不等式 02 权方和不等式

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、权方和不等式的分式形式

设 \( x_1, x_2, \dots, x_n \) 和 \( y_1, y_2, \dots, y_n \) 均为正实数（分母不能为0，分子可放宽至非负），且实数 \( k > 0 \) 或 \( k < -1 \)，则有：\(\frac{x_1^{k+1}}{y_1^k} + \frac{x_2^{k+1}}{y_2^k} + \dots + \frac{x_n^{k+1}}{y_n^k} \geq \frac{(x_1 + x_2 + \dots + x_n)^{k+1}}{(y_1 + y_2 + \dots + y_n)^k}\)，当且仅当 \( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} = \dots = \frac{x_n}{y_n} \) 时，等号成立。

\( k = 1 \)时，\( \frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} \geq \frac{(x_1 + x_2)^2}{y_1 + y_2} \)，等号成立条件：\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)

\( k = 2 \)时，\( \frac{x_1^3}{y_1^2} + \frac{x_2^3}{y_2^2} \geq \frac{(x_1 + x_2)^3}{(y_1 + y_2)^2} \)，等号成立条件：\( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)

\( k = -2 \)时，\( \frac{x_1^{-1}}{y_1^{-2}} + \frac{x_2^{-1}}{y_2^{-2}} = \frac{y_1^2}{x_1} + \frac{y_2^2}{x_2} \geq \frac{(y_1 + y_2)^2}{x_1 + x_2} \)，等号成立条件：\( \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} \)

二、权方和不等式的向量形式

权方和不等式可由柯西不等式推导而来，其向量形式进一步体现了“内积”的思想：

设向量 \( \vec{a} = \left( \frac{x_1^{(k+1)/2}}{y_1^{k/2}}, \frac{x_2^{(k+1)/2}}{y_2^{k/2}}, \dots, \frac{x_n^{(k+1)/2}}{y_n^{k/2}} \right) \)，向量 \( \vec{b} = \left( y_1^{k/2}, y_2^{k/2}, \dots, y_n^{k/2} \right) \)，

根据柯西不等式 \( (\vec{a} \cdot \vec{b})^2 \leq (\vec{a} \cdot \vec{a})(\vec{b} \cdot \vec{b}) \)，代入化简后可得到权方和不等式（需结合 \( k \) 的取值范围调整不等号方向）。

三、权方和不等式的证明方法：以最常用的 \( k=1 \) 为例

以2项形式 \( \frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} \geq \frac{(x_1 + x_2)^2}{y_1 + y_2} \) 为例，用作差法证明（通用性强，易理解）：

1. 作差变形：\( \frac{x_1^2}{y_1} + \frac{x_2^2}{y_2} - \frac{(x_1 + x_2)^2}{y_1 + y_2} \)，通分后分子为：\( x_1^2 y_2 (y_1 + y_2) + x_2^2 y_1 (y_1 + y_2) - (x_1 + x_2)^2 y_1 y_2 \)

2. 化简分子：整理分子：\( x_1^2 y_2^2 + x_2^2 y_1^2 - 2 x_1 x_2 y_1 y_2 = (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 \)

3. 判断符号：由于 \( x_1, x_2, y_1, y_2 > 0 \)，故 \( (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 \geq 0 \)，即左边 - 右边 ≥ 0。

当且仅当 \( x_1 y_2 = x_2 y_1 \)（即 \( \frac{x_1}{y_1} = \frac{x_2}{y_2} \)）时，等号成立。

四、权方和不等式的应用

1：已知\(a,b,c\in R^{+}\)，求证\(\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geqslant a + b + c\)。

由权方和不等式 \(\frac{a^{3}}{b^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}}\geqslant\frac{(a + b + c)^{3}}{(b + c + a)^{2}}=a + b + c\)，当且仅当\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)时等号成立。

2：已知\(x,y>0\)，且\(x + y = 1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\)的最小值。

由权方和不等式 \(\frac{1^{2}}{x}+\frac{2^{2}}{y}\geqslant\frac{(1 + 2)^{2}}{(x + y)}=\frac{9}{1}=9\)，

当且仅当\(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}\)，结合\(x + y = 1\)，解得\(x=\frac{1}{3}\)，\(y=\frac{2}{3}\)时等号成立，所以\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\)的最小值为\(9\)。

3：已知\(a,b > 0\)，且\(a + b=1\)，求证\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant4\)。

由权方和不等式\(\frac{1^{2}}{a}+\frac{1^{2}}{b}\geqslant\frac{(1 + 1)^{2}}{a + b}\)，因为\(a + b = 1\)，所以\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geqslant\frac{4}{1}=4\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)时等号成立。

4：已知\(x,y>0\)，且\(x + y=2\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\)的最小值。

由权方和不等式\(\frac{1^{2}}{x}+\frac{2^{2}}{y}\geqslant\frac{(1 + 2)^{2}}{x + y}\)。

因为\(x + y = 2\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\geqslant\frac{9}{2}\)，当且仅当\(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}\)，结合\(x + y = 2\)，解得\(x=\frac{2}{3}\)，\(y=\frac{4}{3}\)时等号成立。

5：已知\(a,b,c>0\)，且\(a + b + c = 1\)，求证\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant9\)。

证明：由权方和不等式\(\frac{1^{2}}{a}+\frac{1^{2}}{b}+\frac{1^{2}}{c}\geqslant\frac{(1 + 1+1)^{2}}{a + b + c}\)。

因为\(a + b + c = 1\)，所以\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant\frac{9}{1}=9\)，当且仅当\(a=b = c=\frac{1}{3}\)时等号成立。

6：已知\(x,y,z>0\)，且\(x + y+z = 3\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)的最小值。

解：由权方和不等式\(\frac{1^{2}}{x}+\frac{1^{2}}{y}+\frac{1^{2}}{z}\geqslant\frac{(1 + 1 + 1)^{2}}{x + y+z}\)。

因为\(x + y + z = 3\)，所以\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant\frac{9}{3}=3\)，当且仅当\(x=y = z = 1\)时等号成立。

7：已知\(a,b>0\)，且\(a^{2}+b^{2}=1\)，求证\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geqslant8\)。

证明：由权方和不等式\(\frac{1^{3}}{a^{2}}+\frac{1^{3}}{b^{2}}\geqslant\frac{(1 + 1)^{3}}{a^{2}+b^{2}}\)。

因为\(a^{2}+b^{2}=1\)，所以\(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geqslant\frac{8}{1}=8\)，当且仅当\(a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}\)时等号成立。

8：已知\(x,y>0\)，且\(x^{2}+y^{2}=2\)，求\(\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{y^{2}}\)的最小值。

解：由权方和不等式\(\frac{1^{3}}{x^{2}}+\frac{2^{3}}{y^{2}}\geqslant\frac{(1 + 2)^{3}}{x^{2}+y^{2}}\)。

因为\(x^{2}+y^{2}=2\)，所以\(\frac{1}{x^{2}}+\frac{4}{y^{2}}\geqslant\frac{27}{2}\)，当且仅当\(\frac{1}{x^{2}}=\frac{2}{y^{2}}\)，结合\(x^{2}+y^{2}=2\)解得\(x=\frac{\sqrt{2}}{3}\)，\(y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)时等号成立。

9：已知\(a,b,c>0\)，且\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3\)，求证\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geqslant3\)。

证明：由权方和不等式\(\frac{1^{4}}{a^{3}}+\frac{1^{4}}{b^{3}}+\frac{1^{4}}{c^{3}}\geqslant\frac{(1 + 1+1)^{4}}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}\)。

因为\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=3\)，所以\(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}}\geqslant\frac{81}{3}=27\)，当且仅当\(a=b = c = 1\)时等号成立。

10：已知\(x,y,z>0\)，且\(x^{3}+y^{3}+z^{3}=1\)，求\(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}\)的最小值。

解：由权方和不等式\(\frac{1^{4}}{x^{3}}+\frac{1^{4}}{y^{3}}+\frac{1^{4}}{z^{3}}\geqslant\frac{(1 + 1 + 1)^{4}}{x^{3}+y^{3}+z^{3}}\)。

因为\(x^{3}+y^{3}+z^{3}=1\)，所以\(\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}+\frac{1}{z^{3}}\geqslant27\)，当且仅当\(x=y = z = 1\)时等号成立。

11：已知\(a,b>0\)，且\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)，求证\(a + b\geqslant4\)。

证明：已知\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1\)，则\(a + b=(a + b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)。

由权方和不等式\(\frac{1^{2}}{a}+\frac{1^{2}}{b}\geqslant\frac{(1 + 1)^{2}}{a + b}\)，即\(a + b=(a + b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\geqslant4\)，当且仅当\(a=b = 2\)时等号成立。

12：已知\(x,y>0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1\)，求\(x + y\)的最小值。

解：因为\(x + y=(x + y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)\)。

由权方和不等式\(\frac{1^{2}}{x}+\frac{2^{2}}{y}\geqslant\frac{(1 + 2)^{2}}{x + y}\)，则\(x + y=(x + y)\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}\right)\geqslant9\)，当且仅当\(\frac{1}{x}=\frac{2}{y}\)，结合\(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1\)解得\(x = 3\)，\(y = 6\)时等号成立。