解，也可视为特殊配方。

（三）高次多项式配方法（偶次项为主）

适用范围：四次、六次等偶次多项式，通过构造平方项组合。

实例应用

例1：配方 \( x^4 + 2x^2 + 4x + 1 \)

步骤：

\( (x^4 + 2x^2 + 1) + 4x = (x^2 + 1)^2 + 4x \)

（注：若需完全平方，可进一步观察：\( x^4 + 4x + 1 = (x^2 + ax + b)^2 + cx + d \)，展开后对比系数，如设 \( a=0 \)，则 \( (x^2 + b)^2 + cx + d = x^4 + 2bx^2 + b^2 + cx + d \)，与原式对比得 \( 2b=0 \), \( c=4 \), \( b^2 + d=1 \)，即 \( b=0 \), \( d=1 \)，故 \( (x^2)^2 + 4x + 1 \)，此形式常用于因式分解或不等式分析）。

例2：配方 \( x^4 + x^2 + 1 \)

方法1：\( (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) \)

方法2：\( x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 - ax + b) = x^4 + (2b - a^2)x^2 + b^2 \)，对比得 \( a=1 \), \( b=1 \)。

例3：配方 \( x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \)

观察：符合二项式展开式 \( (x-1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 \)，直接配为完全四次方。

例4：配方 \( x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1 \)

类比二项式：\( (x^2 + 1)^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1 \)，配为三次方形式。

例5：配方 \( x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \)

分组：\( (x^4 + 2x^3 + x^2) + (2x^2 + 2x) + 1 = x^2(x+1)^2 + 2x(x+1) + 1 = [x(x+1) + 1]^2 = (x^2 + x + 1)^2 \)。

（四）分式配方法（分母或分子配方）

适用范围：有理函数化简、值域求解，通过对分子或分母配方优化表达式。

例1：求 \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) 的值域

分母配方：\( x^2 + 1 = (x - 0)^2 + 1 \geq 1 \)

当 \( x=0 \) 时，\( f(0)=0 \)；当 \( x \neq 0 \) 时，\( f(x) = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \)，利用均值不等式，\( x + \frac{1}{x} \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)，故值域为 \( \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \)。

例2：化简 \( \frac{x^2 + 4x + 5}{x^2 + 4x + 4} \)

分子配方：\( (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1 \)，故原式 \( = 1 + \frac{1}{(x+2)^2} \)。

例3：求 \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x + 3} \) 的最大值

分母配方：\( x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2 \geq 2 \)，故 \( f(x) \leq \frac{1}{2} \)，最大值为 \( \frac{1}{2} \)。

例4：分析 \( f(x) = \frac{2x^2 + 4x + 3}{x^2 + 2x + 1} \) 的单调性

分子配方：\( 2(x^2 + 2x + 1) + 1 = 2(x+1)^2 + 1 \)，原式 \( = 2 + \frac{1}{(x+1)^2} \)，在 \( (-\infty, -1) \) 递增，\( (-1, +\infty) \) 递减。

例5：证明 \( \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \geq 2 \)（\( x > -1 \)）

分子配方：\( (x+1)^2 + 1 \)，原式 \( = (x+1) + \frac{1}{x+1} \geq 2\sqrt{(x+1)\cdot\frac{1}{x+1}} = 2 \)（均值不等式）。

（五）三角表达式配方法（结合三角恒等式）

适用范围：含三角函数的表达式，通过平方和公式 \( \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \) 等配方。

例1：化简 \( f(\theta) = \sin^2\theta + 4\cos\theta + 1 \)

配方：\( (1 - \cos^2\theta) + 4\cos\theta + 1 = -\cos^2\theta + 4\cos\theta + 2 = -(\cos\theta - 2)^2 + 6 \)

结合 \( \cos\theta \in [-1, 1] \)，求值域：当 \( \cos\theta=1 \) 时，最大值为 \( -1 + 4 + 2 = 5 \)；当 \( \cos\theta=-1 \) 时，最小值为 \( -1 - 4 + 2 = -3 \)。

例2：求 \( f(\theta) = 3\sin\theta + 4\cos\theta \) 的最大值

辅助角公式（本质是配方）：\( 5\left(\frac{3}{5}\sin\theta + \frac{4}{5}\cos\theta\right) = 5\sin(\theta + \varphi) \)，最大值为 \(5\)。

例3：配方 \( \sin^4\theta + \cos^4\theta \)

方法：\( (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - \frac{1}{2}\sin^22\theta \)。

例4：化简 \( \sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta \)

配方：\( 1 + \frac{1}{2}\sin2\theta \)（利用 \( \sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin2\theta \)）。

例5：证明 \( 2\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 2 + \cos^2\theta \)

直接拆分：\( 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \cos^2\theta = 2 + \cos^2\theta \)，本质是常数项配方。

三、配方法的应用总结

1. 代数方程求解：如一元二次方程求根、高次方程因式分解；

2. 函数分析：求值域、顶点、单调性，绘制图像；

3. 不等式证明：通过完全平方非负性推导不等式；

4. 解析几何：化简圆锥曲线方程（如椭圆、抛物线标准式）；

5. 三角函数与微积分：化简表达式、求极值、积分换元；

6. 线性代数：二次型标准化、正定矩阵判定。

配方法的核心在于“构造对称与平衡”，通过代数变形将复杂表达式转化为标准形式，其思想贯穿中学数学与高等数学，需通过大量练习掌握分组、系数调整等技巧，尤其注意不同类型问题中的变形策略差异。

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