初中数学 26 锐角三角函数：正弦、余弦、正切

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正弦函数（sin）

定义：在直角三角形中，一个锐角\(A\)的正弦是它的对边与斜边的比值，记作\(\sin A\)。即\(\sin A=\frac{对边}{斜边}\)。例如，在直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(\angle A\)的对边是\(BC\)，斜边是\(AB\)，那么\(\sin A=\frac{BC}{AB}\)。

特殊角的正弦值：

\(\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)

\(\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

余弦函数（cos）

定义：在直角三角形中，一个锐角\(A\)的余弦是它的邻边与斜边的比值，记作\(\cos A\)。即\(\cos A=\frac{邻边}{斜边}\)。在直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(\angle A\)的邻边是\(AC\)，斜边是\(AB\)，则\(\cos A=\frac{AC}{AB}\)。

特殊角的余弦值：

\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}\)

正切函数（tan）

定义：在直角三角形中，一个锐角\(A\)的正切是它的对边与邻边的比值，记作\(\tan A\)。即\(\tan A=\frac{对边}{邻边}\)。在直角三角形\(ABC\)中，\(\angle C = 90^{\circ}\)，\(\angle A\)的对边是\(BC\)，邻边是\(AC\)，所以\(\tan A=\frac{BC}{AC}\)。

特殊角的正切值：

\(\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\tan45^{\circ}=1\)

\(\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\)

锐角三角函数之间的关系

平方关系：\(\sin^{2}A+\cos^{2}A = 1\)。这个关系可以通过勾股定理推导得出，在直角三角形中，根据勾股定理\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)（其中\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边），将\(\sin A=\frac{a}{c}\)，\(\cos A=\frac{b}{c}\)代入可得\(\sin^{2}A+\cos^{2}A = (\frac{a}{c})^{2}+(\frac{b}{c})^{2}=\frac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}}=1\)。

商数关系：\(\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}\)。由正弦和余弦的定义可知\(\tan A=\frac{对边}{邻边}=\frac{\frac{对边}{斜边}}{\frac{邻边}{斜边}}=\frac{\sin A}{\cos A}\)。