不等式 02 分式不等式

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一、分式不等式

分式不等式是指分母和分子都是整式，且分母中含有未知数的不等式。其一般形式为\(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\)（或\(\geq0\)、\(<0\)、\(\leq0\)），其中\(f(x)\)和\(g(x)\)是关于\(x\)的整式，且\(g(x)\neq0\)。如\(\frac{x + 1}{x - 2}>1\)就是一个分式不等式，其中分子\(f(x)=x + 1\)，分母\(g(x)=x - 2\)，\(x\)是未知数。

分式不等式与整式不等式的区别

整式不等式是指不等式的两边都是整式的不等式，如\(2x+3>5\)，它的两边都是整式，不涉及分式的形式。

而分式不等式的关键特征是有分数形式，且分母含有未知数，这使得它的求解方法相较于整式不等式更为复杂，通常需要先将其转化为整式不等式再进行求解。

整式、分式、根式、有理式、无理式、代数式

1. 整式与分式的区别：只看分母是否含字母，与分子无关。

例：\(\frac{x}{2}\)是整式（分母是常数），\(\frac{2}{x}\)是分式（分母含字母）。

2. 有理式与无理式的区别：只看根号下是否含字母，与是否有根号无关。

例：\(\sqrt{3}\)是有理式（根号下是常数），\(\sqrt{x}\)是无理式（根号下含字母）。

3. 单独的数/字母的归属：既属于代数式，也属于有理式，还属于整式（单项式）。

例：5是代数式→有理式→整式→单项式；a是代数式→有理式→整式→单项式。

4. 分式的“有意义条件”：分母不能为0（如\(\frac{1}{x-2}\)中，x≠2）；

二、简单分式不等式：\(\frac{f(x)}{g(x)} > a\)、\(\frac{f(x)}{g(x)} < a\)、\(\frac{f(x)}{g(x)} \geq a\)、\(\frac{f(x)}{g(x)} \leq a\)（\(a\)为常数）

步骤一：移项通分 - 将常数移到分式的同一侧，然后进行通分，把不等式整理成一个分式的形式。

步骤二：根据分式不等式的性质将分式不等式转化为整式不等式

分式不等式的性质1：\(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\) 等价于 \(f(x)g(x) > 0\)

分式不等式的性质2：\(\frac{f(x)}{g(x)} < 0\) 等价于 \(f(x)g(x) < 0\)

分式不等式的性质3：\(\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0\) 等价于 \(\begin{cases}f(x)g(x) \geq 0 \\ g(x) \neq 0\end{cases}\)

分式不等式的性质4：\(\frac{f(x)}{g(x)} \leq 0\) 等价于 \(\begin{cases}f(x)g(x) \leq 0 \\ g(x) \neq 0\end{cases}\)

例1：求解不等式\(\frac{2x - 3}{x + 2}<0\)。

解：等价于\((2x - 3)(x + 2)<0\)，令\((2x - 3)(x + 2)=0\)，解得\(x=\frac{3}{2}\)或\(x=-2\)。根据二次函数\(y=(2x - 3)(x + 2)=2x^{2}+x - 6\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(-2 < x <\frac{3}{2}\)。

例2：求解不等式\(\frac{3 - x}{x - 5}>0\)。

解：等价于\((3 - x)(x - 5)>0\)，即\((x - 3)(x - 5)<0\)。令\((x - 3)(x - 5)=0\)，解得\(x = 3\)或\(x = 5\)。根据二次函数\(y=(x - 3)(x - 5)=x^{2}-8x + 15\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(3 < x < 5\)。

例3：求解不等式\(\frac{2 - x}{x - 3}\leqslant0\)。

解：等价于\(\begin{cases}(2 - x)(x - 3)\leqslant0\\x - 3\neq0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}(x - 2)(x - 3)\geqslant0\\x\neq3\end{cases}\)。令\((x - 2)(x - 3)=0\)，解得\(x = 2\)或\(x = 3\)。根据二次函数\(y=(x - 2)(x - 3)=x^{2}-5x + 6\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(x\geqslant3\)或\(x\leqslant2\)。

例4：求解不等式\(\frac{x + 4}{3 - x}\geqslant0\)。

解：等价于\(\begin{cases}(x + 4)(3 - x)\geqslant0\\3 - x\neq0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}(x + 4)(x - 3)\leqslant0\\x\neq3\end{cases}\)。令\((x + 4)(x - 3)=0\)，解得\(x=-4\)或\(x = 3\)。根据二次函数\(y=(x + 4)(x - 3)=x^{2}+x - 12\)的图象开口向上，可得不等式的解集为\(-4\leqslant x < 3\)。

三、多个分式组成的不等式：形如\(\frac{f(x)}{g(x)} > \frac{h(x)}{k(x)}\)、\(\frac{f(x)}{g(x)} < \frac{h(x)}{k(x)}\)等类型。

步骤一：移项通分 - 将不等式两边的分式移到同一侧，然后进行通分，化为一个分式的形式。

例如，对于\(\frac{1}{x - 1} > \frac{2}{x + 1}\)，移项通分得到\(\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1} > 0\)，通分后为\(\frac{(x + 1) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0\)，即\(\frac{-x + 3}{(x - 1)(x + 1)} > 0\)。

步骤二：转化为整式不等式

同样按照上述分式与整式不等式转化的规则，\(\frac{-x + 3}{(x - 1)(x + 1)} > 0\)等价于\((-x + 3)(x - 1)(x + 1) > 0\)，然后可以通过零点分段法等方法来求解这个整式不等式。先找出使每个因式为零的根，分别是\(x = 3\)、\(x = 1\)、\(x = -1\)，将数轴分成几段，再分别判断每一段上不等式的符号情况来确定解集。

四、含绝对值的分式不等式：形如\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > a\)（\(a\)为常数）、\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < a\)等类型。

步骤一：根据绝对值的性质去绝对值号

步骤二：根据分式不等式的性质将分式不等式转化为整式不等式

\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > a\)（\(a > 0\)）等价于 \(\frac{f(x)}{g(x)} > a\) 或 \(\frac{f(x)}{g(x)} < -a\) 大取两边

\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < a\)（\(a > 0\)）等价于 \(-a < \frac{f(x)}{g(x)} < a\) 小取中间

例1：求解不等式\(\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right|>1\)。

解：等价于\(\frac{x - 1}{x + 1}>1\)或\(\frac{x - 1}{x + 1} < - 1\)。

对于\(\frac{x - 1}{x + 1}>1\)，移项通分得到\(\frac{x - 1}{x + 1}-1>0\)，即\(\frac{x - 1-(x + 1)}{x + 1}>0\)，\(\frac{-2}{x + 1}>0\)，解得\(x < - 1\)。

对于\(\frac{x - 1}{x + 1} < - 1\)，移项通分得到\(\frac{x - 1}{x + 1}+1<0\)，即\(\frac{x - 1 + x + 1}{x + 1}<0\)，\(\frac{2x}{x + 1}<0\)，解得\(-1 < x < 0\)。

综上，不等式的解集为\(x < - 1\)或\(-1 < x < 0\)。

例2：求解不等式\(\left|\frac{2x + 1}{x - 2}\right|<3\)。

解：等价于\(-3 <\frac{2x + 1}{x - 2}<3\)。

先解\(\frac{2x + 1}{x - 2}>-3\)，移项通分得到\(\frac{2x + 1}{x - 2}+3>0\)，即\(\frac{2x + 1 + 3(x - 2)}{x - 2}>0\)，\(\frac{5x - 5}{x - 2}>0\)，等价于\((5x - 5)(x - 2)>0\)，解得\(x > 2\)或\(x < 1\)。

再解\(\frac{2x + 1}{x - 2}<3\)，移项通分得到\(\frac{2x + 1}{x - 2}-3<0\)，即\(\frac{2x + 1-3(x - 2)}{x - 2}<0\)，\(\frac{-x + 7}{x - 2}<0\)，等价于\((x - 7)(x - 2)>0\)，解得\(x > 7\)或\(x < 2\)。

综上，不等式的解集为\(x < 1\)或\(x > 7\)。

例3：求解不等式\(\left|\frac{3 - x}{x + 3}\right|>2\)。

解：等价于\(\frac{3 - x}{x + 3}>2\)或\(\frac{3 - x}{x + 3} < - 2\)。

对于\(\frac{3 - x}{x + 3}>2\)，移项通分得到\(\frac{3 - x}{x + 3}-2>0\)，即\(\frac{3 - x-2(x + 3)}{x + 3}>0\)，\(\frac{-3x - 3}{x + 3}>0\)，等价于\((-3x - 3)(x + 3)>0\)，解得\(-3 < x < - 1\)。

对于\(\frac{3 - x}{x + 3} < - 2\)，移项通分得到\(\frac{3 - x}{x + 3}+2<0\)，即\(\frac{3 - x + 2(x + 3)}{x + 3}<0\)，\(\frac{x + 9}{x + 3}<0\)，等价于\((x + 9)(x + 3)<0\)，解得\(-9 < x < - 3\)。

综上，不等式的解集为\(-9 < x < - 3\)或\(-3 < x < - 1\)。

例4：求解不等式\(\left|\frac{x^{2}-1}{x}\right|<1\)。

解：等价于\(-1 <\frac{x^{2}-1}{x}<1\)。

先解\(\frac{x^{2}-1}{x}>-1\)，移项通分得到\(\frac{x^{2}-1}{x}+1>0\)，即\(\frac{x^{2}-1 + x}{x}>0\)，\(\frac{x^{2}+x - 1}{x}>0\)。令\(x^{2}+x - 1 = 0\)，解得\(x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)。根据数轴标根法，解得\(x >\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)或\(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<x < 0\)。

再解\(\frac{x^{2}-1}{x}<1\)，移项通分得到\(\frac{x^{2}-1}{x}-1<0\)，即\(\frac{x^{2}-1 - x}{x}<0\)，\(\frac{x^{2}-x - 1}{x}<0\)。令\(x^{2}-x - 1 = 0\)，解得\(x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)。根据数轴标根法，解得\(0 < x <\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)。

综上，不等式的解集为\(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}<x < 0\)或\(0 < x <\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)。

特殊情况考虑：当\(a = 0\)时

\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| > 0\) 等价于 \(\frac{f(x)}{g(x)} \neq 0\)，即\(f(x) \neq 0\)且\(g(x) \neq 0\)

\(\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| \leq 0\) 等价于 \(\frac{f(x)}{g(x)} = 0\)，即\(f(x) = 0\)且\(g(x) \neq 0\)

总之，解分式不等式的核心思路是通过移项通分等操作转化为整式不等式，再结合整式不等式的解法以及考虑分母不为零等相关条件来准确求出解集。

含绝对值的分式不等式，是在分式不等式的基础上增加了绝对值符号（如 \(|f(x)|\) 或 \(|g(x)|\)），其解法需结合绝对值的性质和分式不等式的解法，核心思路是：先利用绝对值的定义或公式去掉绝对值符号，将其转化为不含绝对值的分式不等式，再按分式不等式的常规步骤（等价变形、数轴标根等）求解。

（一）绝对值的关键性质

1. 基本定义：对任意实数 \(a\)，\(|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}\)；

2. 符号不变性：\(|a| \geq 0\)（绝对值结果恒非负，可直接判断分母含绝对值时的符号）；

3. 等价不等式：

\(|a| > b\)（\(b > 0\)）等价于 \(a > b\) 或 \(a < -b\)；

\(|a| < b\)（\(b > 0\)）等价于 \(-b < a < b\)；

\(|a| \geq b\)（\(b > 0\)）等价于 \(a \geq b\) 或 \(a \leq -b\)；

\(|a| \leq b\)（\(b > 0\)）等价于 \(-b \leq a \leq b\)；

若 \(b \leq 0\)：\(|a| > b\) 恒成立（因 \(|a| \geq 0 > b\)），\(|a| < b\) 无解。

（二）分类解法：按绝对值位置分两类

含绝对值的分式不等式，绝对值符号通常只在分子或分母中（极少同时在分子分母，可类比处理），需根据位置不同选择不同的去绝对值策略。

类型1：绝对值在分子上（形如 \(\frac{|f(x)|}{g(x)} > 0\) 或 \(\geq, <, \leq 0\)）

核心分析：分子 \(|f(x)| \geq 0\)（恒非负），且 \(|f(x)| = 0\) 当且仅当 \(f(x) = 0\)，因此可结合分子的非负性简化不等式。

解题步骤：

1. 优先约束分母：分式有意义需 \(g(x) \neq 0\)（所有分式不等式的前提）；

2. 利用分子非负性分析符号：

若不等式是 “> 0”：因 \(|f(x)| \geq 0\)，要使分式为正，需满足分子正 + 分母正（即 \(|f(x)| > 0\) 且 \(g(x) > 0\)），等价于 \(f(x) \neq 0\) 且 \(g(x) > 0\)；

若不等式是 “< 0”：因 \(|f(x)| \geq 0\)，分式为负需分子正 + 分母负（分子不能为负），等价于 \(f(x) \neq 0\) 且 \(g(x) < 0\)；

若不等式是 “≥ 0”：分式非负需（分子正 + 分母正）或（分子0 + 分母正），等价于 \(g(x) > 0\)（因分子非负，分母正则分式非负，且分母负时分式非正，需排除）；

若不等式是 “≤ 0”：分式非正需（分子正 + 分母负）或（分子0 + 分母负），等价于 \(g(x) < 0\)（分母正时分式非负，排除）；

3. 求解整式不等式（组）：结合上述等价条件，解出x的范围，再排除分母为0的点。

示例1：解不等式 \(\frac{|x - 2|}{x + 1} > 0\)

步骤1：分母约束：\(x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1\)；

步骤2：分子非负性分析：不等式“> 0”，需 \(|x - 2| > 0\)（即 \(x \neq 2\)）且 \(x + 1 > 0\)（分母正）；

步骤3：解不等式组：\(x + 1 > 0 \implies x > -1\)，结合 \(x \neq 2\) 和 \(x \neq -1\)；

最终解集：\((-1, 2) \cup (2, +\infty)\)。

示例2：解不等式 \(\frac{|2x + 3|}{x - 4} \leq 0\)

步骤1：分母约束：\(x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4\)；

步骤2：分子非负性分析：不等式“≤ 0”，需分母负（因分子非负，分母正时分式非负，排除），即 \(x - 4 < 0 \implies x < 4\)；

步骤3：验证分子为0的情况：当 \(|2x + 3| = 0\) 时，\(x = -\frac{3}{2}\)，此时分式值为0，满足“≤ 0”，且 \(x = -\frac{3}{2} < 4\)（在分母负的区间内）；

最终解集：\((-\infty, 4)\)（因所有 \(x < 4\) 均满足分母负，分子非负，分式≤0）。

类型2：绝对值在分母上（形如 \(\frac{f(x)}{|g(x)|} > 0\) 或 \(\geq, <, \leq 0\)）

核心分析：分母 \(|g(x)| > 0\)（恒正，因绝对值非负且分母不能为0，故 \(|g(x)| \neq 0\)，即 \(g(x) \neq 0\)），因此分式的符号完全由分子决定（分母恒正，分式符号 = 分子符号）。

解题步骤：

1. 分母约束：\(|g(x)| \neq 0 \implies g(x) \neq 0\)（唯一约束，因分母恒正）；

2. 等价转化：分式不等式直接等价于“分子的不等式 + 分母约束”：

\(\frac{f(x)}{|g(x)|} > 0\) 等价于 \(f(x) > 0\) 且 \(g(x) \neq 0\)；

\(\frac{f(x)}{|g(x)|} < 0\) 等价于 \(f(x) < 0\) 且 \(g(x) \neq 0\)；

\(\frac{f(x)}{|g(x)|} \geq 0\) 等价于 \(f(x) \geq 0\) 且 \(g(x) \neq 0\)；

\(\frac{f(x)}{|g(x)|} \leq 0\) 等价于 \(f(x) \leq 0\) 且 \(g(x) \neq 0\)；

3. 求解分子不等式：解出 \(f(x)\) 对应的范围，再排除 \(g(x) = 0\) 的点。

示例3：解不等式 \(\frac{x^2 - 3x - 4}{|x - 2|} < 0\)

步骤1：分母约束：\(|x - 2| \neq 0 \implies x \neq 2\)；

步骤2：等价转化：分母恒正，不等式等价于 \(x^2 - 3x - 4 < 0\) 且 \(x \neq 2\)；

步骤3：解分子二次不等式：因式分解 \(x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)\)，则 \((x - 4)(x + 1) < 0\) 的解集为 \(-1 < x < 4\)；

步骤4：排除分母为0的点：\(x \neq 2\)，因此在 \(-1 < x < 4\) 中去掉 \(x = 2\)；

最终解集：\((-1, 2) \cup (2, 4)\)。

示例4：解不等式 \(\frac{|x| - 1}{|x + 3|} \geq 0\)

步骤1：分母约束：\(|x + 3| \neq 0 \implies x \neq -3\)；

步骤2：等价转化：分母恒正，不等式等价于 \(|x| - 1 \geq 0\) 且 \(x \neq -3\)；

步骤3：解绝对值不等式：\(|x| - 1 \geq 0 \implies |x| \geq 1 \implies x \geq 1\) 或 \(x \leq -1\)；

步骤4：排除分母为0的点：\(x = -3\) 不在 \(x \leq -1\) 或 \(x \geq 1\) 中，无需额外排除；

最终解集：\((-\infty, -1] \cup [1, +\infty)\)。

（三）特殊情况：绝对值在分子且不等式含常数项

若不等式形如 \(\frac{|f(x)|}{g(x)} > k\)（\(k\) 为常数），需先移项使右边为0，再通分合并，避免直接乘分母（因分母符号未知），具体步骤如下：

1. 移项通分：\(\frac{|f(x)|}{g(x)} - k > 0 \implies \frac{|f(x)| - k \cdot g(x)}{g(x)} > 0\)；

2. 等价转化：分子分母乘积为正，即 \([|f(x)| - k \cdot g(x)] \cdot g(x) > 0\)，且 \(g(x) \neq 0\)；

3. 分情况去绝对值：根据 \(f(x) \geq 0\) 和 \(f(x) < 0\) 去掉 \(|f(x)|\)，转化为整式不等式组求解。

示例5：解不等式 \(\frac{|x + 1|}{x - 2} > 3\)

步骤1：移项通分：\(\frac{|x + 1| - 3(x - 2)}{x - 2} > 0 \implies \frac{|x + 1| - 3x + 6}{x - 2} > 0\)；

步骤2：等价转化：\([|x + 1| - 3x + 6] \cdot (x - 2) > 0\)，且 \(x \neq 2\)；

步骤3：去绝对值（分情况）：

情况1：\(x + 1 \geq 0\)（即 \(x \geq -1\)）：\(|x + 1| = x + 1\)，分子变为 \(x + 1 - 3x + 6 = -2x + 7\)，不等式变为 \((-2x + 7)(x - 2) > 0\)，即 \((2x - 7)(x - 2) < 0\)，解集为 \(2 < x < \frac{7}{2}\)（结合 \(x \geq -1\)，保留此区间）；

情况2：\(x + 1 < 0\)（即 \(x < -1\)）：\(|x + 1| = -x - 1\)，分子变为 \(-x - 1 - 3x + 6 = -4x + 5\)，不等式变为 \((-4x + 5)(x - 2) > 0\)，即 \((4x - 5)(x - 2) < 0\)，解集为 \(\frac{5}{4} < x < 2\)（与 \(x < -1\) 无交集，舍去）；

步骤4：合并解集：仅保留情况1的有效区间 \(2 < x < \frac{7}{2}\)；

最终解集：\((2, \frac{7}{2})\)。

（四）常见易错点总结

1. 忽略分母的绝对值约束：分母含绝对值时，需确保 \(|g(x)| \neq 0\)（即 \(g(x) \neq 0\)），不可因分母恒正而忘记排除；

2. 直接乘分母去常数项：如 \(\frac{|x|}{x - 1} > 2\)，不可直接乘 \(x - 1\)（符号未知），必须先移项通分；

3. 去绝对值后忘记结合前提：分情况去绝对值时（如 \(x \geq -1\) 和 \(x < -1\)），最终解集需与情况前提取交集；

4. 误判分子/分母符号：分子含绝对值时“恒非负”，分母含绝对值时“恒正”，需牢记这一性质以简化分析。

通过以上分类解法，可清晰处理含绝对值的分式不等式：核心是先利用绝对值性质去符号，再回归分式不等式的常规解法，同时始终关注分母不为零的约束条件。

五、含高次式的分式不等式\(\frac{f(x)}{g(x)}>0\)（或\(<0\)）型，其中\(f(x)\)或\(g(x)\)是高次式

解法：同样等价于\(f(x)g(x)>0\)（或\(<0\)），对于高次式可以通过因式分解，然后利用数轴标根法来求解。

例1：求解不等式\(\frac{(x + 1)(x - 2)(x + 3)}{(x - 1)(x + 2)}>0\)。

解：等价于\((x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1)(x + 2)>0\)。令\((x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 1)(x + 2)=0\)，解得\(x=-3,-2,-1,1,2\)。在数轴上依次标记这些点，从最右边的点\(2\)开始，自上而下，奇穿偶回（指数为奇数的因式对应的根穿过数轴，指数为偶数的因式对应的根不穿过数轴）。可得不等式的解集为\(x > 2\)或\(-2 < x < - 1\)或\(1 < x < 2\)。

例2：求解不等式\(\frac{(x - 1)^{2}(x + 2)}{(x + 3)^{3}(x - 2)}<0\)。

解：等价于\((x - 1)^{2}(x + 2)(x + 3)^{3}(x - 2)<0\)。令\((x - 1)^{2}(x + 2)(x + 3)^{3}(x - 2)=0\)，解得\(x=-3,-2,1,2\)。利用数轴标根法，因为\((x - 1)^{2}\)的指数为\(2\)（偶数），所以\(x = 1\)这个根不穿过数轴，其余根按规则穿轴。可得不等式的解集为\(x < - 3\)或\(-3 < x < - 2\)或\(1 < x < 2\)。

例3：求解不等式\(\frac{(x^{2}-1)(x + 3)}{(x - 2)^{2}(x + 1)}>0\)。

解：先对\(x^{2}-1\)因式分解为\((x + 1)(x - 1)\)，则不等式等价于\(\frac{(x + 1)^{2}(x - 1)(x + 3)}{(x - 2)^{2}(x + 1)}>0\)，即\(\frac{(x + 1)(x - 1)(x + 3)}{(x - 2)^{2}}>0\)，等价于\((x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^{2}>0\)。令\((x + 1)(x - 1)(x + 3)(x - 2)^{2}=0\)，解得\(x=-3,-1,1,2\)。利用数轴标根法，可得不等式的解集为\(x > 2\)或\(-3 < x < - 1\)或\(1 < x < 2\)。