初中数学 02 实数：平方根、立方根、无理数

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平方根

定义：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根。也就是说，若\(x^{2}=a\)，则\(x\)叫做\(a\)的平方根，记作\(x=\pm\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）。例如，因为\(3^{2}=9\)，\((-3)^{2}=9\)，所以\(9\)的平方根是\(\pm3\)，即\(\pm\sqrt{9}=\pm3\)。

性质：

一个正数有两个平方根，它们互为相反数。例如\(4\)的平方根是\(\pm2\)，\(2\)和\(-2\)互为相反数。

\(0\)的平方根是\(0\)。

负数没有平方根。因为任何实数的平方都不可能是负数，所以负数在实数范围内没有平方根。

立方根

定义：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的立方根。即若\(x^{3}=a\)，则\(x\)叫做\(a\)的立方根，记作\(x=\sqrt[3]{a}\)。例如，因为\(2^{3}=8\)，所以\(8\)的立方根是\(2\)，即\(\sqrt[3]{8}=2\)；又因为\((-2)^{3}=-8\)，所以\(-8\)的立方根是\(-2\)，即\(\sqrt[3]{-8}=-2\)。

性质：

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。即一个数的立方根的符号与这个数的符号相同。

\(\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}\)，例如\(\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3\)。

无理数

定义：无限不循环小数叫做无理数。例如\(\sqrt{2}\)、\(\pi\)、\(0.1010010001\cdots\)（每两个\(1\)之间依次多一个\(0\)）等都是无理数。

常见类型：

开方开不尽的数，如\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt[3]{5}\)等。

含有\(\pi\)的数，如\(2\pi\)、\(\pi - 1\)等。

有规律但不循环的无限小数，如\(0.1212212221\cdots\)等。

实数的分类

实数可分为有理数和无理数两大类。有理数包括整数和分数，整数又可分为正整数、\(0\)、负整数；分数可分为有限小数和无限循环小数。无理数则是无限不循环小数。

实数与数轴的关系

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的关系。例如，\(\sqrt{2}\)可以用数轴上一个特定的点来表示，这个点位于\(1\)和\(2\)之间，通过构造直角三角形等几何方法可以在数轴上准确地找到表示\(\sqrt{2}\)的点。

平方根、立方根以及无理数是初中数学中实数部分的重要基础概念，对于后续学习根式运算、方程求解以及函数等知识都有着重要的意义，需要准确理解和掌握。