不等式 02 切线不等式（切线放缩）

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切线放缩是高中数学导数板块的核心技巧之一，本质是利用函数在某点处的切线来近似替代该点附近的函数图像，通过“以直代曲”实现不等式的证明、函数最值的求解或极限的估算。其核心思想是：若函数 \( f(x) \) 在点 \( x = a \) 处可导，则在该点的切线方程为 \( y = f(a) + f'(a)(x - a) \)，且在 \( x = a \) 附近，切线与函数图像“贴合度极高”，可通过切线建立关于 \( f(x) \) 的不等式（即“放缩”）。

一、切线放缩的核心原理

1. 函数与切线的位置关系

设函数 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处可导，切线方程为 \( L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) \)，则：

若 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处下凸（即二阶导数 \( f''(x) \geq 0 \)），则切线在函数图像下方，即 \( \boxed{f(x) \geq L(x)} \)（当且仅当 \( x = a \) 时取等号）；

若 \( f(x) \) 在 \( x = a \) 处上凸（即二阶导数 \( f''(x) \leq 0 \)），则切线在函数图像上方，即 \( \boxed{f(x) \leq L(x)} \)（当且仅当 \( x = a \) 时取等号）。

2. 关键：选择“合适的切点”

切线放缩的成败取决于切点 \( x = a \) 的选择，通常需满足以下原则：切点处函数值与导数值易计算（如 \( a = 0, 1, e \) 等特殊点）；

放缩后的不等式需与目标问题（如证明的不等式、求解的最值）匹配，即等号成立的条件与目标问题的“取等条件”一致。

二、常用基本函数的切线放缩公式

高中阶段需熟练掌握以下6个核心函数的切线放缩（均为高频考点），建议结合图像理解记忆：

函数 \( f(x) \)常见切点 \( a \)切线方程 \( L(x) \)放缩不等式（等号条件）函数凸性（辅助判断）
\( e^x \)（指数函数）\( a = 0 \)\( y = x + 1 \)\( e^x \geq x + 1 \)（\( x = 0 \)）下凸（\( e^x >0 \)）
\( \ln x \)（对数函数）\( a = 1 \)\( y = x - 1 \)\( \ln x \leq x - 1 \)（\( x = 1 \)）上凸（\( -\frac{1}{x^2} < 0 \)）
\( \ln x \)（对数函数）\( a = e \)\( y = \frac{1}{e}x \)\( \ln x \leq \frac{1}{e}x \)（\( x = e \)）上凸
\( x\ln x \)（乘积函数）\( a = \frac{1}{e} \)\( y = -\frac{1}{e} \)\( x\ln x \geq -\frac{1}{e} \)（\( x = \frac{1}{e} \)）下凸（\( \frac{1}{x} >0 \)）
\( \sin x \)（三角函数）\( a = 0 \)\( y = x \)\( \sin x \leq x \)（\( x \geq 0 \)）；\( \sin x \geq x \)（\( x \leq 0 \)）上凸（\( -\sin x \leq 0 \)，\( x \in [0, \pi] \)）
\( 1 - \cos x \)（三角函数）\( a = 0 \)\( y = \frac{1}{2}x^2 \)\( 1 - \cos x \geq \frac{1}{2}x^2 \)（\( x = 0 \)）下凸（\( \cos x \leq 1 \)）

三、切线放缩的典型应用场景

切线放缩的核心用途是“简化函数”——将复杂的指数、对数、三角函数转化为一次函数（或二次函数），从而降低不等式证明、最值求解的难度。以下是3类高频应用：

场景1：证明单变量不等式

核心思路：将不等式一侧的函数用切线替代，转化为证明“一次函数 ≥ 0”或“一次函数 ≤ 0”，再通过求一次函数的最值完成证明。

例1：证明对任意 \( x > 0 \)，都有 \( x\ln x + 1 \geq 2x - e^x \)。

证明步骤：

1. 拆分不等式，分别对两侧函数放缩：

左侧：由 \( x\ln x \geq -\frac{1}{e} \)（切点 \( \frac{1}{e} \)），得 \( x\ln x + 1 \geq 1 - \frac{1}{e} \)（但此放缩过松，需换切线）；

换思路：直接针对右侧 \( 2x - e^x \)，利用 \( e^x \geq x + 1 \)，得 \( -e^x \leq -x - 1 \)，因此 \( 2x - e^x \leq 2x - (x + 1) = x - 1 \)；

2. 此时不等式转化为证明 \( x\ln x + 1 \geq x - 1 \)，即 \( x\ln x - x + 2 \geq 0 \)；

3. 令 \( g(x) = x\ln x - x + 2 \)，求导得 \( g'(x) = \ln x \)，令 \( g'(x) = 0 \)，得 \( x = 1 \)；

4. 计算最值：\( g(1) = 0 - 1 + 2 = 1 \geq 0 \)，且当 \( x > 1 \) 时 \( g(x) \) 递增，\( 0 < x < 1 \) 时 \( g(x) \) 递减，故 \( g(x) \geq g(1) = 1 \geq 0 \)；

5. 综上：\( x\ln x + 1 \geq x - 1 \geq 2x - e^x \)，原不等式得证。

场景2：求解多元最值（“取等条件一致”）

当变量满足某种关系时，可对每个变量用同一切线放缩，利用“所有变量取等条件一致”的特点求最值。

例2：已知正数 \( a, b, c \) 满足 \( a + b + c = 3 \)，求 \( e^a + e^b + e^c \) 的最小值。

求解步骤：

1. 对每个变量用 \( e^x \geq x + 1 \)（切点 \( x = 0 \)）：

\( e^a \geq a + 1 \)，\( e^b \geq b + 1 \)，\( e^c \geq c + 1 \)；

2. 三式相加：\( e^a + e^b + e^c \geq (a + 1) + (b + 1) + (c + 1) = (a + b + c) + 3 \)；

3. 代入 \( a + b + c = 3 \)，得 \( e^a + e^b + e^c \geq 3 + 3 = 6 \)；

4. 验证取等条件：当且仅当 \( a = b = c = 0 \) 时，\( e^x = x + 1 \) 取等，但 \( a + b + c = 3 \)，故需调整切点——考虑“等号条件一致”，即 \( a = b = c = 1 \)（因 \( a + b + c = 3 \)，对称变量取等时通常相等）；

5. 重新用切点 \( x = 1 \) 放缩：\( e^x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线为 \( y = e(x - 1) + e = ex \)，故 \( e^x \geq ex \)（\( x = 1 \) 时取等）；

6. 三式相加：\( e^a + e^b + e^c \geq e(a + b + c) = 3e \)；

7. 验证取等条件：当 \( a = b = c = 1 \) 时，\( e^1 = e \times 1 \)，且 \( 1 + 1 + 1 = 3 \)，满足条件，故最小值为 \( 3e \)。

场景3：证明数列不等式（结合求和）

数列不等式的证明常需“放缩通项”，若通项含 \( \ln n \)、\( e^{a_n} \) 等，可通过切线放缩将通项转化为“可求和的形式”（如等差数列、裂项相消型）。

例3：证明对任意正整数 \( n \geq 2 \)，都有 \( \ln 2 + \ln 3 + \dots + \ln n > \frac{n^2 - n - 2}{2n} \)。

证明步骤：

1. 先证明通项的不等式：对 \( x > 1 \)，由 \( \ln x > 1 - \frac{1}{x} \)（由 \( \ln x \leq x - 1 \) 替换 \( x \) 为 \( \frac{1}{x} \)，得 \( -\ln x \leq \frac{1}{x} - 1 \)，即 \( \ln x \geq 1 - \frac{1}{x} \)，\( x = 1 \) 取等，故 \( x > 1 \) 时 \( \ln x > 1 - \frac{1}{x} \)）；

2. 令 \( x = k \)（\( k = 2, 3, \dots, n \)），则 \( \ln k > 1 - \frac{1}{k} = \frac{k - 1}{k} \)；

3. 求和：左侧 \( \ln 2 + \ln 3 + \dots + \ln n > \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \dots + \frac{n - 1}{n} \)；

4. 化简右侧和式：\( \sum_{k=2}^n \frac{k - 1}{k} = \sum_{k=2}^n \left(1 - \frac{1}{k}\right) = (n - 1) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n}\right) \)（此步仍需调整，换更精准的放缩）；

5. 改用 \( \ln x > \frac{2(x - 1)}{x + 1} \)（\( x > 1 \)，由 \( \ln x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线 \( x - 1 \) 进一步优化，或通过构造函数证明），令 \( x = \frac{k}{k - 1} \)（\( k \geq 2 \)），则 \( \ln \frac{k}{k - 1} > \frac{2\left(\frac{k}{k - 1} - 1\right)}{\frac{k}{k - 1} + 1} = \frac{2}{2k - 1} \)；

6. 求和（裂项相消）：\( \ln n = \sum_{k=2}^n \ln \frac{k}{k - 1} > \sum_{k=2}^n \frac{2}{2k - 1} \)，但目标不等式需调整，最终可通过 \( \ln x > x - 1 - \frac{(x - 1)^2}{2} \) 等更精准的放缩完成，核心逻辑仍是“切线放缩通项，转化为可求和形式”。

四、切线放缩的关键技巧与注意事项

1. “局部放缩”而非“整体放缩”：若函数某部分复杂（如 \( e^x - \ln x \)），可仅对复杂部分放缩（如 \( e^x \geq x + 1 \)，\( -\ln x \geq 1 - x \)），再合并结果。

2. 验证“取等条件”：放缩后必须检查等号是否能成立，若等号条件与题目约束矛盾（如例2中最初取 \( a = b = c = 0 \) 不满足 \( a + b + c = 3 \)），则需更换切点或调整放缩方式。

3. “多次放缩”或“组合放缩”：复杂问题需结合多个切线公式（如同时用 \( e^x \geq x + 1 \) 和 \( \ln x \leq x - 1 \)），或先放缩再求导验证。

4. 避免“过度放缩”：放缩的精度决定成败，若放缩后不等式方向反转（如需证 \( A \geq B \)，但放缩后得 \( A \geq C < B \)），则需换更贴近函数的切线（如选择更接近目标点的切点）。

五、总结

切线放缩是“导数工具的灵活应用”，其核心是“以直代曲”的近似思想，关键在于“选对切点”和“控制放缩精度”。掌握常用函数的切线公式后，需通过大量例题练习“何时放缩”“如何放缩”，最终达到“根据目标问题灵活构造切线”的水平。建议结合函数图像理解放缩的几何意义，避免死记硬背公式。

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