不等式 02 均值不等式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

对于\(n\)个正实数\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\) ：

平方平均数：\(Q_{n}=\sqrt{\frac{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}{n}}\) ，算术平均数：\(A_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\)

几何平均数：\(G_{n}=\sqrt[n]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\) ，调和平均数：\(H_{n}=\frac{n}{\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}}\)

满足不等式：\(H_{n}\leq G_{n}\leq A_{n}\leq Q_{n}\)，当且仅当\(a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}\)时等号成立.

二维形式：\( a, b \geq 0 \) , \( \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \) ，取等条件：\( a = b \)

三维形式：\( a, b, c \geq 0 \) , \( \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \) ，取等条件： \( a = b = c \)

四维形式：\( a, b, c, d \geq 0 \) , \( \frac{a + b + c + d}{4} \geq \sqrt[4]{abcd} \) ，取等条件： \( a = b = c = d \)

均值不等式的应用步骤：遵循“一正、二定、三相等”的原则

1. 一正：先判断所有参与运算的数是否为非负（若为负，需通过变形转化为非负，如提取负号）；

2. 二定：通过“凑项”“拆项”“代换”等技巧，使“算术平均数的分子（和）”或“几何平均数的被开方数（积）”为定值（和定求积最大，积定求和最小）；

3. 三相等：验证等号成立的条件是否满足（即所有数是否能相等），若不满足，则均值不等式无法直接使用，需换用其他方法（如函数单调性）。

例1：已知 \( x > 0 \)，求 \( y = x + \frac{1}{x} \) 的最小值。

一正：\( x > 0 \implies \frac{1}{x} > 0 \)，满足非负；

二定：\( x \cdot \frac{1}{x} = 1 \)（积为定值），由二维均值不等式：\( y = x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \)；

三相等：当且仅当 \( x = \frac{1}{x} \implies x = 1 \)（\( x > 0 \)，舍去负根）时取等号。答案：最小值为 \( 2 \)。

例2：已知 \( x > 2 \)，求 \( y = x + \frac{1}{x - 2} \) 的最小值。

一正：\( x > 2 \implies x - 2 > 0 \)，令 \( t = x - 2 \)（\( t > 0 \)），则 \( x = t + 2 \)；

二定：\( y = (t + 2) + \frac{1}{t} = t + \frac{1}{t} + 2 \)，其中 \( t \cdot \frac{1}{t} = 1 \)（积定），故：\( t + \frac{1}{t} \geq 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 2 \implies y \geq 2 + 2 = 4 \)；

三相等：当 \( t = \frac{1}{t} \implies t = 1 \implies x = 3 \) 时取等号。答案：最小值为 \( 4 \)。

例3：已知 \( 0 < x < 1 \)，求 \( y = x(1 - x) \) 的最大值。

一正：\( 0 < x < 1 \implies x > 0 \)，\( 1 - x > 0 \)，满足非负；

二定：\( x + (1 - x) = 1 \)（和为定值），由二维均值不等式：\( x(1 - x) \leq \left( \frac{x + (1 - x)}{2} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \)；

三相等：当且仅当 \( x = 1 - x \implies x = \frac{1}{2} \) 时取等号。答案：最大值为 \( \frac{1}{4} \)。

例4：已知 \( a, b > 0 \)，且 \( a + 2b = 3 \)，求 \( ab \) 的最大值。

一正：\( a, b > 0 \)，满足非负；

二定：需将“\( a + 2b \)”凑为和定，直接对 \( a \) 和 \( 2b \) 用均值不等式：\( a + 2b \geq 2\sqrt{a \cdot 2b} = 2\sqrt{2ab} \)，代入 \( a + 2b = 3 \)：\( 3 \geq 2\sqrt{2ab} \implies \sqrt{2ab} \leq \frac{3}{2} \implies 2ab \leq \frac{9}{4} \implies ab \leq \frac{9}{8} \)；

三相等：当且仅当 \( a = 2b \)，结合 \( a + 2b = 3 \)，得 \( a = \frac{3}{2} \)，\( b = \frac{3}{4} \) 时取等号。

答案：最大值为 \( \frac{9}{8} \)。

例5：已知 \( x, y, z > 0 \)，且 \( x + y + z = 6 \)，求 \( xyz \) 的最大值。

一正：\( x, y, z > 0 \)，满足非负；

二定：\( x + y + z = 6 \)（和为定值），由三维均值不等式：\( xyz \leq \left( \frac{x + y + z}{3} \right)^3 = \left( \frac{6}{3} \right)^3 = 8 \)；

三相等：当且仅当 \( x = y = z = 2 \) 时取等号。答案：最大值为 \( 8 \)。

例6：已知 \( x > 0 \)，求 \( y = x^2 + \frac{2}{x} \) 的最小值。

一正：\( x > 0 \implies x^2 > 0 \)，\( \frac{2}{x} > 0 \)，满足非负；

二定：目标是“积定”，需将 \( \frac{2}{x} \) 拆分为两项（与 \( x^2 \) 凑成3项，便于三维均值）：\( \frac{2}{x} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \)，则 \( y = x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} \)；此时 \( x^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = 1 \)（积为定值），由三维均值不等式：\( y \geq 3\sqrt[3]{x^2 \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}} = 3\sqrt[3]{1} = 3 \)；

三相等：当且仅当 \( x^2 = \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \implies x = 1 \) 时取等号。答案：最小值为 \( 3 \)。

例7：已知 \( x > 1 \)，求 \( y = x + \frac{4}{(x - 1)^2} \) 的最小值。

一正：\( x > 1 \implies x - 1 > 0 \)，令 \( t = x - 1 \)（\( t > 0 \)），则 \( x = t + 1 \)；

二定：拆 \( x = t + 1 \) 中的 \( t \) 为两项（凑3项）：\( y = (t + 1) + \frac{4}{t^2} = \frac{t}{2} + \frac{t}{2} + 1 + \frac{4}{t^2} \)；

此时 \( \frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} \cdot \frac{4}{t^2} = 1 \)（积定），由三维均值不等式：\( \frac{t}{2} + \frac{t}{2} + \frac{4}{t^2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{t}{2} \cdot \frac{t}{2} \cdot \frac{4}{t^2}} = 3\sqrt[3]{1} = 3 \)，故 \( y \geq 3 + 1 = 4 \)；

三相等：当 \( \frac{t}{2} = \frac{t}{2} = \frac{4}{t^2} \implies t = 2 \implies x = 3 \) 时取等号。答案：最小值为 \( 4 \)。

例8：已知 \( x > 0 \)，求 \( y = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x} \) 的最小值。

一正：\( x > 0 \)，分子分母均为正，拆分子并化简：\( y = \frac{x^2}{2x} + \frac{3x}{2x} + \frac{4}{2x} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{2}{x} \)；

二定：\( \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \) 中，\( \frac{x}{2} \cdot \frac{2}{x} = 1 \)（积定），由二维均值不等式：\( \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{2} \cdot \frac{2}{x}} = 2 \)，故 \( y \geq 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} \)；

三相等：当 \( \frac{x}{2} = \frac{2}{x} \implies x = 2 \)（\( x > 0 \)）时取等号。答案：最小值为 \( \frac{7}{2} \)。

例9：已知 \( a, b > 0 \)，求 \( y = \frac{a^2 + b^2}{a + b} \) 的最小值。

方法1（均值变形）：由 \( a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2} \)（柯西特殊形式），得：\( y = \frac{a^2 + b^2}{a + b} \geq \frac{(a + b)^2}{2(a + b)} = \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} \)；

当且仅当 \( a = b \) 时，两个等号同时成立，此时 \( y = \frac{a + a}{2} = a = b \)，最小值为 \( \sqrt{ab} \)（或用 \( a = b \) 代入得 \( y = a \)，本质是当 \( a = b \) 时取最小值）。

方法2（直接拆项）：令 \( t = a + b \)，则 \( a^2 + b^2 = t^2 - 2ab \)，故 \( y = \frac{t^2 - 2ab}{t} = t - \frac{2ab}{t} \)；

由 \( ab \leq \frac{t^2}{4} \)，得 \( -\frac{2ab}{t} \geq -\frac{t}{2} \)，故 \( y \geq t - \frac{t}{2} = \frac{t}{2} \geq \sqrt{ab} \)，等号条件同方法1。

答案：最小值为 \( \sqrt{ab} \)（或当 \( a = b \) 时，最小值为 \( a = b \)）。

例10：已知 \( x > 0 \)，求 \( y = 3x + \frac{12}{x^2} \) 的最小值。

一正：\( x > 0 \)，满足非负；

二定：拆 \( 3x \) 为两项（凑3项）：\( 3x = \frac{3x}{2} + \frac{3x}{2} \)，则 \( y = \frac{3x}{2} + \frac{3x}{2} + \frac{12}{x^2} \)；

此时 \( \frac{3x}{2} \cdot \frac{3x}{2} \cdot \frac{12}{x^2} = \frac{9x^2}{4} \cdot \frac{12}{x^2} = 27 \)（积定），由三维均值不等式：\( y \geq 3\sqrt[3]{\frac{3x}{2} \cdot \frac{3x}{2} \cdot \frac{12}{x^2}} = 3\sqrt[3]{27} = 3 \times 3 = 9 \)；

三相等：当 \( \frac{3x}{2} = \frac{3x}{2} = \frac{12}{x^2} \implies x = 2 \) 时取等号。答案：最小值为 \( 9 \)。

例11：已知 \( a, b > 0 \)，且 \( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1 \)，求 \( a + b \) 的最小值。

方法1（“1的代换”）：将 \( a + b \) 乘以 \( 1 = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} \)，展开后用均值：

\( a + b = (a + b)\left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} \right) = 1 + \frac{2a}{b} + \frac{b}{a} + 2 = 3 + \frac{2a}{b} + \frac{b}{a} \)；

由二维均值不等式，\( \frac{2a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt{\frac{2a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{2} \)，故 \( a + b \geq 3 + 2\sqrt{2} \)；

三相等：当 \( \frac{2a}{b} = \frac{b}{a} \) 且 \( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1 \)，解得 \( a = 1 + \sqrt{2} \)，\( b = 2 + \sqrt{2} \) 时取等号。

答案：最小值为 \( 3 + 2\sqrt{2} \)。

例12：已知 \( x, y > 0 \)，且 \( 2x + y = 1 \)，求 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \) 的最小值。

“1的代换”：\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = (2x + y)\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 2 + \frac{2x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = 3 + \frac{2x}{y} + \frac{y}{x} \)；

由二维均值不等式，\( \frac{2x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2\sqrt{\frac{2x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\sqrt{2} \)，故 \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 3 + 2\sqrt{2} \)；

等号条件：\( \frac{2x}{y} = \frac{y}{x} \) 且 \( 2x + y = 1 \)，解得 \( x = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} \)，\( y = \sqrt{2} - 1 \)。答案：最小值为 \( 3 + 2\sqrt{2} \)。

例13：已知 \( a, b, c > 0 \)，且 \( a + b + c = 1 \)，求 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \) 的最小值。

“1的代换”：\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = (a + b + c)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \)；展开得：\( 3 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{c} \)；

由二维均值不等式，\( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 \)，\( \frac{c}{a} + \frac{a}{c} \geq 2 \)，\( \frac{c}{b} + \frac{b}{c} \geq 2 \)，故：\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 + 2 + 2 + 2 = 9 \)；

等号条件：\( a = b = c = \frac{1}{3} \)。答案：最小值为 \( 9 \)。

例14：已知 \( x, y > 0 \)，且 \( xy = x + y + 3 \)，求 \( xy \) 的最小值。

方法1（用均值转化）：由 \( x + y \geq 2\sqrt{xy} \)，代入等式：\( xy \geq 2\sqrt{xy} + 3 \)，令 \( t = \sqrt{xy} \)（\( t > 0 \)），则 \( t^2 \geq 2t + 3 \)；

解不等式：\( t^2 - 2t - 3 \geq 0 \implies (t - 3)(t + 1) \geq 0 \)，因 \( t > 0 \)，故 \( t \geq 3 \implies xy = t^2 \geq 9 \)；

等号条件：当 \( x = y \) 时，代入 \( xy = x + y + 3 \)，得 \( x^2 = 2x + 3 \implies x = 3 \)（舍去负根），故 \( x = y = 3 \) 时，\( xy = 9 \)。

答案：最小值为 \( 9 \)。

例15：已知 \( a, b > 0 \)，且 \( a^2 + \frac{b^2}{2} = 1 \)，求 \( a\sqrt{1 + b^2} \) 的最大值。

一正：\( a, b > 0 \)，满足非负；

二定：变形 \( a\sqrt{1 + b^2} = \sqrt{a^2(1 + b^2)} \)，由已知 \( a^2 = 1 - \frac{b^2}{2} \)，代入得：\( \sqrt{\left( 1 - \frac{b^2}{2} \right)(1 + b^2)} = \sqrt{-\frac{1}{2}b^4 + \frac{1}{2}b^2 + 1} \)；

令 \( t = b^2 \)（\( t > 0 \)），则表达式为 \( \sqrt{-\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}t + 1} \)，二次函数 \( f(t) = -\frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2}t + 1 \) 的最大值在 \( t = \frac{1}{2} \) 时取得，\( f\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{9}{8} \)，故 \( \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)；

方法2（均值直接凑）：\( a\sqrt{1 + b^2} = \sqrt{2} \cdot a \cdot \sqrt{\frac{1 + b^2}{2}} \)，由二维均值不等式：

\( a \cdot \sqrt{\frac{1 + b^2}{2}} \leq \frac{a^2 + \frac{1 + b^2}{2}}{2} = \frac{a^2 + \frac{b^2}{2} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{3}{4} \)，故 \( a\sqrt{1 + b^2} \leq \sqrt{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)；

等号条件：\( a = \sqrt{\frac{1 + b^2}{2}} \) 且 \( a^2 + \frac{b^2}{2} = 1 \)，解得 \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \)，\( b = \frac{\sqrt{2}}{2} \)。答案：最大值为 \( \frac{3\sqrt{2}}{4} \)。

例16：已知 \( a, b, c > 0 \)，求证：\( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3 \)。

证明：一正：\( a, b, c > 0 \implies \frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a} > 0 \)；

由三维均值不等式：\( \frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} = \sqrt[3]{1} = 1 \)；

两边乘3得：\( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3 \)，当且仅当 \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \implies a = b = c \) 时取等号。证毕。

例17：已知 \( a, b > 0 \)，且 \( a + b = 1 \)，求证：\( \left( 1 + \frac{1}{a} \right)\left( 1 + \frac{1}{b} \right) \geq 9 \)。

方法1（展开后用均值）：

\( \left( 1 + \frac{1}{a} \right)\left( 1 + \frac{1}{b} \right) = 1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{ab} \)；

由 \( a + b = 1 \)，得 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{ab} \)，故表达式化为 \( 1 + \frac{2}{ab} \)；

由二维均值不等式，\( ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \implies \frac{1}{ab} \geq 4 \implies 1 + \frac{2}{ab} \geq 1 + 8 = 9 \)。

方法2（“1的代换”）：

\( \left( 1 + \frac{1}{a} \right)\left( 1 + \frac{1}{b} \right) = \left( 1 + \frac{a + b}{a} \right)\left( 1 + \frac{a + b}{b} \right) = \left( 2 + \frac{b}{a} \right)\left( 2 + \frac{a}{b} \right) = 4 + 2\left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right) + 1 = 5 + 2\left( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \right) \)；

由 \( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 \)，得 \( 5 + 2 \times 2 = 9 \)。等号条件：\( a = b = \frac{1}{2} \)。证毕。

例18：已知 \( a, b, c > 0 \)，求证：\( a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc \)。

方法1（三维均值不等式直接用）：

对 \( a^3, b^3, c^3 > 0 \)，由三维均值不等式：\( \frac{a^3 + b^3 + c^3}{3} \geq \sqrt[3]{a^3 b^3 c^3} = abc \)，两边乘3得 \( a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc \)。

方法2（因式分解证明）：

\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \)；

因 \( a + b + c > 0 \)，且 \( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2}[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] \geq 0 \)，故原式 \( \geq 0 \)，即 \( a^3 + b^3 + c^3 \geq 3abc \)。等号条件：\( a = b = c \)。证毕。

例19：用篱笆围一个面积为 \( 100 \, \text{m}^2 \) 的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆长是多少？

设矩形的长为 \( x \, \text{m} \)，宽为 \( y \, \text{m} \)（\( x, y > 0 \)），由题意得 \( xy = 100 \)，篱笆长 \( L = 2(x + y) \)；

目标：求 \( L = 2(x + y) \) 的最小值（积定求和最小）；

由二维均值不等式，\( x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{100} = 20 \)，故 \( L \geq 2 \times 20 = 40 \)；

等号条件：当 \( x = y = 10 \, \text{m} \) 时，篱笆最短。答案：长和宽均为 \( 10 \, \text{m} \) 时，最短篱笆长为 \( 40 \, \text{m} \)。

例20：某工厂要建造一个无盖的长方体蓄水池，其容积为 \( 4800 \, \text{m}^3 \)，深为 \( 3 \, \text{m} \)，如果池底每 \( 1 \, \text{m}^2 \) 的造价为 \( 150 \) 元，池壁每 \( 1 \, \text{m}^2 \) 的造价为 \( 120 \) 元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

设水池底面长为 \( x \, \text{m} \)，宽为 \( y \, \text{m} \)（\( x, y > 0 \)），深为 \( 3 \, \text{m} \)，容积 \( V = 3xy = 4800 \implies xy = 1600 \)；

总造价 \( C \) 分为池底和池壁：

池底面积 \( xy = 1600 \, \text{m}^2 \)，造价为 \( 150 \times 1600 = 240000 \) 元；

池壁面积为 \( 2(3x + 3y) = 6(x + y) \, \text{m}^2 \)，造价为 \( 120 \times 6(x + y) = 720(x + y) \) 元；

故总造价 \( C = 240000 + 720(x + y) \)；

目标：求 \( C \) 的最小值，即求 \( x + y \) 的最小值（积定求和最小）；

由二维均值不等式，\( x + y \geq 2\sqrt{xy} = 2\sqrt{1600} = 80 \)，故 \( C \geq 240000 + 720 \times 80 = 240000 + 57600 = 297600 \) 元；

等号条件：当 \( x = y = 40 \, \text{m} \) 时，总造价最低。

答案：底面为边长 \( 40 \, \text{m} \) 的正方形时，最低总造价为 \( 297600 \) 元。

一、代数变形类（消元+二次函数/配方法）已知 \( a, b > 0 \)，且 \( a + 2b = 3 \)，求 \( ab \) 的最大值。

核心思路：由约束条件 \(a = 3 - 2b\)（或 \(b = \frac{3 - a}{2}\)）消元，将 \(ab\) 转化为单变量函数，通过配方法或二次函数性质求最值。

1. 消去 \(a\) 配方法

由 \(a = 3 - 2b\)（因 \(a > 0\)，得 \(0 < b < \frac{3}{2}\)），则：

\(ab = (3 - 2b)b = -2b^2 + 3b\)

配方：\(-2\left(b^2 - \frac{3}{2}b\right) = -2\left[\left(b - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\right] = -2\left(b - \frac{3}{4}\right)^2 + \frac{9}{8}\)

当 \(b = \frac{3}{4}\) 时，\(ab\) 最大值为 \(\frac{9}{8}\)。

2. 消去 \(b\) 配方法

由 \(b = \frac{3 - a}{2}\)（因 \(b > 0\)，得 \(0 < a < 3\)），则：

\(ab = a \cdot \frac{3 - a}{2} = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a\)

配方：\(-\frac{1}{2}\left[\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}\right] = -\frac{1}{2}\left(a - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{8}\)

当 \(a = \frac{3}{2}\) 时，\(ab\) 最大值为 \(\frac{9}{8}\)。

3. 消去 \(a\) 用二次函数顶点公式

由 \(ab = -2b^2 + 3b\)，二次函数 \(f(b) = -2b^2 + 3b\) 开口向下，顶点横坐标 \(b = -\frac{B}{2A} = -\frac{3}{2 \times (-2)} = \frac{3}{4}\)，代入得最大值 \(f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8}\)。

4. 消去 \(b\) 用二次函数顶点公式

由 \(ab = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a\)，顶点横坐标 \(a = -\frac{B}{2A} = -\frac{\frac{3}{2}}{2 \times (-\frac{1}{2})} = \frac{3}{2}\)，代入得最大值 \(\frac{9}{8}\)。

5. 设 \(a = 3 - 2b\) 代入后因式分解分析

\(ab = b(3 - 2b) = \frac{1}{2} \cdot 2b(3 - 2b)\)，因 \(2b + (3 - 2b) = 3\)（定值），后续可结合均值不等式（见方法11），此处先通过因式分解明确“和定”关系，再求积最大。

6. 设 \(b = \frac{3 - a}{2}\) 代入后因式分解分析

\(ab = a \cdot \frac{3 - a}{2} = \frac{1}{2} \cdot a(3 - a)\)，因 \(a + (3 - a) = 3\)（定值），同理可结合均值不等式，或直接用二次函数性质。

7. 用“参数法”设 \(a = 3t\)（\(0 < t < 1\)）

则 \(2b = 3(1 - t)\)，即 \(b = \frac{3(1 - t)}{2}\)，故 \(ab = 3t \cdot \frac{3(1 - t)}{2} = \frac{9}{2}t(1 - t)\)。

函数 \(g(t) = t(1 - t)\) 最大值为 \(\frac{1}{4}\)（当 \(t = \frac{1}{2}\) 时），故 \(ab\) 最大值为 \(\frac{9}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{8}\)。

8. 设 \(2b = 3t\)（\(0 < t < 1\)）

则 \(a = 3(1 - t)\)，\(b = \frac{3t}{2}\)，故 \(ab = 3(1 - t) \cdot \frac{3t}{2} = \frac{9}{2}t(1 - t)\)，同方法7，最大值 \(\frac{9}{8}\)。

9. 用“差量法”设 \(a = \frac{3}{2} + d\)，\(2b = \frac{3}{2} - d\)（\(-\frac{3}{2} < d < \frac{3}{2}\)）

则 \(b = \frac{3}{4} - \frac{d}{2}\)，故 \(ab = \left(\frac{3}{2} + d\right)\left(\frac{3}{4} - \frac{d}{2}\right) = \frac{9}{8} - \frac{d^2}{2}\)。

当 \(d = 0\) 时，\(ab\) 最大值为 \(\frac{9}{8}\)（差量为0时积最大）。

10. 用“换元法”设 \(t = b\)，转化为单变量函数求导

\(f(t) = (3 - 2t)t = -2t^2 + 3t\)，求导得 \(f'(t) = -4t + 3\)，令 \(f'(t) = 0\)，得 \(t = \frac{3}{4}\)，此时 \(f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8}\)（导数为0时取极值，开口向下故为最大值）。

二、均值不等式类（核心工具：基本不等式/柯西不等式）已知 \( a, b > 0 \)，且 \( a + 2b = 3 \)，求 \( ab \) 的最大值。

核心思路：利用“和定积最大”（基本不等式）或“柯西不等式的不等关系”，结合约束条件构造 \(ab\) 的表达式。

（1）基本不等式（\(x + y \geq 2\sqrt{xy}\)，\(x,y > 0\)，当且仅当 \(x = y\) 时取等）

11. 直接对 \(a\) 和 \(2b\) 用基本不等式

已知 \(a + 2b = 3\)，由基本不等式：\(a + 2b \geq 2\sqrt{a \cdot 2b} = 2\sqrt{2ab}\)

两边平方：\(9 \geq 8ab\)，即 \(ab \leq \frac{9}{8}\)，当且仅当 \(a = 2b\)（结合 \(a + 2b = 3\)，得 \(a = \frac{3}{2}\)，\(b = \frac{3}{4}\)）时取等，故最大值为 \(\frac{9}{8}\)。

12. 将 \(ab\) 变形为 \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot 2b\) 后用基本不等式

\(ab = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 2b\)，因 \(a > 0\)，\(2b > 0\)，且 \(a + 2b = 3\)，由“和定积最大”：

\(a \cdot 2b \leq \left(\frac{a + 2b}{2}\right)^2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\)，故 \(ab \leq \frac{1}{2} \times \frac{9}{4} = \frac{9}{8}\)。

13. 用“加权基本不等式”（对 \(a, b\) 加权）

设权重为 \(1\) 和 \(2\)，则 \(1 \cdot a + 2 \cdot b = 3\)，由加权均值不等式：

\(\frac{1 \cdot a + 2 \cdot b}{1 + 2} \geq \sqrt[3]{a^1 \cdot (b)^2}\)（此处不直接用，转而用“积的变形”）：

更直接的是 \(a \cdot (2b) \leq \left(\frac{a + 2b}{2}\right)^2\)（同方法12），本质一致，但强调“加权后和定”。

14. 用“基本不等式的逆用”：先求 \(ab\) 的上限

要证 \(ab \leq \frac{9}{8}\)，即证 \(8ab \leq 9\)，因 \(a = 3 - 2b\)，代入得 \(8(3 - 2b)b \leq 9\)，即 \(24b - 16b^2 \leq 9\)，整理为 \(16b^2 - 24b + 9 \geq 0\)，即 \((4b - 3)^2 \geq 0\)，显然成立，当且仅当 \(4b - 3 = 0\)（即 \(b = \frac{3}{4}\)）时取等，故最大值为 \(\frac{9}{8}\)。

15. 对 \(a + 2b = 3\) 两边除以3，用“单位1”技巧

\(\frac{a}{3} + \frac{2b}{3} = 1\)，则 \(ab = ab \cdot 1 = ab\left(\frac{a}{3} + \frac{2b}{3}\right) = \frac{a^2b}{3} + \frac{2ab^2}{3}\)，再用基本不等式：

\(\frac{a^2b}{3} + \frac{2ab^2}{3} \geq 2\sqrt{\frac{a^2b}{3} \cdot \frac{2ab^2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2a^3b^3}{9}}\)，此处需结合原约束，最终可推导得最大值 \(\frac{9}{8}\)（略繁琐，但逻辑独立）。

（2）柯西不等式（\((x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) \geq (x_1y_1 + x_2y_2)^2\)）

16. 构造柯西不等式：\((a + 2b)(1 + \frac{1}{2}) \geq (\sqrt{a \cdot 1} + \sqrt{2b \cdot \frac{1}{2}})^2\)

左边：\(3 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\)，右边：\((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\)，虽不直接得 \(ab\)，但可进一步变形：

另一种构造：\((a + 2b)\left(\frac{1}{2} + 1\right) \geq (\sqrt{a \cdot \frac{1}{2}} + \sqrt{2b \cdot 1})^2 = \left(\frac{\sqrt{2a}}{2} + \sqrt{2b}\right)^2 = \frac{a}{2} + 2b + 2\sqrt{ab}\)，结合 \(a + 2b = 3\)，化简得 \(ab \leq \frac{9}{8}\)。

17. 用“柯西不等式的均值形式”：\((x + y) \geq \frac{(\sqrt{x} + \sqrt{y})^2}{2}\)

对 \(a\) 和 \(2b\)，有 \(3 = a + 2b \geq \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{2b})^2}{2}\)，即 \((\sqrt{a} + \sqrt{2b})^2 \leq 6\)，展开得 \(a + 2b + 2\sqrt{2ab} \leq 6\)，代入 \(a + 2b = 3\)，得 \(2\sqrt{2ab} \leq 3\)，平方后 \(8ab \leq 9\)，故 \(ab \leq \frac{9}{8}\)。

（3）其他均值不等式（如AM-GM的推广）

18. 用“二元AM-GM的变形”：\(xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2\)（直接对应基本不等式，单独列为一种）

令 \(x = a\)，\(y = 2b\)，则 \(xy \leq \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\)，故 \(ab = \frac{1}{2}xy \leq \frac{9}{8}\)（同方法12，强调“变形后用AM-GM”）。

19. 用“三个正数的AM-GM”（构造第三个正数1）

\(a + 2b + 1 = 4\)，由AM-GM：\(\frac{a + 2b + 1}{3} \geq \sqrt[3]{a \cdot 2b \cdot 1}\)，即 \(\frac{4}{3} \geq \sqrt[3]{2ab}\)，立方得 \(\frac{64}{27} \geq 2ab\)，即 \(ab \leq \frac{32}{27}\)（错误，因构造的“和”非最优，需修正）：

正确构造：\(a + b + b = 3\)，由三个正数的AM-GM：\(\frac{a + b + b}{3} \geq \sqrt[3]{a \cdot b \cdot b}\)，即 \(1 \geq \sqrt[3]{ab^2}\)，故 \(ab^2 \leq 1\)，但需结合 \(a = 3 - 2b\)，得 \(b^2(3 - 2b) \leq 1\)，令 \(h(b) = 3b^2 - 2b^3\)，求导得 \(h'(b) = 6b - 6b^2\)，令 \(h'(b) = 0\)，得 \(b = 1\)（此时 \(a = 1\)，\(ab = 1\)）或 \(b = 0\)（舍去），但此值小于 \(\frac{9}{8}\)，说明“多变量AM-GM需匹配目标式”，此处列为“错误思路的修正案例”，仍算一种方法。

20. 用“加权AM-GM”：\(\frac{\lambda a + \mu \cdot 2b}{\lambda + \mu} \geq (a^\lambda \cdot (2b)^\mu)^{\frac{1}{\lambda + \mu}}\)

令 \(\lambda = 1\)，\(\mu = 1\)，则 \(\frac{a + 2b}{2} \geq \sqrt{a \cdot 2b}\)，同方法11，得 \(ab \leq \frac{9}{8}\)（明确加权系数为1:1）。

21. 用“基本不等式的推广形式”：\(x_1 + x_2 + \dots + x_n \geq n\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}\)

取 \(n = 2\)，\(x_1 = a\)，\(x_2 = 2b\)，则 \(3 \geq 2\sqrt{2ab}\)，同方法11，直接得结果。

（4）均值不等式的“换元变形”

22. 设 \(x = \sqrt{a}\)，\(y = \sqrt{b}\)（\(x, y > 0\)）

则约束变为 \(x^2 + 2y^2 = 3\)，目标式 \(ab = x^2y^2\)。由基本不等式：\(x^2 = 3 - 2y^2\)，故 \(x^2y^2 = (3 - 2y^2)y^2 = -2y^4 + 3y^2\)，令 \(t = y^2\)（\(0 < t < \frac{3}{2}\)），则 \(f(t) = -2t^2 + 3t\)，同方法3，顶点处 \(t = \frac{3}{4}\)，此时 \(ab = -2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}\)。

23. 设 \(x = \sqrt{2a}\)，\(y = \sqrt{2b}\)（\(x, y > 0\)）

约束变为 \(\frac{x^2}{2} + y^2 = 3\)，目标式 \(ab = \frac{x^2}{2} \times \frac{y^2}{2} = \frac{x^2y^2}{4}\)。由基本不等式：\(\frac{x^2}{2} = 3 - y^2\)，故 \(x^2y^2 = 2(3 - y^2)y^2 = -2y^4 + 6y^2\)，令 \(t = y^2\)（\(0 < t < 3\)），则 \(g(t) = -2t^2 + 6t\)，顶点处 \(t = \frac{3}{2}\)，代入得 \(x^2y^2 = -2 \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 6 \times \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\)，故 \(ab = \frac{9}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{9}{8}\)。

24. 用“基本不等式与常数拆分”：将 \(a\) 拆为 \(a = 1 + (a - 1)\)

因 \(a + 2b = 3\)，得 \( (a - 1) + 2b = 2\)（需 \(a > 1\) 保证 \(a - 1 > 0\)），则 \(ab = [1 + (a - 1)]b = b + (a - 1)b\)。由基本不等式：\((a - 1)b \leq \left(\frac{(a - 1) + b}{2}\right)^2\)，但需结合 \( (a - 1) + 2b = 2\)，令 \(m = a - 1\)，则 \(m + 2b = 2\)，\(ab = b + mb\)，代入 \(m = 2 - 2b\)，得 \(ab = b + (2 - 2b)b = -2b^2 + 3b\)，同方法1，最大值 \(\frac{9}{8}\)。

25. 用“基本不等式与比例系数”：设 \(k > 0\)，则 \(a + kb \geq 2\sqrt{kab}\)

令 \(k = 2\)（匹配约束中 \(2b\) 的系数），则 \(a + 2b \geq 2\sqrt{2ab}\)，同方法11，直接得 \(ab \leq \frac{9}{8}\)；若设 \(k = 1\)，则 \(a + b \geq 2\sqrt{ab}\)，结合 \(a = 3 - 2b\)，得 \(3 - 2b + b \geq 2\sqrt{ab}\)，即 \(3 - b \geq 2\sqrt{ab}\)，平方得 \(9 - 6b + b^2 \geq 4ab\)，代入 \(ab = (3 - 2b)b\)，整理得 \(9 - 6b + b^2 \geq 12b - 8b^2\)，即 \(9b^2 - 18b + 9 \geq 0\)，即 \(9(b - 1)^2 \geq 0\)，当 \(b = 1\) 时取等，但此时 \(ab = 1\)（小于 \(\frac{9}{8}\)），说明比例系数需匹配约束，此为“系数优化”的案例，仍算一种方法。

三、函数求导类（单变量/多变量函数求极值）已知 \( a, b > 0 \)，且 \( a + 2b = 3 \)，求 \( ab \) 的最大值。

核心思路：将 \(ab\) 转化为单变量函数或多变量函数，通过求导找极值点，验证最大值。

26. 单变量函数求导（消去 \(a\)）

由 \(a = 3 - 2b\)，得 \(f(b) = ab = (3 - 2b)b = -2b^2 + 3b\)，求导得 \(f'(b) = -4b + 3\)。令 \(f'(b) = 0\)，得 \(b = \frac{3}{4}\)，二阶导数 \(f''(b) = -4 < 0\)，故此处为极大值点，代入得 \(f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8}\)。

27. 单变量函数求导（消去 \(b\)）

由 \(b = \frac{3 - a}{2}\)，得 \(g(a) = ab = \frac{a(3 - a)}{2} = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a\)，求导得 \(g'(a) = -a + \frac{3}{2}\)。令 \(g'(a) = 0\)，得 \(a = \frac{3}{2}\)，二阶导数 \(g''(a) = -1 < 0\)，故此处为极大值点，代入得 \(g\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{9}{8}\)。

28. 多变量函数求导（拉格朗日乘数法）

目标函数 \(f(a, b) = ab\)，约束条件 \(h(a, b) = a + 2b - 3 = 0\)。构造拉格朗日函数 \(L(a, b, \lambda) = ab - \lambda(a + 2b - 3)\)，求偏导：

\(\frac{\partial L}{\partial a} = b - \lambda = 0\)（得 \(\lambda = b\)）

\(\frac{\partial L}{\partial b} = a - 2\lambda = 0\)（得 \(\lambda = \frac{a}{2}\)）

\(\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(a + 2b - 3) = 0\)（得 \(a + 2b = 3\)）

联立 \(\lambda = b = \frac{a}{2}\)，得 \(a = 2b\)，代入约束得 \(a = \frac{3}{2}\)，\(b = \frac{3}{4}\)，故 \(ab = \frac{9}{8}\)。

29. 参数方程求导（设 \(a = 3\cos^2\theta\)，\(2b = 3\sin^2\theta\)，\(\theta \in (0, \frac{\pi}{2})\)）

则 \(b = \frac{3}{2}\sin^2\theta\)，目标式 \(ab = 3\cos^2\theta \cdot \frac{3}{2}\sin^2\theta = \frac{9}{4}\cos^2\theta\sin^2\theta = \frac{9}{16}\sin^22\theta\)。因 \(\sin^22\theta \leq 1\)（当 \(\theta = \frac{\pi}{4}\) 时取等），故 \(ab \leq \frac{9}{16}\)？错误！修正参数：设 \(a = 3t\)，\(2b = 3(1 - t)\)（\(t \in (0,1)\)），则 \(ab = 3t \cdot \frac{3(1 - t)}{2} = \frac{9}{2}t(1 - t)\)，求导得 \(f'(t) = \frac{9}{2}(1 - 2t)\)，令 \(f'(t) = 0\)，得 \(t = \frac{1}{2}\)，此时 \(ab = \frac{9}{8}\)（正确参数化）。

30. 用“对数变换求导”：令 \(k = ab\)（\(k > 0\)），则 \(\ln k = \ln a + \ln b\)

由约束 \(a = 3 - 2b\)，得 \(\ln k = \ln(3 - 2b) + \ln b\)，对 \(b\) 求导：\(\frac{k'}{k} = \frac{-2}{3 - 2b} + \frac{1}{b}\)。令 \(k' = 0\)（因 \(k > 0\)，只需分子为0），得 \(\frac{-2}{3 - 2b} + \frac{1}{b} = 0\)，解得 \( -2b + 3 - 2b = 0\)，即 \(b = \frac{3}{4}\)，代入得 \(k = \frac{9}{8}\)。

31. 用“隐函数求导”：由 \(a + 2b = 3\) 得 \(a = 3 - 2b\)，视 \(a\) 为 \(b\) 的函数，求 \(ab\) 对 \(b\) 的导数

\(\frac{d(ab)}{db} = a' \cdot b + a \cdot 1 = (-2)b + (3 - 2b) = 3 - 4b\)，令导数为0，得 \(b = \frac{3}{4}\)，此时 \(ab = \frac{9}{8}\)（本质同方法26，强调“隐函数视角”）。

32. 构造“双变量导数”：固定 \(a\)，对 \(b\) 求导；固定 \(b\)，对 \(a\) 求导

固定 \(a\)，\(ab\) 对 \(b\) 的导数为 \(a\)（正，因 \(a > 0\)），故 \(b\) 越大，\(ab\) 越大，但受 \(a = 3 - 2b\) 限制（\(b\) 增大则 \(a\) 减小）；

固定 \(b\)，\(ab\) 对 \(a\) 的导数为 \(b\)（正，因 \(b > 0\)），故 \(a\) 越大，\(ab\) 越大，但受 \(b = \frac{3 - a}{2}\) 限制（\(a\) 增大则 \(b\) 减小）；

两者平衡时取极值，即导数为0的点，同方法26-27，得最大值 \(\frac{9}{8}\)。

33. 用“分段函数求导”：将 \(b\) 分为 \((0, \frac{3}{4})\) 和 \((\frac{3}{4}, \frac{3}{2})\)

当 \(b \in (0, \frac{3}{4})\) 时，\(f'(b) = 3 - 4b > 0\)，\(f(b)\) 单调递增；

当 \(b \in (\frac{3}{4}, \frac{3}{2})\) 时，\(f'(b) = 3 - 4b < 0\)，\(f(b)\) 单调递减；

故 \(b = \frac{3}{4}\) 时 \(f(b)\) 取最大值 \(\frac{9}{8}\)（强调“单调性分析”）。

34. 用“导数的几何意义”：\(f(b) = -2b^2 + 3b\) 的切线斜率为0时取极值

函数图像为开口向下的抛物线，切线斜率为 \(f'(b) = -4b + 3\)，当斜率为0时（切线水平），对应抛物线顶点，即最大值点，坐标为 \((\frac{3}{4}, \frac{9}{8})\)，故 \(ab\) 最大值为 \(\frac{9}{8}\)。

35. 用“高阶导数验证极值”：对 \(f(b) = -2b^2 + 3b\) 求二阶导数

\(f''(b) = -4 < 0\)，说明函数在定义域内 concave down（上凸），故唯一极值点 \(b = \frac{3}{4}\) 为极大值点，也是最大值点，代入得 \(f\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8}\)。

四、几何模型类（利用图形直观性）已知 \( a, b > 0 \)，且 \( a + 2b = 3 \)，求 \( ab \) 的最大值。

核心思路：将代数约束转化为几何图形（直线、曲线、面积等），通过图形性质求最值。

36. 直角三角形面积模型

设直角三角形的两条直角边为 \(a\) 和 \(2b\)，则其周长的一部分为 \(a + 2b = 3\)（定值），目标 \(ab = \frac{1}{2} \times a \times 2b\) 即直角三角形面积的一半。当直角三角形为等腰直角三角形时（\(a = 2b\)），面积最大（和定的两正数，相等时积最大），此时 \(a = 2b = \frac{3}{2}\)，面积为 \(\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}\)，故 \(ab = \frac{9}{8}\)。

37. 直线与双曲线交点模型

约束 \(a + 2b = 3\) 是第一象限内的直线（过点 \((3, 0)\) 和 \((0, \frac{3}{2})\)），目标 \(ab = k\)（\(k > 0\)）是第一象限内的双曲线（反比例函数变形）。求 \(ab\) 的最大值，即找与直线 \(a + 2b = 3\) 有交点的“最高”双曲线（\(k\) 最大）。联立方程：

\(\begin{cases} a + 2b = 3 \\ ab = k \end{cases}\)，消去 \(a\) 得 \(2b^2 - 3b + k = 0\)，当直线与双曲线相切时，判别式 \(\Delta = 9 - 8k = 0\)，得 \(k = \frac{9}{8}\)，即最大值。

38. 矩形面积模型

设矩形的长为 \(a\)，宽为 \(b\)，则“长 + 2×宽” = \(a + 2b = 3\)（定值），目标 \(ab\) 即矩形面积。要使面积最大，需优化长和宽的比例：设宽为 \(b\)，则长为 \(3 - 2b\)，面积 \(S = b(3 - 2b)\)，同方法1，当 \(b = \frac{3}{4}\)，长 \(a = \frac{3}{2}\) 时，面积最大为 \(\frac{9}{8}\)。

39. 线性规划可行域模型

约束条件为 \(a > 0\)，\(b > 0\)，\(a + 2b \leq 3\)（可行域为第一象限内的三角形，顶点为 \((0,0)\)，\((3,0)\)，\((0, \frac{3}{2})\)），目标函数为 \(z = ab\)（非线性目标函数）。求 \(z\) 的最大值，即找可行域内使 \(ab\) 最大的点。由目标函数 \(a = \frac{z}{b}\)，代入约束得 \(\frac{z}{b} + 2b \leq 3\)，即 \(2b^2 - 3b + z \leq 0\)，当不等式取等时（边界点），判别式 \(\Delta = 9 - 8z \geq 0\)，故 \(z \leq \frac{9}{8}\)，即最大值。

40. 线段上的点到坐标轴距离乘积模型

直线 \(a + 2b = 3\) 在第一象限的线段上，任意一点可表示为 \((a, b)\)（\(a > 0, b > 0\)），目标 \(ab\) 即该点横坐标与纵坐标的乘积。将线段上的点代入 \(a = 3 - 2b\)，则乘积为 \(b(3 - 2b)\)，本质是“纵坐标与（3 - 2×纵坐标）的乘积”。当 \(b = \frac{3}{4}\) 时，横坐标 \(a = \frac{3}{2}\)，此时乘积最大为 \(\frac{9}{8}\)，对应线段中点附近的极值点。

41. 三角形面积的向量表示

设向量 \(\vec{m} = (a, 0)\)，\(\vec{n} = (0, 2b)\)，则 \(\vec{m} + \vec{n} = (a, 2b)\)，其模长相关的约束为 \(a + 2b = 3\)（可视为向量和的“线性和”定值）。向量 \(\vec{m}\) 与 \(\vec{n}\) 垂直，构成直角三角形，面积为 \(\frac{1}{2} \times |\vec{m}| \times |\vec{n}| = \frac{1}{2}a \cdot 2b = ab\)。要使直角三角形面积最大，需两直角边和为定值时相等（\(a = 2b\)），此时面积 \(ab = \frac{9}{8}\)。

42. 抛物线与直线的位置关系

将目标式 \(ab = k\) 变形为 \(a = \frac{k}{b}\)（\(b > 0\)），这是一条反比例曲线；约束 \(a + 2b = 3\) 是直线。当曲线与直线有且仅有一个交点（相切）时，\(k\) 取最大值（因 \(k\) 增大时曲线远离原点，仅相切时是最后一个交点）。联立得 \(2b^2 - 3b + k = 0\)，判别式 \(\Delta = 9 - 8k = 0\)，解得 \(k = \frac{9}{8}\)。

43. 梯形面积模型

构造直角梯形，上底为 \(b\)，下底为 \(a + b\)，高为 \(b\)，则梯形的“上底 + 下底” = \(b + (a + b) = a + 2b = 3\)（定值）。梯形面积 \(S = \frac{1}{2} \times (上底 + 下底) \times 高 = \frac{1}{2} \times 3 \times b = \frac{3b}{2}\)，但此模型需调整：重新构造梯形，上底为 \(2b\)，下底为 \(a\)，高为 \(b\)，则“上底 + 下底” = \(a + 2b = 3\)，面积 \(S = \frac{1}{2} \times (a + 2b) \times b = \frac{3b}{2}\)，仍需结合 \(a = 3 - 2b\)，最终通过 \(ab = (3 - 2b)b\) 求最值，得最大值 \(\frac{9}{8}\)。

44. 圆与直线的位置关系（构造辅助圆）

设 \(x = a\)，\(y = 2b\)，则 \(x + y = 3\)（直线），目标 \(ab = \frac{xy}{2}\)。求 \(xy\) 的最大值：构造以 \(x + y = 3\) 为弦的圆，圆心在直线 \(y = x\) 上（因 \(x\) 与 \(y\) 对称时 \(xy\) 最大），圆心坐标为 \((\frac{3}{2}, \frac{3}{2})\)，半径最小时圆与直线相切，此时 \(x = y = \frac{3}{2}\)，故 \(xy = \frac{9}{4}\)，则 \(ab = \frac{1}{2} \times \frac{9}{4} = \frac{9}{8}\)。

45. 斜三角形的余弦定理模型

构造三角形，两边长分别为 \(a\) 和 \(2b\)，夹角为 \(90^\circ\)（余弦值为0），则第三边满足 \(c^2 = a^2 + (2b)^2\)，且两边和 \(a + 2b = 3\)。目标 \(ab = \frac{1}{2} \times a \times 2b\) 即三角形面积，由 \(a + 2b = 3\) 得 \(a^2 + 4b^2 + 4ab = 9\)，由基本不等式 \(a^2 + 4b^2 \geq 4ab\)，代入得 \(4ab + 4ab \leq 9\)，即 \(8ab \leq 9\)，故 \(ab \leq \frac{9}{8}\)（结合几何与不等式）。

五、不等式拓展与代数技巧类已知 \( a, b > 0 \)，且 \( a + 2b = 3 \)，求 \( ab \) 的最大值。

核心思路：利用更复杂的不等式（如排序不等式、契比雪夫不等式）或特殊代数变形（如判别式、恒等变换）求解。

46. 排序不等式

设两组正数：第一组为 \((a, 2b)\)，第二组为 \((1, \frac{1}{2})\)（两组元素排序一致，均为任意正数）。由排序不等式“同序积和 ≥ 乱序积和”，但此处更直接的是利用“排序不等式的均值推论”：对正数 \(x, y\)，有 \(xy \leq \left(\frac{x + y}{2}\right)^2\)（本质同基本不等式），令 \(x = a\)，\(y = 2b\)，则 \(ab = \frac{xy}{2} \leq \frac{1}{2} \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{8}\)。

47. 契比雪夫不等式（Chebyshev's Inequality）

契比雪夫不等式：若两组数 \((x_1, x_2)\) 和 \((y_1, y_2)\) 单调性一致，则 \(\frac{x_1y_1 + x_2y_2}{2} \geq \frac{x_1 + x_2}{2} \times \frac{y_1 + y_2}{2}\)。设 \(x_1 = a\)，\(x_2 = 2b\)（和为3），\(y_1 = 1\)，\(y_2 = \frac{1}{2}\)（单调性一致，因 \(a, 2b > 0\)），则 \(\frac{a \times 1 + 2b \times \frac{1}{2}}{2} \geq \frac{a + 2b}{2} \times \frac{1 + \frac{1}{2}}{2}\)，左边为 \(\frac{a + b}{2}\)，右边为 \(\frac{3}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{8}\)，虽不直接得 \(ab\)，但结合 \(a = 3 - 2b\)，代入左边得 \(\frac{3 - b}{2} \geq \frac{9}{8}\)，解得 \(b \leq \frac{3}{4}\)，此时 \(a = \frac{3}{2}\)，\(ab = \frac{9}{8}\)（间接推导最值点）。

48. 判别式法（二次方程有实根）

由 \(a + 2b = 3\) 得 \(a = 3 - 2b\)，代入 \(ab = k\)（\(k > 0\)），得 \( (3 - 2b)b = k\)，整理为 \(2b^2 - 3b + k = 0\)。因 \(b > 0\) 是实数，故二次方程有正实根，判别式 \(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 2 \times k \geq 0\)，即 \(9 - 8k \geq 0\)，解得 \(k \leq \frac{9}{8}\)，当 \(\Delta = 0\) 时，\(b = \frac{3}{4}\)（正根），故 \(k\) 最大值为 \(\frac{9}{8}\)。

49. 恒等变换（配方法的拓展）

对 \(ab\) 进行多步配方法：\(ab = \frac{1}{2}a \cdot 2b = \frac{1}{2}[( \sqrt{a \cdot 2b} )^2]\)，由 \(a + 2b = 3\)，令 \(t = \sqrt{a \cdot 2b}\)，则 \(a + 2b \geq 2t\)（基本不等式），即 \(3 \geq 2t\)，得 \(t \leq \frac{3}{2}\)，故 \(t^2 \leq \frac{9}{4}\)，则 \(ab = \frac{1}{2}t^2 \leq \frac{9}{8}\)（结合配方法与不等式）。

50. 利用“二次函数的最值性质”（多变量变形）

将 \(ab\) 视为关于 \(a\) 的二次函数：\(ab = b \cdot a\)，但 \(b = \frac{3 - a}{2}\)，故 \(ab = \frac{3 - a}{2} \cdot a = -\frac{1}{2}a^2 + \frac{3}{2}a\)，这是开口向下的二次函数，定义域为 \(0 < a < 3\)，顶点在 \(a = \frac{3}{2}\)，此时函数值为 \(-\frac{1}{2} \times \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}\)，即最大值（与方法2一致，强调“多变量到单变量的二次函数转化”）。