平面几何：平行线分线段成比例定理

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平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，所得的对应线段成比例。

若直线\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，且与直线\(a\)、\(b\)分别交于点\(A\)、\(B\)、\(C\)和\(D\)、\(E\)、\(F\)，则有：

\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF},\quad\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF},\quad\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}\)

相似三角形性质：过点\(A\)作\(l_4\parallel b\)，分别交\(l_2\)、\(l_3\)于点\(G\)、\(H\)，易证\(\triangle ABG\sim\triangle ACH\)，根据相似三角形对应边成比例可得结论。

面积法：利用平行线间距离相等，通过三角形面积比等于底边长之比推导。

推论1：三角形中的平行线分线段成比例

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

在\(\triangle ABC\)中，若\(DE\parallel BC\)，则：\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC},\quad\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)

推论2：逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

结论3：平行线分线段成比例的传递性

若\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\parallel\cdots\parallel l_n\)，则任意两条被截直线所得的对应线段比例保持一致。

结论4：梯形中的平行线分线段成比例

平行于梯形两底的直线截两腰，所得对应线段成比例，且截得的小梯形与原梯形相似（当截线为中位线时，比例为\(1:2\)）。

例题1：基础比例计算

如图，已知\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，\(AB = 2\)，\(BC = 3\)，\(DE = 4\)，求\(EF\)的长。

解析：根据平行线分线段成比例定理，\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)，代入数据得\(\frac{2}{3}=\frac{4}{EF}\)，解得\(EF = 6\)。

例题2：三角形内平行线

在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(AD = 3\)，\(DB = 2\)，\(AE = 6\)，求\(EC\)的长。

解析：由推论1，\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)，即\(\frac{3}{2}=\frac{6}{EC}\)，解得\(EC = 4\)。

例题3：逆定理应用

在\(\triangle ABC\)中，\(AD:DB = 2:3\)，\(AE:EC = 2:3\)，求证：\(DE\parallel BC\)。

解析：因为\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{3}\)，根据逆定理，可得\(DE\parallel BC\)。

例题4：梯形中的比例

在梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallel BC\)，\(EF\parallel AD\)且交\(AB\)于\(E\)，交\(CD\)于\(F\)，\(AE:EB = 1:2\)，\(AD = 4\)，\(BC = 7\)，求\(EF\)的长。

解析：过\(A\)作\(AG\parallel CD\)交\(EF\)于\(H\)，交\(BC\)于\(G\)，则\(EH = AD = 4\)，\(BG = BC - AD = 3\)。由\(\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}\)，得\(\frac{FH}{BG}=\frac{1}{3}\)，即\(FH = 1\)，故\(EF = EH + FH = 5\)。

例题5：多条平行线截线

如图，\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\parallel l_4\)，\(AB = 1\)，\(BC = 2\)，\(CD = 3\)，\(EF = 2\)，求\(FG\)、\(GH\)的长。

解析：由定理得\(\frac{AB}{BC}=\frac{EF}{FG}\)，\(\frac{BC}{CD}=\frac{FG}{GH}\)。代入数据：\(\frac{1}{2}=\frac{2}{FG}\)，解得\(FG = 4\)；\(\frac{2}{3}=\frac{4}{GH}\)，解得\(GH = 6\)。

例题6：比例与线段和差

在\(\triangle ABC\)中，\(DE\parallel BC\)，\(AB = 10\)，\(AD = 6\)，\(AC = 8\)，求\(EC\)的长。

解析：由\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，得\(\frac{6}{10}=\frac{AE}{8}\)，解得\(AE = 4.8\)，故\(EC = AC - AE = 8 - 4.8 = 3.2\)。

例题7：延长线中的比例

在\(\triangle ABC\)中，直线\(DE\)交\(AB\)的延长线于\(D\)，交\(AC\)的延长线于\(E\)，且\(DE\parallel BC\)，\(AD = 15\)，\(AB = 10\)，\(AE = 12\)，求\(AC\)的长。

解析：由推论1（延长线情况），\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)，即\(\frac{15}{10}=\frac{12}{AC}\)，解得\(AC = 8\)。

例题8：中位线与比例

在\(\triangle ABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)的中点，求证：\(DE\parallel BC\)且\(DE = \frac{1}{2}BC\)。

解析：因为\(AD:DB = 1:1\)，\(AE:EC = 1:1\)，由逆定理得\(DE\parallel BC\)；再由比例\(\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}\)，故\(DE = \frac{1}{2}BC\)（即三角形中位线定理）。

例题9：复杂图形中的比例

如图，\(ABCD\)是平行四边形，\(EF\parallel AB\)交\(AD\)于\(E\)，交\(BC\)于\(F\)，\(AG\)交\(EF\)于\(H\)，交\(BC\)于\(G\)，若\(AE:ED = 2:3\)，求\(\frac{EH}{FG}\)的值。

解析：因为\(EF\parallel AB\parallel CD\)，\(\frac{AE}{AD}=\frac{EH}{AB}=\frac{2}{5}\)；又\(AD\parallel BC\)，\(\frac{AE}{ED}=\frac{BF}{FC}=\frac{2}{3}\)，且\(\frac{AE}{AD}=\frac{FG}{BG}=\frac{2}{5}\)。设\(AB = 5k\)，则\(EH = 2k\)；设\(BC = 5m\)，则\(BF = 2m\)，\(FC = 3m\)，\(BG = \frac{5}{2}FG\)，结合\(BG = BF + FG = 2m + FG\)，解得\(FG = \frac{4}{3}m\)。又\(AB = BC = 5k = 5m\)（平行四边形对边相等），故\(\frac{EH}{FG}=\frac{2k}{\frac{4}{3}m}=\frac{3}{2}\)。

例题10：实际应用

如图，小明用标杆测量旗杆高度，标杆高\(1.5m\)，小明眼睛到地面距离\(1.2m\)，标杆与旗杆的水平距离为\(10m\)，小明与标杆的水平距离为\(2m\)，求旗杆高度。

解析：过眼睛作水平线\(l\)，交标杆于\(A\)，交旗杆于\(B\)，则\(l\)平行于地面，标杆上\(A\)点到地面距离为\(1.2m\)，故\(AA' = 1.5 - 1.2 = 0.3m\)（\(A'\)为标杆底部）。由平行线分线段成比例，\(\frac{小明到标杆距离}{小明到旗杆距离}=\frac{AA'}{BB'}\)，即\(\frac{2}{2 + 10}=\frac{0.3}{BB'}\)，解得\(BB' = 1.8m\)，故旗杆高度为\(1.2 + 1.8 = 3m\)。