圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角

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一、与圆有关的角

与圆有关的角主要分为五类：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。它们的定义、顶点位置、边的特征及核心性质各不相同，且均以“弧”为纽带建立角的数量关系。

1. 圆心角：顶点在圆心，两边都与圆相交的角，叫做圆心角。

核心性质（圆心角定理）：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

反之亦成立：在同圆或等圆中，若两个圆心角所对的弧相等（或弦相等、或弦心距相等），则这两个圆心角相等。

数量关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数（如：圆心角∠AOB对弧AB，若弧AB为60°，则∠AOB=60°）。

2. 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角，叫做圆周角。

核心性质（圆周角定理）：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

由此可推导两个关键推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等（如：弧AB所对的圆周角∠ACB和∠ADB，无论C、D在弧AB同侧还是异侧，只要弧AB相同，∠ACB=∠ADB）；

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径（此推论是证明“直角”或“直径”的常用依据，如：若AB是⊙O直径，则∠ACB=90°）。

数量关系：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半（如：弧AB为60°，则弧AB所对的圆周角为30°）。

3. 圆内角：顶点在圆内，两边都与圆相交的角，叫做圆内角（如：圆内两条弦AB、CD相交于点P，∠APD就是圆内角）。

核心性质：圆内角的度数等于它所对的两条弧（优弧和劣弧）的度数和的一半。

数量关系：若圆内角∠APD所对的弧为弧AD（劣弧）和弧BC（劣弧），则∠APD = 1/2（弧AD的度数 + 弧BC的度数）。

4. 圆外角：顶点在圆外，两边都与圆相交（或一边与圆相交、另一边与圆相切）的角，叫做圆外角（如：圆外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，∠APC就是圆外角；或圆外一点P引圆的切线PA和割线PBC，∠APB也是圆外角）。

核心性质：圆外角的度数等于它所对的两条弧（优弧和劣弧）的度数差的一半。

数量关系：若圆外角∠APC所对的弧为弧AC（劣弧）和弧BD（劣弧），则∠APC = 1/2（弧AC的度数 - 弧BD的度数）；若为切线与割线形成的圆外角（如∠APB），则∠APB = 1/2（弧AB的度数 - 弧AE的度数，其中E是切线PA与圆的切点）。

5.弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角。

核心性质：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半。

弦切角的度数 = 它所夹的弧的度数的一半（“夹的弧” 指切线与弦之间的弧，即相交边和弦所对的弧）。

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角（与圆周角性质呼应，是证明角相等的重要依据）。

二、与圆有关的角的常用结论

除上述核心性质外，以下结论在解题中高频使用，需熟练掌握：

1. 圆内接四边形的角的性质：圆内接四边形的对角互补（如：四边形ABCD内接于⊙O，则∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°）；且任一外角等于它的内对角（如：∠DCE是四边形ABCD的外角，则∠DCE = ∠A）。

2. 切线与半径的夹角：圆的切线垂直于过切点的半径（如：PA是⊙O的切线，A为切点，则OA⊥PA，即∠OAP = 90°）。

3. 弦切角定理（特殊圆外角）：顶点在圆上，一边与圆相切、另一边与圆相交的角（弦切角），等于它所夹的弧所对的圆周角（如：PA是⊙O切线，A为切点，AB是弦，则∠PAB = ∠ACB，其中C是圆上异于A、B的点，且C与P在AB同侧）。

4. 等角对等弧/等弦：在同圆或等圆中，若两个圆周角（或圆心角）相等，则它们所对的弧相等，所对的弦也相等（此结论是“角→弧→弦”转化的关键）。

5. 直径与直角的双向推导：若一条弦所对的圆周角为90°，则该弦是直径；反之，若一条弦是直径，则它所对的圆周角为90°（常用于证明线段是直径或角为直角）。

例题1：圆心角与圆周角的基础计算

已知⊙O中，弧AB的度数为80°，求弧AB所对的圆心角∠AOB和圆周角∠ACB的度数。

解析：根据圆心角定理，圆心角等于所对弧的度数，故∠AOB = 80°；根据圆周角定理，圆周角等于所对弧度数的一半，故∠ACB = 1/2 × 80° = 40°。

答案：∠AOB=80°，∠ACB=40°。

例题2：直径与直角的应用

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且∠ABC = 35°，求∠BAC的度数。

解析：由“直径所对的圆周角是直角”，得∠ACB = 90°；在△ABC中，内角和为180°，故∠BAC = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 180° - 90° - 35° = 55°。

答案：55°。

例题3：同弧所对圆周角相等

如图，⊙O中，弧AB = 弧CD，∠AOB = 60°，求∠COD和∠CAD的度数。

解析：由“等弧对等圆心角”，得∠COD = ∠AOB = 60°；弧CD的度数为60°，∠CAD是弧CD所对的圆周角，故∠CAD = 1/2 × 60° = 30°。

答案：∠COD=60°，∠CAD=30°。

例题4：圆内接四边形的对角互补

已知四边形ABCD内接于⊙O，∠A = 110°，求∠C的度数；若∠B的外角为50°，求∠D的度数。

解析：由“圆内接四边形对角互补”，得∠A + ∠C = 180°，故∠C = 180° - 110° = 70°；由“圆内接四边形外角等于内对角”，∠B的外角 = ∠D，故∠D = 50°。

答案：∠C=70°，∠D=50°。

例题5：圆内角的计算

如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，弧AD的度数为40°，弧BC的度数为60°，求∠APD的度数。

解析：根据圆内角性质，圆内角等于所对两弧度数和的一半，故∠APD = 1/2（弧AD的度数 + 弧BC的度数） = 1/2（40° + 60°） = 50°。

答案：50°。

例题6：圆外角（割线与割线）的计算

如图，圆外一点P引⊙O的两条割线PAB、PCD，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，求∠APC的度数。

解析：根据圆外角性质，圆外角等于所对两弧度数差的一半，故∠APC = 1/2（弧AC的度数 - 弧BD的度数） = 1/2（80° - 20°） = 30°。

答案：30°。

例题7：弦切角定理的应用

如图，PA是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的弦，∠PAB = 50°，求弧AB所对的圆周角∠ACB的度数（C与P在AB同侧）。

解析：由弦切角定理，弦切角等于所夹弧所对的圆周角，∠PAB是弦切角，夹弧AB，故∠PAB = ∠ACB，即∠ACB = 50°。

答案：50°。

例题8：切线与半径的垂直关系

如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，连接OA、OB，求证：∠AOB + ∠APB = 180°。

解析：由“切线垂直于过切点的半径”，得OA⊥PA，OB⊥PB，故∠OAP = ∠OBP = 90°；在四边形OAPB中，内角和为360°，故∠AOB + ∠APB + ∠OAP + ∠OBP = 360°，代入得∠AOB + ∠APB + 90° + 90° = 360°，即∠AOB + ∠APB = 180°。

证明完毕。

例题9：综合应用（圆周角+圆内接四边形）

如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD = 130°，求∠ABD的度数。

解析：第一步，由“圆内接四边形对角互补”，∠BCD + ∠BAD = 180°，故∠BAD = 180° - 130° = 50°；第二步，由“直径所对圆周角为直角”，∠ADB = 90°；第三步，在△ABD中，∠ABD = 180° - ∠BAD - ∠ADB = 180° - 50° - 90° = 40°。

答案：40°。

例题10：综合应用（圆心角+圆周角+弦切角）

如图，⊙O的半径OA⊥OB，弦AC交OB于点D，切线CE（E为切点）交OB的延长线于点E，求证：∠CED = ∠CDE。

解析：第一步，连接OC（半径），由“切线垂直于半径”，得OC⊥CE，故∠OCE = 90°，即∠CED + ∠COD = 90°；第二步，OA⊥OB，故∠AOB = 90°，即∠OAD + ∠ODA = 90°；第三步，OA = OC（同圆半径相等），故∠OAD = ∠OCD（等腰三角形底角相等）；第四步，∠ODA = ∠CDE（对顶角相等），代入第二步得∠OCD + ∠CDE = 90°；第五步，对比第一步（∠CED + ∠COD = 90°）和第四步（∠OCD + ∠CDE = 90°），且OC = OD？不，OC = OA，此处修正：由∠AOB=90°，OA=OC，∠OAC=∠OCA，而∠COD是圆心角，∠CAD是圆周角？重新梳理：

更简洁路径：由弦切角定理，∠ECB = ∠CAB（弦切角∠ECB夹弧CB，圆周角∠CAB夹弧CB）；又OA⊥OB，∠AOB=90°，∠CAB + ∠ADB = 90°（△AOD中，∠OAD + ∠ODA=90°）；由OC⊥CE，∠OCE=90°，∠ECB + ∠OCB = 90°；又OB=OC（半径），∠OCB=∠OBC；而∠ADB=∠CDE（对顶角），∠CAB=∠ECB（弦切角），故∠CDE=90°-∠CAB=90°-∠ECB=∠CED，即∠CED=∠CDE。

证明完毕。